NIERÓWNOŚĆ TRÓJKĄTA: DOWÓD, PRZYKŁADY, ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Nazywa się to własnością trójkąta nierównego, który styka się z dwiema liczbami rzeczywistymi składającymi się z wartości bezwzględnej ich sumy jest zawsze mniejsza lub równa sumie ich wartości bezwzględnych. Ta właściwość jest również znana jako nierówność Minkowskiego lub nierówność trójkątna.

Ta właściwość liczb nazywana jest nierównością trójkątną, ponieważ w trójkątach zdarza się, że długość jednego boku jest zawsze mniejsza lub równa sumie dwóch pozostałych, mimo że nierówność ta nie zawsze dotyczy obszaru trójkątów.

Rysunek 1. Wartość bezwzględna sumy dwóch liczb jest zawsze mniejsza lub równa sumie ich wartości bezwzględnych. (Przygotowany przez R. Péreza)

Istnieje kilka dowodów na trójkątną nierówność w liczbach rzeczywistych, ale w tym przypadku wybierzemy jeden na podstawie właściwości wartości bezwzględnej i dwumianu do kwadratu.

Twierdzenie: dla każdej pary liczb a i b należących do liczb rzeczywistych mamy:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstracja

Rozpoczynamy od rozważenia pierwszego elementu nierówności, który zostanie podniesiony do kwadratu:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Równanie 1)

W poprzednim kroku wykorzystaliśmy właściwość, że każda liczba do kwadratu jest równa wartości bezwzględnej tej liczby do kwadratu, czyli: -x- ^ 2 = x ^ 2. Zastosowano również rozwinięcie dwumianu do kwadratu.

Każda liczba x jest mniejsza lub równa swojej wartości bezwzględnej. Jeśli liczba jest dodatnia, jest równa, ale jeśli liczba jest ujemna, zawsze będzie mniejsza niż liczba dodatnia. W tym przypadku jego własna wartość bezwzględna, to znaczy można stwierdzić, że x ≤ - x -.

Iloczyn (ab) jest liczbą, dlatego stosuje się, że (ab) ≤ - ab -. Kiedy ta właściwość zostanie zastosowana do (Równanie 1), otrzymamy:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Równanie 2)

Biorąc pod uwagę, że - ab - = - a - b - la (równanie 2) można zapisać następująco:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (równanie 3)

Ale ponieważ powiedzieliśmy wcześniej, że kwadrat liczby jest równy bezwzględnej wartości kwadratu liczby, to równanie 3 można przepisać w następujący sposób:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (równanie 4)

W drugim członie nierówności rozpoznawany jest niezwykły produkt, który po zastosowaniu prowadzi do:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Równanie 5)

W poprzednim wyrażeniu należy zauważyć, że wartości, które mają być podniesione do kwadratu w obu członach nierówności są dodatnie, dlatego należy również upewnić się, że:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Równanie 6)

Poprzednie wyrażenie jest dokładnie tym, co chciałeś zademonstrować.

Przykłady

Następnie sprawdzimy trójkątną nierówność na kilku przykładach.

Przykład 1

Bierzemy wartość a = 2 i wartość b = 5, czyli obie liczby dodatnie i sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Równość jest weryfikowana, dlatego twierdzenie o nierówności trójkąta zostało spełnione.

Przykład 2

Wybieramy następujące wartości a = 2 i b = -5, czyli liczbę dodatnią, a drugą ujemną, sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Nierówność jest spełniona, dlatego twierdzenie o nierówności trójkątnej zostało zweryfikowane.

Przykład 3

Bierzemy wartość a = -2 i wartość b = 5, czyli liczbę ujemną, a drugą dodatnią, sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Nierówność jest weryfikowana, dlatego twierdzenie zostało spełnione.

Przykład 4

Wybieramy następujące wartości a = -2 i b = -5, czyli obie liczby ujemne i sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Równość jest zweryfikowana, dlatego twierdzenie Minkowskiego o nierówności zostało spełnione.

Przykład 5

Bierzemy wartość a = 0 i wartość b = 5, czyli liczbę zero i drugą dodatnią, a następnie sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Równość jest spełniona, dlatego twierdzenie o nierówności trójkąta zostało zweryfikowane.

Przykład 6

Bierzemy wartość a = 0 i wartość b = -7, to znaczy liczbę zero, a drugą dodatnią, a następnie sprawdzamy, czy nierówność jest spełniona, czy nie.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Równość jest weryfikowana, dlatego trójkątne twierdzenie o nierówności zostało spełnione.

Rozwiązane ćwiczenia

W następnych ćwiczeniach przedstaw geometrycznie nierówność trójkąta lub nierówność Minkowskiego dla liczb a i b.

Liczba a będzie reprezentowana jako odcinek na osi X, jej początek O pokrywa się z zerem osi X, a drugi koniec segmentu (w punkcie P) będzie w kierunku dodatnim (na prawo) osi X, jeśli a > 0, ale jeśli a <0, będzie skierowane w kierunku ujemnym osi X, tyle jednostek ile wskazuje jego wartość bezwzględna.

Podobnie, liczba b będzie reprezentowana jako odcinek, którego początek znajduje się w punkcie P. Druga skrajność, to znaczy punkt Q będzie na prawo od P, jeśli b jest dodatnie (b> 0), a punkt Q będzie -b - jednostki na lewo od P, jeśli b <0.

Ćwiczenie 1

Narysuj nierówność trójkąta dla a = 5 i b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, gdzie c = a + b.

Ćwiczenie 2

Narysuj trójkątną nierówność dla a = 5 i b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, gdzie c = a + b.

Ćwiczenie 3

Graficznie pokaż nierówność trójkąta dla a = -5 i b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, gdzie c = a + b.

Ćwiczenie 4

Graficznie skonstruuj trójkątną nierówność dla a = -5 i b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, gdzie c = a + b.

Bibliografia

1. E. Whitesitt. (1980) Algebra Boole'a i jej zastosowania. Firma wydawnicza Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elementy analizy abstrakcyjnej. . Katedra Matematyki. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematyka i inżynieria w informatyce. Instytut Informatyki i Technologii. National Bureau of Standards. Waszyngton, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematyka dla informatyki. Google Inc.
5. F. Thomson Leighton (1980). Rachunek różniczkowy. Katedra Matematyki i Laboratorium Informatyki i Sztucznej Inteligencji, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan academy. Twierdzenie o nierówności trójkąta. Odzyskane z: khanacademy.org
7. Wikipedia. Nierówność trójkątna. Odzyskane z: es. wikipedia.com