SPRZĘŻONE KĄTY WEWNĘTRZNE I ZEWNĘTRZNE: PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Te kątowniki koniugaty są te dodaje się do wyników dla być 360, niezależnie od wspomnianych kątów są w sąsiedztwie, czy też nie. Na fig. 1 pokazano dwa kąty sprzężone, oznaczone jako α i β.

W tym przypadku kąty α i β na rysunku mają wspólny wierzchołek, a ich boki są wspólne, dlatego sąsiadują ze sobą. Relacja między nimi jest wyrażona w następujący sposób:

α + β = 360º

Rysunek 1. Dwa sprzężone kąty środkowe, suma. Źródło: Wikimedia Commons. Nie podano autora do odczytu maszynowego. Zakłada się, że Thiago R Ramos (na podstawie roszczeń dotyczących praw autorskich). Jest to klasyfikacja kątów według ich sumy. Inne ważne definicje obejmują kąty uzupełniające, których suma wynosi 90º, oraz kąty uzupełniające, których suma wynosi 180º.

Z drugiej strony rozważmy teraz dwie równoległe linie przecięte sieczną, których układ pokazano poniżej:

Rysunek 2. Równoległe linie przecięte sieczną. Źródło: F. Zapata.

Proste MN i PQ są równoległe, podczas gdy prosta RS jest sieczna, przecinając równoleżniki w dwóch punktach. Jak widać, ta konfiguracja determinuje utworzenie 8 kątów, które zostały oznaczone małymi literami.

Cóż, zgodnie z definicją podaną na początku, kąty a, b, c i d są sprzężone. I w ten sam sposób e, f, g i h, ponieważ oba przypadki są prawdziwe:

a + b + c + d = 360º

I

e + f + g + h = 360º

W tej konfiguracji dwa kąty są sprzężone, jeśli znajdują się po tej samej stronie w stosunku do siecznej linii RS i oba są wewnętrzne lub zewnętrzne. W pierwszym przypadku mówimy o wewnętrznych kątach sprzężonych, w drugim są to zewnętrzne kąty sprzężone.

Przykłady

Na rysunku 2 kąty zewnętrzne to te, które znajdują się poza obszarem ograniczonym liniami MN i PQ, są to kąty A, B, G i H. Podczas gdy kąty między dwiema liniami są C, D, E i F.

Teraz należy przeanalizować, które kąty są po lewej, a które po prawej stronie siecznej.

Po lewej stronie RS są kąty A, C, E i G. Po prawej stronie są kąty B, D, F i H.

Natychmiast przystępujemy do określenia sprzężonych par kątów, zgodnie z definicją podaną w poprzedniej sekcji:

-A i G, na zewnątrz i na lewo od RS.

-D i F, wewnątrz i na prawo od RS.

-B i H, na zewnątrz i na prawo od RS.

-C i E, wewnątrz i na lewo od RS.

Własność sprzężonych kątów między liniami równoległymi

Sprzężone kąty między prostymi równoległymi mają charakter uzupełniający, to znaczy ich suma wynosi 180º. W ten sposób dla rysunku 2 prawdziwe są następujące warunki:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Pary odpowiednich kątów dla linii równoległych

Są to te, które znajdują się po tej samej stronie siecznej linii, nie sąsiadują ze sobą i jeden z nich jest wewnętrzny, a drugi zewnętrzny. Ważne jest, aby je zwizualizować, ponieważ ich miara jest taka sama, ponieważ wierzchołek ma przeciwne kąty.

Wracając do rysunku 2, odpowiednie pary kątów są identyfikowane jako:

-A i E.

-C i G.

-B i F.

-D i H.

Kąty wewnętrzne czworoboku

Czworokąty to wielokąty o czterech bokach, na przykład kwadrat, prostokąt, trapez, równoległobok i romb. Niezależnie od kształtu, w każdym z nich prawdą jest, że suma ich kątów wewnętrznych wynosi 360º, dlatego spełniają one definicję podaną na początku.

Zobaczmy kilka przykładów czworoboków i zobaczmy, jak obliczyć wartość ich wewnętrznych kątów zgodnie z informacjami w poprzednich sekcjach:

Przykłady

a) Trzy z kątów czworoboku mają wymiary 75º, 110º i 70º. Ile powinien mierzyć pozostały kąt?

b) Znajdź wartość kąta ∠Q na rysunku 3 i.

c) Oblicz miarę kąta ∠A z rysunku 3 ii.

Rozwiązanie

Niech α będzie brakującym kątem, to jest spełnione, że:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Rozwiązanie b

Na rysunku 3i pokazano trapez, a dwa z jego wewnętrznych kątów są proste, które zostały oznaczone kolorowym kwadratem w rogach. Dla tego czworoboku sprawdza się:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

A zatem:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Rozwiązanie c

Czworokąt na rysunku 3 ii jest również trapezem, dla którego spełnione są następujące warunki:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

A zatem:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Aby określić kąt wymagany w instrukcji, używamy thatA = 4x - 5. Zastępując poprzednio obliczoną wartość x wynika, że ​​∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Wiedząc, że jeden z pokazanych kątów to 125º, znajdź miary 7 pozostałych kątów na poniższym rysunku i uzasadnij odpowiedzi.

Rysunek 4. Linie i kąty ćwiczenia 1. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Kąt 6 i kąt 125º są wewnętrznymi sprzężonymi, których suma wynosi 180º, zgodnie z własnością kątów sprzężonych, a zatem:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Z drugiej strony ∠6 i ∠8 to przeciwne kąty wierzchołka, którego miara jest taka sama. Dlatego ∠8 mierzy 55º.

Kąt ∠1 jest również przeciwny wierzchołkowi na 125º, wtedy możemy stwierdzić, że ∠1 = 125º. Możemy również odwołać się do faktu, że odpowiednie pary kątów mają tę samą miarę. Na rysunku te kąty to:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Ćwiczenie 2

Znajdź wartość x na poniższym rysunku i wartości wszystkich kątów:

Rysunek 5. Linie i kąty do ćwiczenia 2. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Ponieważ są one parami odpowiadającymi sobie, wynika, że ​​F = 73º. Z drugiej strony suma sprzężonych par wynosi 180º, a więc:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Ostatecznie wartość x to:

x = 87/3 = 29

Jeśli chodzi o wszystkie kąty, są one wymienione na poniższym rysunku:

Rysunek 6. Kąty wynikające z ćwiczenia 2. Źródło: F. Zapata.

Bibliografia

1. Grupy kątowe. Objaśnienie kątów uzupełniających, uzupełniających i dodatkowych. Odzyskane z: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Geometria płaszczyzny i przestrzeni oraz trygonometria. Grupa Kulturalna Patria.
3. Corral, M. Mathematics LibreTexts: Angles. Odzyskany z: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Klasyfikacja i konstruowanie kątów poprzez ich pomiar. Odzyskane z: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Geometria płaszczyzny. Odzyskane z: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Kąty sprzężone. Odzyskane z: es.wikipedia.org.