TEORIA MNOGOŚCI: CHARAKTERYSTYKA, ELEMENTY, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Zestaw teoria jest gałęzią logiki matematycznej, który jest odpowiedzialny za badania relacji pomiędzy podmiotami zwanych zestawów. Zestawy charakteryzują się tym, że są kolekcjami przedmiotów o tym samym charakterze. Wspomniane przedmioty są elementami zbioru i mogą to być: liczby, litery, figury geometryczne, słowa przedstawiające przedmioty, same przedmioty i inne.

Pod koniec XIX wieku Georg Cantor zaproponował teorię mnogości. Podczas gdy inni wybitni matematycy XX wieku dokonali formalizacji: między innymi Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel.

Rysunek 1. Diagram Venna zbiorów A, B i ich przecięcia A⋂ B. (Opracowanie własne).

Diagramy Venna są graficznym sposobem przedstawiania zbioru i składają się z postaci zamkniętej płaszczyzny, w której znajdują się elementy zestawu.

Na przykład na rysunku 1 pokazano dwa zbiory A i B, które mają elementy wspólne, elementy wspólne dla A i B. Tworzą one nowy zbiór zwany zbiorem przecięcia A i B, który jest zapisany w postaci symboliczne w następujący sposób:

A ∩ B

cechy

Zbiór jest pojęciem prymitywnym, ponieważ w geometrii jest pojęciem punktu, linii lub płaszczyzny. Nie ma lepszego sposobu na wyrażenie koncepcji niż wskazanie przykładów:

Zestaw E utworzony z kolorów flagi Hiszpanii. Ten sposób wyrażania zbioru nazywa się zrozumieniem. Ten sam zestaw E zapisany przez rozszerzenie to:

E = {czerwony, żółty}

W tym przypadku czerwony i żółty to elementy zbioru E. Należy zaznaczyć, że elementy są wymienione w nawiasach klamrowych i nie są powtarzane. W przypadku flagi hiszpańskiej występują trzy kolorowe paski (czerwony, żółty, czerwony), z których dwa są powtarzane, ale elementy nie są powtarzane, gdy wyrażona jest całość.

Załóżmy, że zbiór V utworzony przez pierwsze trzy litery samogłosek:

V = {a, e, i}

Zbiór potęgowy V, oznaczony przez P (V), jest zbiorem wszystkich zbiorów, które można utworzyć z elementów V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Rodzaje zestawów

Zbiór skończony

To zestaw, w którym jego elementy są policzalne. Przykładami zestawów skończonych są między innymi litery alfabetu hiszpańskiego, samogłoski hiszpańskie, planety Układu Słonecznego. Liczba elementów w skończonym zbiorze nazywana jest jego licznością.

Nieskończony zestaw

Przez nieskończony zbiór rozumie się wszystko, czego liczba jego elementów jest niepoliczalna, ponieważ bez względu na to, jak duża może być liczba jego elementów, zawsze można znaleźć więcej elementów.

Przykładem nieskończonego zbioru jest zbiór liczb naturalnych N, który w postaci ekstensywnej wyraża się następująco:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Jest oczywiście zbiorem nieskończonym, ponieważ bez względu na to, jak duża może być liczba naturalna, zawsze można znaleźć następną co do wielkości, w niekończącym się procesie. Oczywiście moc nieskończonego zbioru to ∞.

Pusty zestaw

To zestaw, który nie zawiera żadnego elementu. Pusty zestaw V jest oznaczony Ø lub parą kluczy bez elementów wewnątrz:

V = {} = Ø.

Pusty zbiór jest unikalny, dlatego powiedzenie „zbiór pusty” musi być niepoprawne, poprawną formą jest określenie „zbiór pusty”.

Wśród właściwości zbioru pustego mamy to, że jest to podzbiór dowolnego zbioru:

Ø ⊂ A

Ponadto, jeśli zbiór jest podzbiorem zbioru pustego, to siłą rzeczy tym zbiorem będzie próżnia:

A ⊂ Ř ⇔ A = Ř

Zestaw jednostkowy

Zestaw jednostek to dowolny zestaw zawierający pojedynczy element. Na przykład zbiór naturalnych satelitów Ziemi jest zbiorem jednolitym, którego jedynym elementem jest Księżyc. Zbiór B liczb całkowitych mniejszych od 2 i większych od zera ma tylko element 1, więc jest to zbiór jednostek.

Zestaw binarny

Zbiór jest binarny, jeśli ma tylko dwa elementy. Na przykład zbiór X taki, że x jest rozwiązaniem liczby rzeczywistej z x ^ 2 = 2. Ten zbiór przez rozszerzenie jest zapisany w ten sposób:

X = {-√2, + √2}

Uniwersalny zestaw

Zestaw uniwersalny to zestaw zawierający inne zestawy tego samego typu lub natury. Na przykład uniwersalny zbiór liczb naturalnych to zbiór liczb rzeczywistych. Ale liczby rzeczywiste są uniwersalnym zbiorem również liczb całkowitych i wymiernych.

Główne elementy

- Relacje między zbiorami

W zespołach można ustanowić różne typy relacji między nimi a ich elementami. Jeśli dwa zbiory A i B mają między sobą dokładnie takie same elementy, ustala się relację równości, oznaczoną następująco:

A = B.

Jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B, ale nie wszystkie elementy B należą do A, to między tymi zbiorami istnieje relacja inkluzji oznaczona w ten sposób:

A ⊂ B, ale B ⊄ A

Powyższe wyrażenie brzmi: A jest podzbiorem B, ale B nie jest podzbiorem A.

Aby wskazać, że jakiś element lub elementy należą do zbioru, używany jest symbol przynależności ∈, na przykład aby powiedzieć, że x element lub elementy należą do zbioru A, jest zapisany symbolicznie w następujący sposób:

x ∈ A

Jeśli element nie należy do zbioru A, relacja ta jest zapisywana następująco:

i ∉ A

Relacja przynależności zachodzi między elementami zbioru a zbiorem, z jedynym wyjątkiem zbioru potęgowego, przy czym zbiór potęgowy jest zbiorem lub zbiorem wszystkich możliwych zbiorów, które mogą być utworzone z elementów tego zbioru.

Załóżmy, że V = {a, e, i}, jego zestaw mocy to P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, w takim przypadku zbiór V staje się elementem zbioru P (V) i można go zapisać:

V ∈ P (V)

- Właściwości inkluzji

Pierwsza właściwość włączenia określa, że ​​każdy zbiór jest zawarty w sobie, lub innymi słowy, że jest podzbiorem samego siebie:

A ⊂ A

Inną właściwością inkluzji jest przechodniość: jeśli A jest podzbiorem B, a B z kolei jest podzbiorem C, to A jest podzbiorem C. W formie symbolicznej relacja przechodniości jest zapisana w następujący sposób:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Poniżej znajduje się diagram Venna odpowiadający przechodniości włączenia:

Rysunek 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operacje między zestawami

Skrzyżowanie

Przecięcie jest operacją między dwoma zbiorami, która daje początek nowym zbiorom należącym do tego samego zbioru uniwersalnego, co dwa pierwsze. W tym sensie jest to operacja zamknięta.

Symbolicznie operacja przecięcia jest sformułowana w następujący sposób:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Oto przykład: zestaw A liter słowa „elementy” i zestaw B liter słowa „powtórzone”, punkt przecięcia między A i B jest zapisany w następujący sposób:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Uniwersalny zbiór U z A, z B, a także z A isB jest zbiorem liter alfabetu hiszpańskiego.

Unia

Suma dwóch zbiorów jest zbiorem utworzonym przez elementy wspólne dla dwóch zbiorów i elementy nie wspólne z tych dwóch zbiorów. Operacja sumowania między zbiorami jest wyrażona symbolicznie w następujący sposób:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Różnica

Operacja różnicowa zbioru A minus zbiór B jest oznaczona przez AB. AB to nowy zbiór utworzony przez wszystkie elementy, które są w A i które nie należą do B. Symbolicznie jest napisane tak:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Rysunek 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Różnica symetryczna

Różnica symetryczna to operacja między dwoma zbiorami, w której wynikowy zbiór składa się z elementów, które nie są wspólne dla tych dwóch zbiorów. Symetryczna różnica jest przedstawiona symbolicznie w następujący sposób:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Przykłady

Przykład 1

Diagram Venna to graficzny sposób przedstawiania zbiorów. Na przykład zestaw C liter w zestawie słów jest reprezentowany w następujący sposób:

Przykład 2

Poniższe diagramy Venna pokazują, że zbiór samogłosek w słowie „zbiór” jest podzbiorem zestawu liter w słowie „zbiór”.

Przykład 3

Zbiór Ñ liter alfabetu hiszpańskiego jest zbiorem skończonym, ten zbiór przez rozszerzenie jest zapisany w następujący sposób:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z}, a jego liczność wynosi 27.

Przykład 4

Zbiór V samogłosek w języku hiszpańskim jest podzbiorem zbioru Ñ:

Zatem V ⊂ Ñ jest zbiorem skończonym.

Skończony zbiór V w formie rozległej jest zapisany w ten sposób: V = {a, e, i, o, u}, a jego liczność wynosi 5.

Przykład 5

Mając zbiory A = {2, 4, 6, 8} i B = {1, 2, 4, 7, 9}, określ AB i BA.

A - B to elementy A, które nie znajdują się w B:

A - B = {6, 8}

B - A to elementy B, które nie znajdują się w A:

B - A = {1, 7, 9}

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Napisz w formie symbolicznej, a także jako rozszerzenie zbioru P parzystych liczb naturalnych mniejszych niż 10.

Rozwiązanie: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Ćwiczenie 2

Załóżmy, że zbiór A utworzony przez liczby naturalne, które są czynnikami 210, i zbiór B utworzony przez pierwsze liczby naturalne mniejsze od 9. Określ przez rozszerzenie oba zbiory i ustal związek między dwoma zbiorami.

Rozwiązanie: Aby określić elementy zbioru A, musimy zacząć od znalezienia współczynników liczby naturalnej 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Następnie zapisujemy zbiór A:

A = {2, 3, 5, 7}

Rozważmy teraz zbiór B, w którym liczby pierwsze są mniejsze od 9. 1 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ nie spełnia definicji liczby pierwszej: „liczba jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie dwa dzielniki, 1 i samą liczbę”. 2 jest parzyste i jednocześnie jest liczbą pierwszą, ponieważ spełnia definicję liczby pierwszej, pozostałe liczby pierwsze mniejsze niż 9 to 3, 5 i 7. A zatem zbiór B to:

B = {2, 3, 5, 7}

Dlatego te dwa zbiory są równe: A = B.

Ćwiczenie 3

Określ zbiór, którego elementy x różnią się od x.

Rozwiązanie: C = {x / x ≠ x}

Ponieważ każdy element, liczba lub obiekt jest sobie równy, zbiór C nie może być inny niż zbiór pusty:

C = Ř

Ćwiczenie 4

Niech zbiór N liczb naturalnych i Z będzie zbiorem liczb całkowitych. Wyznacz N ⋂ Z i N ∪ Z.

Rozwiązanie:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, ponieważ N ⊂ Z.

Bibliografia

1. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe: Jak rozwiązać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF i Paul, RS (2003). Matematyka dla zarządzania i ekonomii. Edukacja Pearson.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematyka 1 WRZ. Próg.
4. Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
5. Matematyka 10 (2018). „Przykłady zbiorów skończonych”. Odzyskany z: matematicas10.net
6. Wikipedia. Teoria mnogości. Odzyskany z: es.wikipedia.com