- Liczby kombinatoryczne
- Demonstracja
- Przykłady
- Tożsamość 1
- Tożsamość 2
- Kolejna demonstracja
- Dowód indukcyjny
- Ciekawostki
- Bibliografia
Dwumianowy Twierdzenie to równanie, które mówi nam, jak rozwijać wyrażenie w postaci (a + b) n dla pewnej liczby naturalnej n. Dwumian to nic innego jak suma dwóch elementów, takich jak (a + b). Pozwala nam również wiedzieć, dla terminu określonego przez a k b n-k, jaki jest współczynnik, który mu towarzyszy.
Twierdzenie to jest powszechnie przypisywane angielskiemu wynalazcy, fizykowi i matematykowi Sir Isaacowi Newtonowi; Znaleziono jednak różne zapisy wskazujące, że jego istnienie było już znane na Bliskim Wschodzie, około roku 1000.
Liczby kombinatoryczne
Twierdzenie dwumianowe matematycznie mówi nam, co następuje:
W tym wyrażeniu a i b są liczbami rzeczywistymi, a n jest liczbą naturalną.
Zanim udostępnimy demo, spójrzmy na kilka podstawowych pojęć, które są niezbędne.
Liczbę kombinatoryczną lub kombinacje n w k wyraża się następująco:
Ta forma wyraża wartość tego, ile podzbiorów z k elementów można wybrać ze zbioru n elementów. Jego wyrażenie algebraiczne daje:
Zobaczmy przykład: załóżmy, że mamy grupę siedmiu piłek, z których dwie są czerwone, a pozostałe niebieskie.
Chcemy wiedzieć, na ile sposobów możemy je ustawić w rzędzie. Jednym ze sposobów mogłoby być umieszczenie dwóch czerwonych na pierwszej i drugiej pozycji, a pozostałych piłek na pozostałych pozycjach.
Podobnie jak w poprzednim przypadku, moglibyśmy przypisać czerwonym kulkom odpowiednio pierwszą i ostatnią pozycję, a pozostałe zająć niebieskimi kulkami.
Teraz skutecznym sposobem policzenia, na ile sposobów możemy ułożyć kulki w rzędzie, jest użycie liczb kombinatorycznych. Każdą pozycję widzimy jako element następującego zbioru:
Wtedy pozostaje tylko wybrać podzbiór dwóch elementów, w których każdy z tych elementów reprezentuje pozycję, jaką zajmą czerwone kulki. Wyboru tego możemy dokonać na podstawie zależności podanej przez:
W ten sposób mamy 21 sposobów na zamówienie tych piłek.
Ogólna idea tego przykładu będzie bardzo przydatna do udowodnienia twierdzenia o dwumianach. Spójrzmy na konkretny przypadek: jeśli n = 4, mamy (a + b) 4 , czyli nic więcej niż:
Kiedy opracowujemy ten iloczyn, pozostaje nam suma wyrazów uzyskanych poprzez pomnożenie jednego elementu każdego z czterech czynników (a + b). W ten sposób będziemy mieć terminy, które będą miały postać:
Gdybyśmy chcieli otrzymać wyraz w postaci 4 , musimy po prostu pomnożyć w następujący sposób:
Zwróć uwagę, że jest tylko jeden sposób na uzyskanie tego elementu; ale co się stanie, jeśli teraz poszukamy terminu postaci a 2 b 2 ? Ponieważ „a” i „b” są liczbami rzeczywistymi, a zatem stosuje się prawo przemienne, jednym ze sposobów uzyskania tego wyrażenia jest pomnożenie przez elementy, jak wskazują strzałki.
Wykonywanie wszystkich tych operacji jest zwykle nieco uciążliwe, ale jeśli postrzegamy termin „a” jako kombinację, w której chcemy wiedzieć, na ile sposobów możemy wybrać dwa „a” z zestawu czterech czynników, możemy skorzystać z pomysłu z poprzedniego przykładu. Mamy więc następujące rzeczy:
Zatem wiemy, że w końcowym rozwinięciu wyrażenia (a + b) 4 będziemy mieli dokładnie 6a 2 b 2 . Korzystając z tego samego pomysłu dla innych elementów, musisz:
Następnie dodajemy otrzymane wcześniej wyrażenia i mamy to:
Jest to formalny dowód dla ogólnego przypadku, w którym „n” jest dowolną liczbą naturalną.
Demonstracja
Należy zauważyć, że wyrazy pozostawione przez rozwinięcie (a + b) n mają postać a k b n-k , gdzie k = 0,1,…, n. Korzystając z idei z poprzedniego przykładu, mamy sposób, aby wybrać zmienne «k», «a» z czynników «n» to:
Wybierając w ten sposób automatycznie wybieramy zmienne nk „b”. Z tego wynika, że:
Przykłady
Biorąc pod uwagę (a + b) 5 , jaki byłby jego rozwój?
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym mamy:
Twierdzenie o dwumianach jest bardzo przydatne, jeśli mamy wyrażenie, w którym chcemy wiedzieć, jaki jest współczynnik określonego składnika, bez konieczności wykonywania pełnego rozwinięcia. Jako przykład możemy wziąć następującą niewiadomą: jaki jest współczynnik x 7 i 9 w rozszerzaniu (x + y) 16 ?
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym mamy, że współczynnik wynosi:
Innym przykładem może być: jaki jest współczynnik x 5 i 8 w rozszerzaniu (3x-7y) 13 ?
Najpierw przepisujemy wyrażenie w wygodny sposób; to jest:
Następnie, używając twierdzenia dwumianowego, mamy, że szukany współczynnik jest wtedy, gdy mamy k = 5
Innym przykładem użycia tego twierdzenia jest dowód niektórych wspólnych tożsamości, takich jak te, o których wspomnimy dalej.
Tożsamość 1
Jeśli „n” jest liczbą naturalną, mamy:
Jako dowód używamy dwumianu twierdzenia, w którym zarówno „a”, jak i „b” przyjmują wartość 1. Otrzymujemy wtedy:
W ten sposób udowodniliśmy pierwszą tożsamość.
Tożsamość 2
Jeśli „n” jest liczbą naturalną, to
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym mamy:
Kolejna demonstracja
Możemy zrobić inny dowód dla twierdzenia dwumianowego, używając metody indukcyjnej i tożsamości Pascala, który mówi nam, że jeśli „n” i „k” są dodatnimi liczbami całkowitymi spełniającymi n ≥ k, to:
Dowód indukcyjny
Najpierw zobaczmy, że podstawa indukcyjna zachowuje. Jeśli n = 1, mamy:
Rzeczywiście widzimy, że się wypełniło. Teraz niech n = j takie, że:
Chcemy zobaczyć, że dla n = j + 1 prawdą jest, że:
Więc musimy:
Dzięki hipotezie wiemy, że:
Następnie używając właściwości rozdzielającej:
Następnie, opracowując każdą z sum, mamy:
Teraz, jeśli pogrupujemy w wygodny sposób, mamy to:
Korzystając z tożsamości pascala, mamy:
Na koniec zwróć uwagę, że:
Dlatego widzimy, że dwumianowe twierdzenie obowiązuje dla wszystkich „n” należących do liczb naturalnych i na tym dowód się kończy.
Ciekawostki
Liczba kombinatoryczna (nk) jest również nazywana współczynnikiem dwumianowym, ponieważ jest to dokładnie współczynnik, który pojawia się w rozwoju dwumianu (a + b) n .
Izaak Newton uogólnił to twierdzenie dla przypadku, w którym wykładnik jest liczbą rzeczywistą; To twierdzenie jest znane jako dwumianowe twierdzenie Newtona.
Już w starożytności wynik ten był znany z konkretnego przypadku, w którym n = 2. Ten przypadek jest wspomniany w Euclid's Elements.
Bibliografia
- Johnsonbaugh Richard. Matematyka dyskretna. PHH
- Kenneth.H. Rosen, matematyka dyskretna i jej zastosowania. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Dr Seymour Lipschutz i Marc Lipson. Matematyka dyskretna. McGRAW-HILL.
- Ralph P. Grimaldi. Matematyka dyskretna i kombinatoryczna. Addison-Wesley Iberoamericana
- Green Star Luis. . Matematyka dyskretna i kombinatoryczna Anthropos