LICZBY NIERACJONALNE: HISTORIA, WŁASNOŚCI, KLASYFIKACJA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2026

Te numery nieracjonalne są takie, których ekspresja ma nieskończoną decymetry bez powtarzania wzorca, a zatem nie mogą być uzyskane od stosunku między dwiema liczbami całkowitymi.

Do najbardziej znanych liczb niewymiernych należą:

Rysunek 1. Od góry do dołu następujące liczby niewymierne: pi, liczba Eulera, złoty podział i dwa pierwiastki kwadratowe. Źródło: Pixabay.

Wśród nich bez wątpienia najbardziej znane jest π (pi), ale jest ich o wiele więcej. Wszystkie należą do zbioru liczb rzeczywistych, który jest zbiorem liczbowym grupującym liczby wymierne i niewymierne.

Elipsy na rysunku 1 wskazują, że ułamki dziesiętne są ciągłe w nieskończoność, co się dzieje, że przestrzeń zwykłych kalkulatorów pozwala na wyświetlenie tylko kilku.

Jeśli przyjrzymy się uważnie, za każdym razem, gdy wykonamy iloraz między dwiema liczbami całkowitymi, otrzymamy ułamek dziesiętny z ograniczonymi liczbami lub, jeśli nie, z liczbami nieskończonymi, w których jedna lub więcej jest powtarzanych. Cóż, nie dzieje się tak w przypadku liczb niewymiernych.

Historia liczb niewymiernych

Wielki starożytny matematyk Pitagoras, urodzony w 582 roku pne na Samos w Grecji, założył szkołę myśli Pitagorasa i odkrył słynne twierdzenie, które nosi jego imię. Mamy go tutaj, po lewej stronie (Babilończycy mogli to wiedzieć już dawno).

Rysunek 2. Twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trójkąta o bokach równych 1. Źródło: Pixabay / Wikimedia Commons.

Cóż, kiedy Pitagoras (lub prawdopodobnie jego uczeń) zastosował twierdzenie do trójkąta prostokątnego o bokach równych 1, znalazł liczbę niewymierną √2.

Zrobił to w ten sposób:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

I natychmiast zdał sobie sprawę, że ta nowa liczba nie pochodzi z ilorazu dwóch innych liczb naturalnych, które były wówczas znane.

Dlatego nazwał to irracjonalnym, a odkrycie to wywołało wielki niepokój i zdumienie wśród pitagorejczyków.

Własności liczb niewymiernych

-The zbiór wszystkich liczb nieracjonalne oznaczona literą I, bądź jako Q lub Q * ^C . Związek między liczbami niewymiernymi I lub Q * i wymiernymi Q daje początek zbioru liczb rzeczywistych R.

-W przypadku liczb niewymiernych można wykonywać znane operacje arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, upoważnianie i inne.

-Dzielenie przez 0 również nie jest definiowane między liczbami niewymiernymi.

- Suma i iloczyn liczb niewymiernych niekoniecznie jest kolejną liczbą niewymierną. Na przykład:

√2 x √8 = √16 = 4

A 4 nie jest liczbą nieracjonalną.

-Jednak suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej daje wynik niewymierny. W ten sposób:

1 + √2 = 2,41421356237…

- Iloczyn liczby wymiernej różnej od 0 przez liczbę niewymierną jest również niewymierny. Spójrzmy na ten przykład:

2 x √2 = 2,828427125…

-Odwrotność liczby niewymiernej powoduje powstanie innej liczby niewymiernej. Spróbujmy trochę:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Liczby te są interesujące, ponieważ są również wartościami niektórych stosunków trygonometrycznych znanych kątów. Większość stosunków trygonometrycznych to liczby niewymierne, ale są wyjątki, takie jak sin 30º = 0,5 = ½, co jest racjonalne.

-W sumie właściwości przemienne i asocjacyjne są spełnione. Jeśli a i b są dwiema liczbami niewymiernymi, oznacza to, że:

a + b = b + a.

A jeśli c jest kolejną liczbą niewymierną, to:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Właściwość rozdzielcza mnożenia względem dodawania to kolejna dobrze znana właściwość, która jest również prawdziwa dla liczb niewymiernych. W tym przypadku:

a. (b + c) = ab + ac

-Nierracjonalne a ma swoje przeciwieństwo: -a. Po ich dodaniu wynik wynosi 0:

a + (- a) = 0

-Pomiędzy dwoma różnymi wymiernymi jest co najmniej jedna liczba niewymierna.

Lokalizacja liczby niewymiernej na linii rzeczywistej

Linia rzeczywista to linia pozioma, na której znajdują się liczby rzeczywiste, których ważną częścią są liczby niewymierne.

Aby znaleźć liczbę niewymierną na linii rzeczywistej, w postaci geometrycznej, możemy użyć twierdzenia Pitagorasa, linijki i kompasu.

Jako przykład umieścimy √5 na rzeczywistej linii, dla której narysujemy trójkąt prostokątny o bokach x = 2 i y = 1, jak pokazano na rysunku:

Rysunek 3. Metoda znajdowania liczby niewymiernej na prostej rzeczywistej. Źródło: F. Zapata.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa przeciwprostokątna takiego trójkąta to:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Teraz kompas jest ustawiony z punktem na 0, gdzie znajduje się również jeden z wierzchołków prawego trójkąta. Punkt ołówka cyrkla powinien znajdować się na wierzchołku A.

Rysowany jest łuk obwodu, który przecina rzeczywistą linię. Ponieważ odległość między środkiem obwodu a dowolnym punktem na nim jest promieniem, który jest równy √5, punkt przecięcia jest również daleko √5 od środka.

Z wykresu widać, że √5 zawiera się między 2 a 2,5. Kalkulator podaje przybliżoną wartość:

√5 = 2,236068

I tak, budując trójkąt o odpowiednich bokach, można zlokalizować inne nieracjonalne, takie jak √7 i inne.

Klasyfikacja liczb niewymiernych

Liczby nieracjonalne są podzielone na dwie grupy:

-Algebraiczny

-Transcendentalny lub transcendentalny

Liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne, które mogą być nieracjonalne lub nie, są rozwiązaniami równań wielomianowych, których ogólna postać jest następująca:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Przykładem równania wielomianowego jest równanie kwadratowe, takie jak:

x ³ - 2x = 0

Łatwo wykazać, że jednym z rozwiązań tego równania jest liczba niewymierna √2.

Liczby transcendentne

Z drugiej strony, liczby transcendentne, chociaż są nieracjonalne, nigdy nie pojawiają się jako rozwiązanie równania wielomianowego.

Liczby transcendentne najczęściej spotykane w matematyce stosowanej to π, ze względu na jej związek z obwodem i liczbą e lub liczbą Eulera, która jest podstawą logarytmów naturalnych.

Ćwiczenie

Szary kwadrat umieszcza się na czarnym kwadracie w miejscu wskazanym na rysunku. Wiadomo, że powierzchnia czarnego kwadratu wynosi 64 cm ² . Ile są długości obu kwadratów?

Rysunek 4. Dwa kwadraty, z których chcemy obliczyć długość boków. Źródło: F. Zapata.

Odpowiadać

Pole kwadratu o boku L to:

A = L ²

Ponieważ czarny kwadrat ma powierzchnię 64 cm ² , jego bok musi mieć 8 cm.

Ten wymiar jest taki sam jak przekątna szarego kwadratu. Stosując twierdzenie Pitagorasa do tej przekątnej i pamiętając, że boki kwadratu są takie same, otrzymamy:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Gdzie L _g jest bokiem szarego kwadratu.

Dlatego: 2L _g ² = 8 ²

Stosowanie pierwiastka kwadratowego po obu stronach równości:

L _g = (8 / √2) cm

Bibliografia

1. Carena, M. 2019. Przeduniwersytecki podręcznik matematyczny. National University of the Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematyka 9th. Stopień. Edycje CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Portal edukacyjny. Liczby nieracjonalne i ich własności. Odzyskany z: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Liczby nieracjonalne. Odzyskane z: es.wikipedia.org.