PERMUTACJE BEZ POWTÓRZEŃ: WZORY, DOWODY, ĆWICZENIA, PRZYKŁADY - DUDAS - 2025

Permutacji bez powtórzeń elementów n jest różne grupy poszczególnych elementów, które mogą być otrzymane z nie powtarzania elementu jedynie zmieniając kolejność rozmieszczenia elementów.

Aby poznać liczbę permutacji bez powtórzeń, stosuje się następujący wzór:

Pn = n!

Który rozszerzony byłby Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Zatem w poprzednim przykładzie praktycznym byłoby to stosowane w następujący sposób:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 różne 4-cyfrowe liczby.

Są to w sumie 24 macierze: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Jak widać, w żadnym przypadku nie ma powtórzeń, ponieważ są to 24 różne liczby.

Demo i formuły

24 Aranżacje 4 różnych figur

Przeanalizujemy dokładniej przykład 24 różnych 4-cyfrowych układów, które można utworzyć za pomocą cyfr liczby 2468. Liczbę aranżacji (24) można określić następująco:

Masz 4 opcje wyboru pierwszej cyfry, pozostawiając 3 opcje wyboru drugiej. Dwie cyfry zostały już ustawione i pozostają 2 opcje wyboru trzeciej cyfry. Ostatnia cyfra ma tylko jedną opcję wyboru.

Dlatego liczbę permutacji, oznaczoną przez P4, uzyskuje się jako iloczyn opcji wyboru na każdej pozycji:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 różne 4-cyfrowe liczby

Ogólnie rzecz biorąc, liczba różnych permutacji lub aranżacji, które można wykonać ze wszystkimi n elementami danego zbioru, to:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Wyrażenie n! Jest znany jako silnia n i oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych między liczbą n a liczbą jeden, w tym obie.

12 Układy 2 różnych figur

Załóżmy teraz, że chcesz poznać liczbę permutacji lub liczb dwucyfrowych, które można utworzyć za pomocą cyfr liczby 2468.

W sumie byłoby to 12 układów: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Masz 4 opcje wyboru pierwszej cyfry, pozostawiając 3 cyfry do wybrania drugiej. Dlatego liczbę permutacji 4 cyfr wziętych dwa na dwie, oznaczonych jako 4P2, uzyskuje się jako iloczyn opcji wyboru w każdej pozycji:

4P2 = 4 * 3 = 12 różnych liczb dwucyfrowych

Ogólnie rzecz biorąc, liczba różnych permutacji lub układów, które można wykonać za pomocą r elementów n ogółem w danym zbiorze wynosi:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Powyższe wyrażenie zostaje obcięte przed odtworzeniem n!. Aby ukończyć n! z tego powinniśmy napisać:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Z kolei czynniki, które dodajemy, reprezentują silnię:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

A zatem,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Stąd

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Przykłady

Przykład 1

Ile różnych 5-literowych kombinacji liter można skonstruować z literami słowa KEY?

Chcemy znaleźć liczbę różnych kombinacji liter składających się z 5 liter, które można zbudować z 5 liter słowa KEY; to znaczy liczba 5-literowych tablic obejmujących wszystkie litery dostępne w słowie KEY.

Liczba 5-literowych słów = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 różnych kombinacji 5-literowych.

Byłyby to: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… łącznie do 120 różnych kombinacji liter.

Przykład 2

Masz 15 ponumerowanych piłek i chcesz wiedzieć Ile różnych grup 3 piłek można zbudować z 15 ponumerowanych piłek?

Chcesz znaleźć liczbę grup 3 piłek, które można wykonać za pomocą 15 ponumerowanych piłek.

Liczba grup po 3 kulki = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Liczba grup po 3 kulki = 15 * 14 * 13 = 2730 grup po 3 kulki

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Sklep owocowy posiada stoisko wystawiennicze składające się z rzędu komór zlokalizowanych w holu wejściowym do lokalu. W jeden dzień warzywniak kupuje do sprzedaży: pomarańcze, banany, ananasy, gruszki i jabłka.

a) Na ile różnych sposobów zamawiania stoiska wystawienniczego?

b) Na ile różnych sposobów musi zamówić stoisko, jeśli oprócz wspomnianych owoców (5) otrzymał tego dnia: mango, brzoskwinie, truskawki i winogrona (4)?

a) Chcemy znaleźć wiele różnych sposobów uporządkowania wszystkich owoców w wyświetlanym rzędzie; to znaczy liczba zestawów 5 owoców, które obejmują wszystkie owoce dostępne do sprzedaży w danym dniu.

Liczba konfiguracji stoisk = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba aranżacji stoisk = 120 sposobów prezentacji stoiska

b) Chcemy znaleźć liczbę różnych sposobów zamawiania wszystkich owoców w wierszu wyświetlania, jeśli dodano 4 dodatkowe pozycje; to znaczy liczba zestawów 9 owoców, które obejmują wszystkie owoce dostępne do sprzedaży w danym dniu.

Liczba konfiguracji stoisk = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba aranżacji stoisk = 362 880 sposobów prezentacji stoiska

Ćwiczenie 2

Mały punkt gastronomiczny ma działkę z wystarczającą ilością miejsca na zaparkowanie 6 pojazdów.

a) Ile różnych sposobów zamawiania pojazdów na działce można wybrać?

b) Załóżmy, że nabyto ciągłą działkę, której wymiary pozwalają na zaparkowanie 10 pojazdów, ile różnych form rozmieszczenia pojazdów można teraz wybrać?

a) Chcemy znaleźć wiele różnych sposobów zamawiania 6 pojazdów, które można umieścić na działce.

Liczba układów 6 pojazdów = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba aranżacji 6 pojazdów = 720 różnych sposobów zamawiania 6 pojazdów na działce.

b) Chcemy znaleźć liczbę różnych sposobów zamawiania 10 pojazdów, które można umieścić na działce po rozbudowie działki.

Liczba układów 10 pojazdów = P10 = 10!

Liczba układów pojazdu = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba aranżacji 10 pojazdów = 3 628 800 różne sposoby zamawiania 10 pojazdów na działce.

Ćwiczenie 3

Kwiaciarnia ma kwiaty w 6 różnych kolorach, aby tworzyć flagi narodowe, które mają tylko 3 kolory. Jeśli wiadomo, że we flagach ważna jest kolejność kolorów,

a) Ile różnych flag w 3 kolorach można wykonać z 6 dostępnych kolorów?

b) Sprzedawca kupuje kwiaty w 2 dodatkowych kolorach do 6, które już miał, ile teraz można wykonać w różnych kolorach w 3 kolorach?

c) Ponieważ masz 8 kolorów, decydujesz się poszerzyć gamę flag.Ile różnych 4-kolorowych flag możesz wykonać?

d) Ile z 2 kolorów?

a) Chcemy znaleźć liczbę różnych flag w 3 kolorach, które można wykonać, wybierając spośród 6 dostępnych kolorów.

Liczba flag 3-kolorowych = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Liczba flag 3-kolorowych = 6 * 5 * 4 = 120 flag

b) Chcesz znaleźć liczbę różnych flag w 3 kolorach, które można wykonać, wybierając spośród 8 dostępnych kolorów.

Liczba flag 3-kolorowych = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Liczba flag 3-kolorowych = 8 * 7 * 6 = 336 flag

c) Należy obliczyć liczbę różnych 4-kolorowych flag, które można wykonać wybierając spośród 8 dostępnych kolorów.

Liczba flag 4-kolorowych = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Liczba flag 4-kolorowych = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 flag

d) Chcesz określić liczbę różnych 2-kolorowych flag, które można wykonać, wybierając spośród 8 dostępnych kolorów.

Liczba flag 2-kolorowych = 8P2 = 8! / (8-2)!

Liczba flag w 2 kolorach = 8 * 7 = 56 flag

Bibliografia

1. Boada, A. (2017). Zastosowanie permutacji z powtórzeniami jako nauczanie eksperymentów. Magazyn Vivat Academia. Odzyskany z researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Prawdopodobieństwo i statystyka. Zastosowania i metody. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Metody statystyczne niestosowane w naukach społecznych. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statystyka. Czwarte wyd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Prawdopodobieństwo i statystyki dla inżynierów i naukowców. Ósme wydanie. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statystyki stosowane w biznesie i gospodarce. Wydanie trzecie. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutacja. Odzyskany z en.wikipedia.org.