WŁAŚCIWOŚCI RÓWNOŚCI - MATEMATYKA - 2025

Te właściwości równości odnoszą się do relacji między dwoma obiektami matematycznymi, czy są to numery lub zmienne. Jest oznaczony symbolem „=”, który zawsze znajduje się między tymi dwoma obiektami. To wyrażenie jest używane do ustalenia, że ​​dwa obiekty matematyczne reprezentują ten sam obiekt; innymi słowy, że dwa obiekty to to samo.

Są przypadki, w których użycie równości jest trywialne. Na przykład jasne jest, że 2 = 2. Jednak jeśli chodzi o zmienne, nie jest to już trywialne i ma określone zastosowania. Na przykład, jeśli mamy, że y = x, az drugiej strony x = 7, możemy wywnioskować, że również y = 7.

Powyższy przykład jest oparty na jednej z właściwości równości, jak wkrótce się przekonasz. Właściwości te są niezbędne do rozwiązywania równań (równości obejmujących zmienne), które stanowią bardzo ważną część matematyki.

Jakie są właściwości równości?

Właściwości odblaskowe

Własność zwrotna w przypadku równości stwierdza, że ​​każda liczba jest sobie równa i jest wyrażona jako b = b dla dowolnej liczby rzeczywistej b.

W szczególnym przypadku równości ta właściwość wydaje się oczywista, ale w innych typach relacji między liczbami tak nie jest. Innymi słowy, nie każda relacja liczb rzeczywistych spełnia tę właściwość. Na przykład taki przypadek relacji „mniejsze niż” (<); żadna liczba nie jest mniejsza od siebie.

Własność symetryczna

Symetryczna własność równości mówi, że jeśli a = b, to b = a. Bez względu na to, jaka kolejność jest używana w zmiennych, zostanie zachowana przez relację równości.

W przypadku dodawania można zaobserwować pewną analogię tej własności z własnością przemienną. Na przykład, ze względu na tę właściwość, jest to równoważne zapisaniu y = 4 lub 4 = y.

Własność przechodnia

Własność przechodnia równości stwierdza, że ​​jeśli a = b i b = c, to a = c. Na przykład 2 + 7 = 9 i 9 = 6 + 3; dlatego przez własność przechodnią mamy 2 + 7 = 6 + 3.

Prosta aplikacja jest następująca: załóżmy, że Julian ma 14 lat, a Mario jest w tym samym wieku co Rosa. Jeśli Rosa jest w tym samym wieku co Julián, ile lat ma Mario?

W tym scenariuszu właściwość przechodnia jest używana dwukrotnie. Matematycznie interpretuje się to następująco: niech „a” będzie wiekiem Mario, „b” wiekiem Rosy, a „c” wiekiem Juliana. Wiadomo, że b = c i że c = 14.

Przez własność przechodnią otrzymujemy b = 14; to znaczy Rosa ma 14 lat. Ponieważ a = b i b = 14, wykorzystując własność przechodnią ponownie otrzymujemy a = 14; to znaczy wiek Mario również ma 14 lat.

Jednolita własność

Jednolita właściwość polega na tym, że jeśli obie strony równości zostaną dodane lub pomnożone przez tę samą kwotę, równość zostanie zachowana. Na przykład, jeśli 2 = 2, to 2 + 3 = 2 + 3, co jest jasne, ponieważ 5 = 5. Ta właściwość jest najbardziej przydatna podczas rozwiązywania równania.

Na przykład załóżmy, że masz rozwiązać równanie x-2 = 1. Warto pamiętać, że rozwiązywanie równania polega na jawnym określeniu danej zmiennej (lub zmiennych) na podstawie określonej liczby lub wcześniej określonej zmiennej.

Wracając do równania x-2 = 1, musisz dokładnie określić, ile jest warte x. Aby to zrobić, zmienna musi zostać wyczyszczona.

Błędnie nauczono, że w tym przypadku, ponieważ liczba 2 jest ujemna, przechodzi na drugą stronę równości ze znakiem dodatnim. Ale nie jest poprawne mówienie tego w ten sposób.

Zasadniczo to, co robisz, to stosowanie właściwości munduru, jak zobaczymy poniżej. Chodzi o to, aby wyczyścić „x”; to znaczy zostaw to w spokoju po jednej stronie równania. Zgodnie z konwencją jest zwykle pozostawiony po lewej stronie.

W tym celu liczba do „wyeliminowania” wynosi -2. Można to zrobić dodając 2, ponieważ -2 + 2 = 0 i x + 0 = 0. Aby to zrobić bez zmiany równości, tę samą operację należy zastosować po drugiej stronie.

To pozwala nam zrealizować właściwość jednolitości: ponieważ x-2 = 1, jeśli liczba 2 zostanie dodana po obu stronach równości, właściwość uniformu mówi, że nie jest zmieniana. Następnie mamy x-2 + 2 = 1 + 2, co jest równoważne stwierdzeniu, że x = 3. Dzięki temu równanie zostanie rozwiązane.

Podobnie, jeśli chcesz rozwiązać równanie (1/5) y-1 = 9, możesz postępować, używając właściwości uniform w następujący sposób:

Mówiąc bardziej ogólnie, można sformułować następujące stwierdzenia:

- Jeśli ab = cb, to a = c.

- Jeśli xb = y, to x = y + b.

- Jeśli (1 / a) z = b, to z = a ×

- Jeśli (1 / c) a = (1 / c) b, to a = b.

Właściwość anulowania

Właściwość anulowania jest szczególnym przypadkiem właściwości jednolitej, szczególnie biorąc pod uwagę przypadek odejmowania i dzielenia (które w zasadzie odpowiadają również dodawaniu i mnożeniu). Ta właściwość traktuje ten przypadek oddzielnie.

Na przykład, jeśli 7 + 2 = 9, to 7 = 9-2. Lub jeśli 2y = 6, to y = 3 (podzielone przez dwa po obu stronach).

Analogicznie jak w poprzednim przypadku, poprzez właściwość cancellation można ustalić następujące oświadczenia:

- Jeśli a + b = c + b, to a = c.

- Jeśli x + b = y, to x = yb.

- Jeśli az = b, to z = b / a.

- Jeśli ca = cb, to a = b.

Własność zastępcza

Jeśli znamy wartość obiektu matematycznego, własność podstawienia stwierdza, że ​​wartość tę można podstawić w dowolnym równaniu lub wyrażeniu. Na przykład, jeśli b = 5 i a = bx, to podstawiając wartość „b” w drugiej równości otrzymujemy a = 5x.

Inny przykład jest następujący: jeśli „m” dzieli „n”, a także „n” dzieli „m”, to musimy mieć to, że m = n.

Rzeczywiście, powiedzenie, że „m” dzieli „n” (lub równoważnie, że „m” jest dzielnikiem „n”) oznacza, że ​​dzielenie m ÷ n jest dokładne; to znaczy, dzieląc „m” przez „n”, otrzymujemy liczbę całkowitą, a nie liczbę dziesiętną. Można to wyrazić mówiąc, że istnieje liczba całkowita „k” taka, że ​​m = k × n.

Ponieważ „n” dzieli również „m”, istnieje liczba całkowita „p” taka, że ​​n = p × m. Ze względu na właściwość podstawienia, mamy, że n = p × k × n, a żeby tak się stało, istnieją dwie możliwości: n = 0, w którym to przypadku mielibyśmy tożsamość 0 = 0; op × k = 1, stąd tożsamość n = n.

Załóżmy, że „n” jest niezerowe. Wtedy koniecznie p × k = 1; zatem p = 1 i k = 1. Używając ponownie własności podstawienia, podstawiając k = 1 w równości m = k × n (lub równoważnie, p = 1 w n = p × m), w końcu otrzymujemy, że m = n, co chcieliśmy udowodnić.

Własność władzy w równości

Tak jak poprzednio zauważono, że jeśli operacja, taka jak dodawanie, mnożenie, odejmowanie lub dzielenie, jest wykonywana w obu kategoriach równości, jest ona zachowywana w taki sam sposób, w jaki można zastosować inne operacje, które nie zmieniają równości.

Kluczem jest to, aby zawsze wykonywać to po obu stronach równości i upewnić się z góry, że operacja może zostać wykonana. Tak jest w przypadku upoważnienia; to znaczy, jeśli obie strony równania są podniesione do tej samej potęgi, nadal mamy równość.

Na przykład, ponieważ 3 = 3, więc 3 ² = 3 ² (9 = 9). Ogólnie, biorąc pod uwagę liczbę całkowitą „n”, jeśli x = y, to x ⁿ = y ⁿ .

Właściwość root w równości

Jest to szczególny przypadek upełnomocnienia i jest stosowany, gdy potęga jest niecałkowitą liczbą wymierną, taką jak ½, która reprezentuje pierwiastek kwadratowy. Ta własność stwierdza, że ​​jeśli ten sam pierwiastek zostanie zastosowany do obu stron równości (jeśli to możliwe), równość zostanie zachowana.

W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, tutaj trzeba uważać na stosowaną parzystość pierwiastka, ponieważ dobrze wiadomo, że pierwiastek parzysty liczby ujemnej nie jest dobrze zdefiniowany.

W przypadku, gdy radykał jest równy, nie ma problemu. Na przykład, jeśli x ³ = -8, nawet jeśli jest to równość, nie możesz na przykład zastosować pierwiastka kwadratowego po obu stronach. Jeśli jednak możesz zastosować pierwiastek sześcienny (co jest jeszcze wygodniejsze, jeśli chcesz jawnie poznać wartość x), uzyskując w ten sposób x = -2.

Bibliografia

1. Aylwin, CU (2011). Logika, zbiory i liczby. Mérida - Wenezuela: Rada ds. Publikacji, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematyka 1 WRZ. Próg.
3. Lira, ML (1994). Simon i matematyka: tekst z matematyki do drugiej klasy: zeszyt ucznia. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Zajęcia i gry matematyczne z Miguelem i Lucíą. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C. i Preciado, M. (1985). II Kurs Matematyki. Redakcja Progreso.