PODSTAWY ORTONORMALNE: WŁAŚCIWOŚCI, PRZYKŁADY I ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2025

Ortonormalną podstawa jest wykonana z wektorów prostopadłe do siebie i której moduł jest 1 (wektor jednostkowy). Pamiętajmy, że podstawa B w przestrzeni wektorowej V jest zdefiniowana jako zbiór liniowo niezależnych wektorów zdolnych do wygenerowania tej przestrzeni.

Z kolei przestrzeń wektorowa to abstrakcyjny byt matematyczny, wśród którego elementami są wektory, zwykle związane z wielkościami fizycznymi, takimi jak prędkość, siła i przemieszczenie, lub też z macierzami, wielomianami i funkcjami.

Rysunek 1. Podstawa ortonormalna w płaszczyźnie. Źródło: Wikimedia Commons. Quartl.

Wektory mają trzy charakterystyczne elementy: wielkość lub moduł, kierunek i zwrot. Baza ortonormalna jest szczególnie przydatna do reprezentowania i operowania nimi, ponieważ każdy wektor należący do określonej przestrzeni wektorowej V można zapisać jako liniową kombinację wektorów tworzących bazę ortonormalną.

W ten sposób operacje między wektorami, takie jak dodawanie, odejmowanie i różne typy iloczynów zdefiniowane w tej przestrzeni, są wykonywane analitycznie.

Jedną z najczęściej używanych podstaw w fizyce jest podstawa utworzona przez wektory jednostkowe i , j i k, które reprezentują trzy charakterystyczne kierunki przestrzeni trójwymiarowej: wysokość, szerokość i głębokość. Te wektory są również znane jako jednostkowe wektory kanoniczne.

Gdyby zamiast tego wektory pracowały na płaszczyźnie, wystarczyłyby dwa z tych trzech składników, podczas gdy dla wektorów jednowymiarowych wystarczy jeden.

Właściwości zasad

1- Baza B to najmniejszy możliwy zbiór wektorów, które generują przestrzeń wektorową V.

2- Elementy B są liniowo niezależne.

3. Dowolna podstawa B przestrzeni wektorowej V pozwala wyrazić wszystkie wektory V jako jej liniową kombinację i ta forma jest unikalna dla każdego wektora. Z tego powodu B jest również znany jako system generujący.

4- Ta sama przestrzeń wektorowa V może mieć różne podstawy.

Przykłady podstaw

Oto kilka przykładów baz ortonormalnych i ogólnie baz:

Podstawa kanoniczna w ℜ

Nazywany również naturalne zasady lub standardowej podstawy ℜ ⁿ , gdzie ℜ ⁿ oznacza n-wymiarowej przestrzeni, na przykład przestrzeni trójwymiarowej jest ℜ ³ . Wartość n nazywana jest wymiarem przestrzeni wektorowej i jest oznaczana jako dim (V).

Wszystkie wektory należące do ℜ ⁿ są reprezentowane przez uporządkowane n-reklamy. Podstawą kanoniczną przestrzeni ℜ ⁿ jest:

e ₁ = <1,0,. . . , 0>; e ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0,. . . , 1>

W tym przykładzie użyliśmy notacji z nawiasami lub „nawiasami” i pogrubieniem dla wektorów jednostkowych e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Podstawa kanoniczna w ℜ

Znane wektory i , j oraz k przyjmują tę samą reprezentację i wszystkie trzy z nich wystarczają do reprezentowania wektorów w ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Oznacza to, że podstawę można wyrazić w ten sposób:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Aby zweryfikować, że są one liniowo niezależne, utworzona z nimi determinanta jest niezerowa i równa 1:

Musi być również możliwe zapisanie dowolnego wektora należącego do ℜ ³ jako ich liniowej kombinacji. Na przykład siła, której składowe prostokątne to F _x = 4 N, F _y = -7 N i F _z = 0 N, byłaby zapisana w postaci wektorowej w następujący sposób:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Dlatego i , j i k tworzą układ generatora ℜ ³ .

Inne bazy ortonormalne w ℜ

Podstawa standardowa opisana w poprzednim rozdziale nie jest jedyną bazą ortonormalną w ℜ ³ . Tutaj mamy na przykład podstawy:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Można wykazać, że te bazy są ortonormalne, dlatego pamiętamy o warunkach, które muszą być spełnione:

-Wektory tworzące podstawę muszą być względem siebie prostopadłe.

-Każdy z nich musi być jednolity.

Możemy to zweryfikować, wiedząc, że utworzony przez nie wyznacznik musi być niezerowy i równy 1.

Podstawa B ₁ jest dokładnie podstawą cylindrycznych współrzędnych ρ, φ i z, innym sposobem wyrażania wektorów w przestrzeni.

Rysunek 2. Współrzędne walcowe. Źródło: Wikimedia Commons. Miłośnik matematyki.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Pokaż, że podstawa B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} jest ortonormalne.

Rozwiązanie

Aby pokazać, że wektory są do siebie prostopadłe, użyjemy iloczynu skalarnego, zwanego również iloczynem wewnętrznym lub skalarnym dwóch wektorów.

Niech dowolne dwa wektory u i v , ich iloczyn skalarny jest zdefiniowany przez:

u • v = uv cosθ

Aby rozróżnić wektory ich modułów, użyjemy pogrubienia dla pierwszej i normalnej litery dla drugiej. θ jest kątem między u i v, więc jeśli są prostopadłe, oznacza to, że θ = 90º, a iloczyn skalarny wynosi zero.

Alternatywnie, jeśli wektory są podane w postaci ich składników: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, iloczyn skalarny obu, który jest przemienny, oblicza się w następujący sposób:

u • v = u _x. v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

W ten sposób iloczyn skalarny między każdą parą wektorów to odpowiednio:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Dla drugiego warunku obliczany jest moduł każdego wektora, który otrzymujemy przez:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Zatem moduły każdego wektora to:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Dlatego wszystkie trzy są wektorami jednostkowymi. Wreszcie wyznacznik, który tworzą, jest niezerowy i równy 1:

- Ćwiczenie 2

Zapisz współrzędne wektora w = <2, 3,1> w oparciu o powyższą podstawę.

Rozwiązanie

Aby to zrobić, stosuje się następujące twierdzenie:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Oznacza to, że możemy zapisać wektor w bazie B, korzystając ze współczynników < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, dla których musimy obliczyć wskazane iloczyny skalarne:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Z otrzymanych iloczynów skalarnych konstruuje się macierz zwaną macierzą współrzędnych w.

Dlatego współrzędne wektora w w bazie B są wyrażone przez:

_B =

Macierz współrzędnych nie jest wektorem, ponieważ wektor nie jest tym samym, co jego współrzędne. To tylko zbiór liczb, które służą do wyrażenia wektora w danej bazie, a nie wektor jako taki. Zależą również od wybranej bazy.

Wreszcie, zgodnie z twierdzeniem, wektor w będzie wyrażony następująco :

w = (18/5) w ₁ + (1/5) w ₂ + w ₃

Gdzie: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, czyli wektory bazy B.

Bibliografia

1. Larson, R. Podstawy algebry liniowej. 6th. Wydanie. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7th. Wydanie. Tom 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linear Algebra. Część 10. Bazy ortonormalne. Odzyskany z: ocw.uc3m.es.
4. Uniwersytet w Sewilli. Współrzędne walcowe. Podstawa wektora. Odzyskany z: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Podstawa ortonormalna. Odzyskane z: es.wikipedia.org.