SUMA WIELOMIANÓW, JAK TO ZROBIĆ, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Suma wielomianów jest operacja polega na dodaniu dwóch lub więcej wielomianów, w wyniku innego wielomianu. Aby to wykonać, konieczne jest dodanie warunków tego samego rzędu każdego z wielomianów i wskazanie wynikowej sumy.

Przyjrzyjmy się najpierw pokrótce znaczeniu „warunków tej samej kolejności”. Każdy wielomian składa się z dodawania i / lub odejmowania terminów.

Rysunek 1. Aby dodać dwa wielomiany, należy je uporządkować, a następnie zredukować podobne wyrazy. Źródło: Pixabay + Wikimedia Commons.

Wyrazy mogą być iloczynami liczb rzeczywistych i jednej lub więcej zmiennych, reprezentowanych przez litery, na przykład: 3x ² i -√5. A ² bc ³ to wyrazy.

Cóż, terminy tego samego rzędu to te, które mają ten sam wykładnik lub potęgę, chociaż mogą mieć inny współczynnik.

-Warunki jednakowego rzędu to: 5x ³ , √2 x ³ i -1 / 2x ³

-Warunki różnych rzędów: -2x ^-2 , 2xy ^-1 i √6x ² i

Należy pamiętać, że można dodawać lub odejmować tylko terminy tego samego rzędu, czyli operację znaną jako redukcja. W przeciwnym razie suma jest po prostu wskazana.

Po wyjaśnieniu pojęcia terminów tego samego rzędu wielomiany są dodawane w następujący sposób:

- Kolejność dodawania pierwszych wielomianów, wszystkie w ten sam sposób, rosnąco lub malejąco, tj. Z mocą od najniższej do najwyższej lub odwrotnie.

- Ukończ , jeśli w sekwencji brakuje mocy.

- Zmniejsz podobne terminy.

- Wskazać wynikową sumę.

Przykłady dodawania wielomianów

Zaczniemy od dodania dwóch wielomianów z jedną zmienną o nazwie x, na przykład wielomiany P (x) i Q (x) podane przez:

P (x) = 2x ² - 5x ⁴ + 2x –x ⁵ - 3x ³ +12

Q (x) = x ⁵ - 25 x + x ²

Postępując zgodnie z opisanymi krokami, zaczynasz od zamawiania ich w kolejności malejącej, co jest najczęściej stosowanym sposobem:

P (x) = –x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 2x ² + 2x +12

Q (x) = x ⁵ + x ² - 25x

Wielomian Q (x) nie jest kompletny, widać, że brakuje potęg z wykładnikami 4, 3 i 0. Ten ostatni jest po prostu niezależnym wyrazem, bez litery.

Q (x) = x ⁵ + 0x ⁴ + 0x ³ + x ² - 25x + 0

Po wykonaniu tego kroku są gotowe do dodania. Możesz dodać podobne terminy, a następnie wskazać sumę lub umieścić uporządkowane wielomiany jeden pod drugim i pomniejszyć o kolumny, na przykład:

- x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 2x ² + 2x +12

+ x ⁵ + 0x ⁴ + 0x ³ + x ² - 25x + 0 +

--------------------

0x ⁵ –5x ⁴ - 3x ³ + 3x ² - 23x + 12 = P (x) + Q (x)

Należy zauważyć, że gdy jest dodawany, jest wykonywany algebraicznie z poszanowaniem reguły znaków, w ten sposób 2x + (-25 x) = -23x. Oznacza to, że jeśli współczynniki mają inny znak, są odejmowane, a wynik nosi znak większego.

Dodaj dwa lub więcej wielomianów z więcej niż jedną zmienną

Jeśli chodzi o wielomiany z więcej niż jedną zmienną, jeden z nich jest wybierany do ich uporządkowania. Na przykład załóżmy, że poprosisz o dodanie:

R (x, y) = 5x ² - ⁴ lata ² + 8xy - ^{6 lat 3}

I:

T (x, y) = pół x ² - 6y ² - 11xy + x ³ i

Jedna ze zmiennych jest wybierana, na przykład x do zamówienia:

R (x, y) = 5x ² + 8xy - ^{6 lat 3} - ^{4 lata 2}

T (x, y) = + x ³ y + ½ x ² - 11xy - ^{6 lat 2}

Natychmiast uzupełnia się brakujące wyrazy, zgodnie z którymi każdy wielomian ma:

R (x, y) = 0x ³ y + 5x ² + 8xy - 6y ³ - 4y ²

T (x, y) = + x ³ y + ½ x ² - 11xy + 0y ³ - ^{6 lat 2}

I oboje jesteście gotowi, aby zmniejszyć podobne warunki:

0x ^{3 lata} + 5x ² + 8xy - ^{6 lat 3} - ^{4 lata 2}

+ x ³ y + ½ x ² - 11xy + 0y ³ - 6 lat ² +

---------------------–

+ x ^{3 lata} + 11 / 2x ² - 3xy - ^{6 lat 3} - 10 lat ² = R (x, y) + T (x, y)

Ćwiczenia dodawania wielomianów

- Ćwiczenie 1

W poniższej sumie wielomianów wskaż termin, który musi znaleźć się w pustym miejscu, aby otrzymać sumę wielomianów:

-5x ⁴ + 0x ³ + 2x ² + 1

x ⁵ + 2x ⁴ - 21x ² + 8x - 3

2x ⁵ + 9x ³ -14x

----------------

-6x ⁵ + 10x ⁴ -0x ³ + 5x ² - 11x + 21

Rozwiązanie

Aby otrzymać -6x ⁵ wymagany jest wyraz postaci ax ⁵ , taki, że:

a + 1+ 2 = -6

A zatem:

a = -6-1-2 = -9

Wyszukiwane hasło to:

-9x ⁵

- W podobny sposób postępujemy, aby znaleźć resztę warunków. Oto przykład dla wykładnika 4:

-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13

Brakujący termin to: 13x ⁴ .

-Dla potęg x ³ jest natychmiastowe, że człon musi wynosić -9x ³ , w ten sposób współczynnik członu sześciennego wynosi 0.

-Jak dla potęg kwadratowych: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5, a wyraz to -5x ² .

- Wyrażenie liniowe uzyskuje się za pomocą wzoru a +8-14 = -11 → a = -11 + 14-8 = -5, przy czym brakujący składnik to -5x.

-W końcu niezależny termin to: 1 -3 + a = -21 → a = -19.

- Ćwiczenie 2

Płaski teren jest ogrodzony, jak pokazano na rysunku. Znajdź wyrażenie dla:

a) Obwód i

b) jego powierzchnia pod względem wskazanych długości:

Rysunek 2. Płaski teren jest ogrodzony o wskazanym kształcie i wymiarach. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Obwód definiuje się jako sumę boków i konturów figury. Zaczynając w lewym dolnym rogu, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, mamy:

Obwód = y + x + długość półkola + z + długość przekątnej + z + z + x

Półkole ma średnicę równą x. Ponieważ promień jest równy połowie średnicy, musisz:

Promień = x / 2.

Wzór na długość pełnego obwodu to:

L = 2π x promień

Więc:

Długość półkola = ½. 2π (x / 2) = πx / 2

Ze swojej strony przekątna jest obliczana za pomocą twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do boków: (x + y), który jest bokiem pionowym, a z, który jest poziomym:

Przekątna = ^1/2

Wyrażenia te są zastępowane wyrażeniami określającymi obwód, aby otrzymać:

Obwód = y + x + πx / 2 + z + ^1/2 + z + x + z

Podobne terminy są ograniczone, ponieważ dodanie wymaga, aby wynik był jak najbardziej uproszczony:

Obwód = y + + z + z + z + ^1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z

Rozwiązanie b

Otrzymany obszar jest sumą powierzchni prostokąta, półkola i trójkąta prostokątnego. Formuły dla tych obszarów to:

- Prostokąt : podstawa x wysokość

- Półkole : ½ π (promień) ²

- Trójkąt : podstawa x wysokość / 2

Obszar prostokąta

(x + y). (x + z) = x ² + xz + yx + yz

Obszar półkola

Pół π (x / 2) ² = π x ² /8

Obszar trójkąta

½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy

Łączna powierzchnia

Aby znaleźć całkowitą powierzchnię, dodaje się wyrażenia znalezione dla każdego obszaru częściowego:

Całkowita powierzchnia = x ² + XZ + YZ + x + (π x ² /8) + + zx pół pół zy

I wreszcie wszystkie terminy, które są podobne, są zredukowane:

Powierzchnia całkowita = (1 + π / 8) x ² + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx

Bibliografia

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Od redakcji Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Matematyka to zabawa. Dodawanie i odejmowanie wielomianów. Odzyskany z: mathsisfun.com.
4. Instytut Monterey. Dodawanie i odejmowanie wielomianów. Odzyskany z: montereyinstitute.org.
5. UC Berkeley. Algebra wielomianów. Odzyskany z: math.berkeley.edu.