- Przykłady dodawania wielomianów
- Dodaj dwa lub więcej wielomianów z więcej niż jedną zmienną
- Ćwiczenia dodawania wielomianów
- - Ćwiczenie 1
- Rozwiązanie
- - Ćwiczenie 2
- Rozwiązanie
- Bibliografia
Suma wielomianów jest operacja polega na dodaniu dwóch lub więcej wielomianów, w wyniku innego wielomianu. Aby to wykonać, konieczne jest dodanie warunków tego samego rzędu każdego z wielomianów i wskazanie wynikowej sumy.
Przyjrzyjmy się najpierw pokrótce znaczeniu „warunków tej samej kolejności”. Każdy wielomian składa się z dodawania i / lub odejmowania terminów.

Rysunek 1. Aby dodać dwa wielomiany, należy je uporządkować, a następnie zredukować podobne wyrazy. Źródło: Pixabay + Wikimedia Commons.
Wyrazy mogą być iloczynami liczb rzeczywistych i jednej lub więcej zmiennych, reprezentowanych przez litery, na przykład: 3x 2 i -√5. A 2 bc 3 to wyrazy.
Cóż, terminy tego samego rzędu to te, które mają ten sam wykładnik lub potęgę, chociaż mogą mieć inny współczynnik.
-Warunki jednakowego rzędu to: 5x 3 , √2 x 3 i -1 / 2x 3
-Warunki różnych rzędów: -2x -2 , 2xy -1 i √6x 2 i
Należy pamiętać, że można dodawać lub odejmować tylko terminy tego samego rzędu, czyli operację znaną jako redukcja. W przeciwnym razie suma jest po prostu wskazana.
Po wyjaśnieniu pojęcia terminów tego samego rzędu wielomiany są dodawane w następujący sposób:
- Kolejność dodawania pierwszych wielomianów, wszystkie w ten sam sposób, rosnąco lub malejąco, tj. Z mocą od najniższej do najwyższej lub odwrotnie.
- Ukończ , jeśli w sekwencji brakuje mocy.
- Zmniejsz podobne terminy.
- Wskazać wynikową sumę.
Przykłady dodawania wielomianów
Zaczniemy od dodania dwóch wielomianów z jedną zmienną o nazwie x, na przykład wielomiany P (x) i Q (x) podane przez:
P (x) = 2x 2 - 5x 4 + 2x –x 5 - 3x 3 +12
Q (x) = x 5 - 25 x + x 2
Postępując zgodnie z opisanymi krokami, zaczynasz od zamawiania ich w kolejności malejącej, co jest najczęściej stosowanym sposobem:
P (x) = –x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
Q (x) = x 5 + x 2 - 25x
Wielomian Q (x) nie jest kompletny, widać, że brakuje potęg z wykładnikami 4, 3 i 0. Ten ostatni jest po prostu niezależnym wyrazem, bez litery.
Q (x) = x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0
Po wykonaniu tego kroku są gotowe do dodania. Możesz dodać podobne terminy, a następnie wskazać sumę lub umieścić uporządkowane wielomiany jeden pod drugim i pomniejszyć o kolumny, na przykład:
- x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
+ x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0 +
--------------------
0x 5 –5x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 23x + 12 = P (x) + Q (x)
Należy zauważyć, że gdy jest dodawany, jest wykonywany algebraicznie z poszanowaniem reguły znaków, w ten sposób 2x + (-25 x) = -23x. Oznacza to, że jeśli współczynniki mają inny znak, są odejmowane, a wynik nosi znak większego.
Dodaj dwa lub więcej wielomianów z więcej niż jedną zmienną
Jeśli chodzi o wielomiany z więcej niż jedną zmienną, jeden z nich jest wybierany do ich uporządkowania. Na przykład załóżmy, że poprosisz o dodanie:
R (x, y) = 5x 2 - 4 lata 2 + 8xy - 6 lat 3
I:
T (x, y) = pół x 2 - 6y 2 - 11xy + x 3 i
Jedna ze zmiennych jest wybierana, na przykład x do zamówienia:
R (x, y) = 5x 2 + 8xy - 6 lat 3 - 4 lata 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy - 6 lat 2
Natychmiast uzupełnia się brakujące wyrazy, zgodnie z którymi każdy wielomian ma:
R (x, y) = 0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6 lat 2
I oboje jesteście gotowi, aby zmniejszyć podobne warunki:
0x 3 lata + 5x 2 + 8xy - 6 lat 3 - 4 lata 2
+ x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6 lat 2 +
---------------------–
+ x 3 lata + 11 / 2x 2 - 3xy - 6 lat 3 - 10 lat 2 = R (x, y) + T (x, y)
Ćwiczenia dodawania wielomianów
- Ćwiczenie 1
W poniższej sumie wielomianów wskaż termin, który musi znaleźć się w pustym miejscu, aby otrzymać sumę wielomianów:
-5x 4 + 0x 3 + 2x 2 + 1
x 5 + 2x 4 - 21x 2 + 8x - 3
2x 5 + 9x 3 -14x
----------------
-6x 5 + 10x 4 -0x 3 + 5x 2 - 11x + 21
Rozwiązanie
Aby otrzymać -6x 5 wymagany jest wyraz postaci ax 5 , taki, że:
a + 1+ 2 = -6
A zatem:
a = -6-1-2 = -9
Wyszukiwane hasło to:
-9x 5
- W podobny sposób postępujemy, aby znaleźć resztę warunków. Oto przykład dla wykładnika 4:
-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13
Brakujący termin to: 13x 4 .
-Dla potęg x 3 jest natychmiastowe, że człon musi wynosić -9x 3 , w ten sposób współczynnik członu sześciennego wynosi 0.
-Jak dla potęg kwadratowych: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5, a wyraz to -5x 2 .
- Wyrażenie liniowe uzyskuje się za pomocą wzoru a +8-14 = -11 → a = -11 + 14-8 = -5, przy czym brakujący składnik to -5x.
-W końcu niezależny termin to: 1 -3 + a = -21 → a = -19.
- Ćwiczenie 2
Płaski teren jest ogrodzony, jak pokazano na rysunku. Znajdź wyrażenie dla:
a) Obwód i
b) jego powierzchnia pod względem wskazanych długości:

Rysunek 2. Płaski teren jest ogrodzony o wskazanym kształcie i wymiarach. Źródło: F. Zapata.
Rozwiązanie
Obwód definiuje się jako sumę boków i konturów figury. Zaczynając w lewym dolnym rogu, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, mamy:
Obwód = y + x + długość półkola + z + długość przekątnej + z + z + x
Półkole ma średnicę równą x. Ponieważ promień jest równy połowie średnicy, musisz:
Promień = x / 2.
Wzór na długość pełnego obwodu to:
L = 2π x promień
Więc:
Długość półkola = ½. 2π (x / 2) = πx / 2
Ze swojej strony przekątna jest obliczana za pomocą twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do boków: (x + y), który jest bokiem pionowym, a z, który jest poziomym:
Przekątna = 1/2
Wyrażenia te są zastępowane wyrażeniami określającymi obwód, aby otrzymać:
Obwód = y + x + πx / 2 + z + 1/2 + z + x + z
Podobne terminy są ograniczone, ponieważ dodanie wymaga, aby wynik był jak najbardziej uproszczony:
Obwód = y + + z + z + z + 1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z
Rozwiązanie b
Otrzymany obszar jest sumą powierzchni prostokąta, półkola i trójkąta prostokątnego. Formuły dla tych obszarów to:
- Prostokąt : podstawa x wysokość
- Półkole : ½ π (promień) 2
- Trójkąt : podstawa x wysokość / 2
Obszar prostokąta
(x + y). (x + z) = x 2 + xz + yx + yz
Obszar półkola
Pół π (x / 2) 2 = π x 2 /8
Obszar trójkąta
½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy
Łączna powierzchnia
Aby znaleźć całkowitą powierzchnię, dodaje się wyrażenia znalezione dla każdego obszaru częściowego:
Całkowita powierzchnia = x 2 + XZ + YZ + x + (π x 2 /8) + + zx pół pół zy
I wreszcie wszystkie terminy, które są podobne, są zredukowane:
Powierzchnia całkowita = (1 + π / 8) x 2 + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx
Bibliografia
- Baldor, A. 1991. Algebra. Od redakcji Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Matematyka to zabawa. Dodawanie i odejmowanie wielomianów. Odzyskany z: mathsisfun.com.
- Instytut Monterey. Dodawanie i odejmowanie wielomianów. Odzyskany z: montereyinstitute.org.
- UC Berkeley. Algebra wielomianów. Odzyskany z: math.berkeley.edu.
