ANALIZA WYMIAROWA: TECHNIKI, ZASADY I ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2025

Analiza wymiarowa jest narzędziem powszechnie stosowane w różnych gałęziach nauki i techniki w celu lepszego zrozumienia zjawisk polegających na obecność różnych wielkości fizycznych. Wielkości mają wymiary iz nich wyprowadzane są różne jednostki miary.

Pochodzenie pojęcia wymiaru można znaleźć u francuskiego matematyka Josepha Fouriera, który był tym, który je ukuł. Fourier rozumiał również, że aby dwa równania były porównywalne, muszą być jednorodne pod względem wymiarów. Innymi słowy, nie można dodawać metrów do kilogramów.

Zatem analiza wymiarowa jest odpowiedzialna za badanie wielkości, wymiarów i jednorodności równań fizycznych. Z tego powodu jest często używany do sprawdzania zależności i obliczeń lub do konstruowania hipotez dotyczących skomplikowanych pytań, które można później przetestować eksperymentalnie.

W ten sposób analiza wymiarowa jest doskonałym narzędziem do wykrywania błędów w obliczeniach poprzez sprawdzanie zgodności lub niespójności zastosowanych w nich jednostek, ze szczególnym uwzględnieniem jednostek wyników końcowych.

Ponadto analiza wymiarowa służy do projektowania systematycznych eksperymentów. Pozwala to ograniczyć liczbę niezbędnych eksperymentów, a także ułatwić interpretację uzyskanych wyników.

Jedną z fundamentalnych podstaw analizy wymiarowej jest to, że można przedstawić dowolną wielkość fizyczną jako iloczyn potęg o mniejszej wielkości, zwanych wielkościami podstawowymi, z których pochodzą pozostałe.

Podstawowe wielkości i wzór wymiarowy

W fizyce za wielkości podstawowe uważa się takie, które pozwalają na wyrażenie innych jako ich funkcji. Umownie wybrano: długość (L), czas (T), masę (M), natężenie prądu elektrycznego (I), temperaturę (θ), natężenie światła (J) i ilość substancji (N).

Wręcz przeciwnie, reszta to wielkości pochodne. Niektóre z nich to między innymi: powierzchnia, objętość, gęstość, prędkość, przyspieszenie.

Formuła wymiarowa jest definiowana jako równość matematyczna, która przedstawia związek między wielkościami pochodnymi a podstawowymi.

Techniki analizy wymiarowej

Istnieją różne techniki lub metody analizy wymiarowej. Dwa z najważniejszych to:

Metoda Rayleigha

Rayleigh, który wraz z Fourierem był jednym z prekursorów analizy wymiarowej, opracował bezpośrednią i bardzo prostą metodę, która pozwala nam uzyskać elementy bezwymiarowe. W tej metodzie wykonywane są następujące kroki:

1- Zdefiniowano potencjalną funkcję znakową zmiennej zależnej.

2- Każda zmienna jest zmieniana przez odpowiadające jej wymiary.

3- Ustalono równania warunku jednorodności.

4- Nieznane np są ustawione.

5- Wykładniki, które zostały obliczone i ustalone w równaniu potencjału, są podstawiane.

6- Grupy zmiennych są przenoszone, aby zdefiniować liczby bezwymiarowe.

Metoda Buckinghama

Ta metoda jest oparta na twierdzeniu Buckinghama lub twierdzeniu pi, które stwierdza, co następuje:

Jeśli istnieje jednorodna relacja wymiarowa między liczbą „n” wielkości fizycznych lub zmiennych, gdzie „p” zawiera różne podstawowe wymiary, istnieje również jednorodna wymiarowo zależność między n - p, niezależnymi bezwymiarowymi grupami.

Zasada jednorodności wymiarowej

Zasada Fouriera, znana również jako zasada jednorodności wymiarowej, wpływa na właściwą strukturę wyrażeń, które algebraicznie łączą wielkości fizyczne.

Jest to zasada, która ma matematyczną spójność i stanowi, że jedyną opcją jest odjęcie lub dodanie wielkości fizycznych o tej samej naturze. Dlatego nie jest możliwe dodanie masy o długości, ani czasu z powierzchnią itp.

Podobnie zasada mówi, że aby równania fizyczne były poprawne wymiarowo, suma warunków członów obu stron równości musi mieć ten sam wymiar. Zasada ta pozwala zagwarantować spójność równań fizycznych.

Zasada podobieństwa

Zasada podobieństwa jest rozszerzeniem charakteru jednorodności wymiarowej równań fizycznych. Stwierdzono w następujący sposób:

Prawa fizyczne pozostają niezmienione w obliczu zmian wymiarów (rozmiarów) zdarzenia fizycznego w tym samym układzie jednostek, niezależnie od tego, czy są to zmiany natury rzeczywistej czy wyimaginowanej.

Najwyraźniej zastosowanie zasady podobieństwa występuje przy analizie właściwości fizycznych modelu wykonanego w mniejszej skali, aby później wykorzystać wyniki na obiekcie w rozmiarze rzeczywistym.

Praktyka ta jest niezbędna w takich dziedzinach, jak projektowanie i produkcja samolotów i statków oraz w dużych pracach hydraulicznych.

Aplikacje

Wiele zastosowań analizy wymiarowej obejmuje te wymienione poniżej.

- Zlokalizuj możliwe błędy w przeprowadzonych operacjach

- Rozwiązuj problemy, których rozwiązanie nastręcza nie do pokonania matematycznych trudności.

- Projektuj i analizuj modele w małej skali.

- Dokonuj obserwacji, w jaki sposób możliwe modyfikacje wpływają na model.

Również analiza wymiarowa jest często stosowana w badaniach mechaniki płynów.

Znaczenie analizy wymiarowej w mechanice płynów wynika z tego, jak trudne jest ustalenie równań w określonych przepływach, a także trudność ich rozwiązania, więc niemożliwe jest osiągnięcie zależności empirycznych. Z tego powodu konieczne jest odwołanie się do metody eksperymentalnej.

Rozwiązane ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Znajdź równanie wymiarowe dla prędkości i przyspieszenia.

Rozwiązanie

Ponieważ v = s / t, prawdą jest, że: = L / T = L ∙ T ^-1

Podobnie:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

Drugie ćwiczenie

Wyznacz równanie wymiarowe dla pędu.

Rozwiązanie

Ponieważ pęd jest iloczynem masy i prędkości, prawdą jest, że p = m ∙ v

Więc:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

Bibliografia

1. Analiza wymiarowa (nd). Na Wikipedii. Pobrane 19 maja 2018 r. Z es.wikipedia.org.
2. Analiza wymiarowa (nd). Na Wikipedii. Pobrane 19 maja 2018 r. Z en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Analiza wymiarowa i teoria modeli, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fizyka i chemia . Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Zrozumienie fizyki. Birkhäuser.