ZBIÓR SKOŃCZONY: WŁASNOŚCI, PRZYKŁADY, ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Przez zbiór skończony rozumie się dowolny zbiór z ograniczoną lub policzalną liczbą elementów. Przykładami skończonych zestawów są kulki zawarte w worku, zestaw domów w sąsiedztwie lub zbiór P utworzony przez pierwsze dwadzieścia (20) liczb naturalnych:

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Zbiór gwiazd we wszechświecie jest z pewnością ogromny, ale nie wiadomo na pewno, czy jest skończony czy nieskończony. Jednak zbiór planet w Układzie Słonecznym jest skończony.

Rysunek 1. Zbiór wielokątów jest skończony, podobnie jak podzbiór wielokątów regularnych. (Wikimedia Commons)

Liczba elementów w zestawie skończonym nazywana jest jego licznością, a dla zbioru P jest oznaczana następująco: Karta ( P ) lub # P. Pusty zbiór ma zerową liczność i jest uważany za zbiór skończony.

Nieruchomości

Wśród właściwości zbiorów skończonych są:

1- Połączenie skończonych zbiorów prowadzi do powstania nowego skończonego zbioru.

2- Jeśli dwa skończone zbiory się przecinają, powstaje nowy skończony zbiór.

3- Podzbiór zbioru skończonego jest skończony, a jego liczność jest mniejsza lub równa liczności zbioru pierwotnego.

4- Pusty zbiór jest zbiorem skończonym.

Przykłady

Istnieje wiele przykładów zbiorów skończonych. Oto kilka przykładów:

Zbiór M miesięcy w roku, który w rozszerzonej formie można zapisać następująco:

M = {styczeń, luty, marzec, kwiecień, maj, czerwiec, lipiec, sierpień, wrzesień, październik, listopad, grudzień}, kardynalność M wynosi 12.

Zestaw S dni tygodnia: S = {poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek, sobota, niedziela}. Kardynalność S wynosi 7.

Zbiór Ñ liter alfabetu hiszpańskiego jest zbiorem skończonym, ten zbiór przez rozszerzenie jest zapisany w następujący sposób:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z}, a jego liczność wynosi 27.

Zbiór V samogłosek w języku hiszpańskim jest podzbiorem zbioru Ñ:

Zatem V ⊂ Ñ jest zbiorem skończonym.

Skończony zbiór V w formie rozległej jest zapisany w ten sposób: V = {a, e, i, o, u}, a jego liczność wynosi 5.

Zbiory można wyrazić poprzez zrozumienie. Przykładem jest zbiór F złożony z liter słowa „skończony”:

F = {x / x to litera słowa „skończony”}

Wspomniany zbiór wyrażony w rozbudowanej formie będzie:

F = {f, i, n, t, o} którego liczność wynosi 5, a zatem jest zbiorem skończonym.

Więcej przykładów

Kolory tęczy to kolejny przykład skończonego zbioru, zbiór C tych kolorów to:

C = {czerwony, pomarańczowy, żółty, zielony, cyjan, niebieski, fioletowy}, a jego liczność wynosi 7.

Zbiór faz F Księżyca to kolejny przykład skończonego zbioru:

F = {Nów, pierwsza kwadra, pełnia, ostatnia kwadra} ten zestaw ma liczność 4.

Rysunek 2. Planety Układu Słonecznego tworzą skończony zbiór. (pixabay)

Kolejny zbiór skończony to zbiór utworzony przez planety Układu Słonecznego:

P = {Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun, Pluton} o mocy 9.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Dany jest następujący zbiór A = {x∊ R / x ^ 3 = 27}. Wyraź to słowami i zapisz przez rozszerzenie, wskaż jego moc i powiedz, czy jest skończona, czy nie.

Rozwiązanie: Zbiór A jest zbiorem liczb rzeczywistych x takich, że x w wyniku 27.

Równanie x ^ 3 = 27 ma trzy rozwiązania: są to x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) i x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Z trzech rozwiązań tylko x1 jest rzeczywiste, a dwa pozostałe to liczby zespolone.

Ponieważ definicja zbioru A mówi, że x należy do liczb rzeczywistych, to rozwiązania liczb zespolonych nie są częścią zbioru A.

Zbiór A wyrażony obszernie to:

A = {3}, czyli skończony zbiór o liczności 1.

Ćwiczenie 2

Napisz w formie symbolicznej (ze zrozumieniem) iw rozszerzonej formie zbiór B liczb rzeczywistych, które są większe od 0 (zero) i mniejsze lub równe 0 (zero). Wskaż jego moc i czy jest skończona.

Rozwiązanie: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}

Zbiór B jest pusty, ponieważ liczba rzeczywista x nie może być jednocześnie większa i mniejsza od zera, tak jak nie może być 0 ani też mniejsza od 0.

B = {}, a jego liczność wynosi 0. Zbiór pusty jest zbiorem skończonym.

Ćwiczenie 3

Dano zbiór S rozwiązań pewnego równania. Zbiór S rozumiany jest tak:

S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}

Zapisz ten zbiór w formie rozbudowanej, wskaż jego liczność i wskaż, czy jest to zbiór skończony.

Rozwiązanie: Po pierwsze, analizując wyrażenie opisujące zbiór S, otrzymujemy, że jest to zbiór rzeczywistych wartości x, które są rozwiązaniami równania:

(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)

Rozwiązanie tego równania to x = 3, co jest liczbą rzeczywistą i dlatego należy do S.Ale jest więcej rozwiązań, które można uzyskać szukając rozwiązań równania kwadratowego:

(x ^ 2 - 9x + 20) = 0

Powyższe wyrażenie można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:

(x - 4) (x - 5) = 0

Co prowadzi nas do dwóch kolejnych rozwiązań pierwotnego równania (*), którymi są x = 4 i x = 5. Krótko mówiąc, równanie (*) ma rozwiązania 3, 4 i 5.

Zestaw S wyrażony w rozbudowanej formie wygląda następująco:

S = {3, 4, 5}, który ma moc 3 i dlatego jest zbiorem skończonym.

Ćwiczenie 4

Istnieją dwa zbiory A = {1, 5, 7, 9, 11} i B = {x ∊ N / x jest parzyste ^ x <10}.

Napisz zbiór B jawnie i znajdź związek ze zbiorem A. Znajdź także punkt przecięcia z osiami tych dwóch zbiorów i zakończ.

Rozwiązanie: zbiór B składa się z takich liczb naturalnych, że są one parzyste i również mniejsze od wartości 10, dlatego w rozległym zbiorze B zapisuje się następująco:

B = {2, 4, 6, 8}

Związek zbioru A ze zbiorem B to:

AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}

a punkt przecięcia ze zbioru A ze zbiorem B jest zapisany w ten sposób:

A ⋂ B = {} = Ø to pusty zbiór.

Należy zauważyć, że suma i przechwycenie tych dwóch skończonych zbiorów prowadzi do nowych zbiorów, które z kolei są również skończone.

Bibliografia

1. Fuentes, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe: Jak rozwiązać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF i Paul, RS (2003). Matematyka dla zarządzania i ekonomii. Edukacja Pearson.
4. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematyka 1 WRZ. Próg.
5. Preciado, CT (2005). Kurs matematyki 3. Redakcja Progreso.
6. Matematyka 10 (2018). „Przykłady zbiorów skończonych”. Odzyskany z: matematicas10.net
7. Rock, NM (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Edukacja Pearson.
9. Wikipedia. Zbiór skończony. Odzyskany z: es.wikipedia.com