FUNKCJA BIJEKTYWNA: CO TO JEST, JAK TO SIĘ ROBI, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Funkcja bijektywna to taka, która spełnia podwójny warunek iniekcyjności i surjektywności . Oznacza to, że wszystkie elementy domeny mają jeden obraz w kodomenie, az kolei kodomena jest równa randze funkcji ( R _f ).

Jest to spełnione przez rozważenie relacji jeden do jednego między elementami domeny i kodomeny. Prostym przykładem jest funkcja F: R → R zdefiniowana przez linię F (x) = x

Źródło: Autor

Zaobserwowano, że dla każdej wartości domeny lub zbioru początkowego (oba terminy mają jednakowe zastosowanie) istnieje pojedynczy obraz w zestawie kodomeny lub zestawie docelowym. Ponadto nie ma innego elementu kodomeny niż obraz.

W ten sposób F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = x jest bijektywne

Jak wykonujesz funkcję bijektywną?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, konieczne jest, aby mieć jasność co do pojęć odnoszących się do zatłaczania gazu i Overjectivity z funkcji , a także kryteriów funkcji klimatyzacji, w celu dostosowania ich do wymagań.

Iniektywność funkcji

Funkcja jest iniekcyjna, gdy każdy z elementów jej domeny jest powiązany z pojedynczym elementem kodomeny. Elementem domeny kodowej może być tylko obraz pojedynczego elementu domeny, w ten sposób wartości zmiennej zależnej nie mogą się powtarzać.

Aby rozważyć funkcję iniekcyjną , należy spełnić następujące warunki:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Suriektywność funkcji

Funkcja jest klasyfikowana jako suriektywna, jeśli każdy element jej kodomeny jest obrazem co najmniej jednego elementu domeny.

Aby uznać funkcję surjektywną , należy spełnić następujące warunki:

Niech F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Jest to algebraiczny sposób ustalenia, że ​​dla każdego „b” należącego do C _f istnieje „a” należące do D _f, tak że funkcja oceniana w „a” jest równa „b”.

Uwarunkowanie funkcji

Czasami funkcja, która nie jest bijektywna, może podlegać pewnym warunkom. Te nowe warunki mogą sprawić, że będzie to funkcja bijektywna. Wszystkie rodzaje modyfikacji domeny i kodomeny funkcji są ważne, gdy celem jest spełnienie właściwości iniekcyjności i suriektywności w odpowiedniej relacji.

Przykłady: rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Niech funkcja F: R → R będzie zdefiniowana przez linię F (x) = 5x +1

ZA:

Zauważono, że dla każdej wartości domeny istnieje obraz w kodomenie. Ten obraz jest wyjątkowy, co sprawia, że F jest funkcją iniekcyjną . W ten sam sposób obserwujemy, że kodomena funkcji jest równa jej randze. Spełniając w ten sposób warunek surjectivity .

Będąc jednocześnie iniekcyjnym i surjektywnym, możemy to stwierdzić

F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = 5x +1 jest funkcją bijektywną.

Dotyczy to wszystkich funkcji liniowych (funkcji, których najwyższy stopień zmiennej wynosi jeden).

Ćwiczenie 2

Niech funkcja F: R → R będzie określona wzorem F (x) = 3x ² - 2

Podczas rysowania poziomej linii obserwuje się, że wykres znajduje się więcej niż jeden raz. Z tego powodu funkcja F nie jest iniekcyjna i dlatego nie będzie bijektywna, dopóki jest zdefiniowana w R → R

Podobnie istnieją wartości codomain, które nie są obrazami żadnego elementu domeny. Dzięki temu funkcja nie jest surjektywna, co również zasługuje na warunkowanie zbioru przylotów.

Przystępujemy do warunkowania domeny i kodomeny funkcji

F: →

Gdzie zaobserwowano, że nowa dziedzina obejmuje wartości od zera do dodatniej nieskończoności. Unikanie powtarzania się wartości, które mają wpływ na wstrzykiwanie.

Podobnie, kodomena została zmodyfikowana, licząc od „-2” do dodatniej nieskończoności, eliminując z kodomeny wartości, które nie odpowiadały żadnemu elementowi domeny

W ten sposób można zapewnić, że F : → zdefiniowane przez F (x) = 3x ² - 2

To jest bijektywne

Ćwiczenie 3

Niech funkcja F: R → R będzie zdefiniowana przez F (x) = Sen (x)

W przedziale funkcja sinus zmienia swoje wyniki od zera do jedynki.

Źródło: Autor.

Funkcja F nie spełnia kryteriów iniekcyjności i surjektywności, ponieważ wartości zmiennej zależnej są powtarzane w każdym przedziale π. Co więcej, terminy kodomeny poza przedziałem nie są obrazem żadnego elementu domeny.

Badając wykres funkcji F (x) = Sen (x) , obserwuje się przedziały, w których zachowanie krzywej spełnia kryteria bijektywności . Na przykład przedział D _f = dla domeny. Oraz C _f = dla kodomeny.

Gdy funkcja zmienia się, daje wynik od 1 do -1, bez powtarzania żadnej wartości w zmiennej zależnej. Jednocześnie kodomena jest równa wartościom przyjętym przez wyrażenie Sen (x)

Zatem funkcja F: → określona przez F (x) = Sen (x). To jest bijektywne

Ćwiczenie 4

Określić niezbędne warunki dla D _f i C _f . A więc wyrażenie

F (x) = -x ² jest bijektywne.

Źródło: Autor

Powtarzalność wyników obserwujemy, gdy zmienna przyjmuje przeciwne wartości:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domena jest warunkowana, ograniczając ją do prawej strony rzeczywistej linii.

D _f =

W ten sam sposób obserwuje się, że zakresem tej funkcji jest przedział, który działając jako kodomena spełnia warunki surjektywności.

W ten sposób możemy to wywnioskować

Wyrażenie F: → zdefiniowane przez F (x) = -x ² Jest bijektywne

Proponowane ćwiczenia

Sprawdź, czy następujące funkcje są bijektywne:

F: → R zdefiniowane przez F (x) = 5ctg (x)

F: → R określone przez F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R zdefiniowane przez linię F (x) = -5x + 4

Bibliografia

1. Wprowadzenie do logiki i krytycznego myślenia. Merrilee H. Salmon. Uniwersytet w Pittsburghu
2. Problemy w analizie matematycznej. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Uniwersytet Wrocławski. Polska.
3. Elementy analizy abstrakcyjnej. Dr Mícheál O'Searcoid Katedra Matematyki. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych. Alfred Tarski, New York Oxford. Prasa Uniwersytetu Oksfordzkiego.
5. Zasady analizy matematycznej. Enrique Linés Escardó. Od redakcji Reverté S. A 1991. Barcelona Hiszpania.