Gradient potencjału jest wektorem, który przedstawia szybkość zmiany potencjału elektrycznego w odniesieniu do odległości każdej osi układu współrzędnych kartezjańskich. Zatem wektor gradientu potencjału wskazuje kierunek, w którym tempo zmian potencjału elektrycznego jest większe w funkcji odległości.
Z kolei moduł gradientu potencjału odzwierciedla szybkość zmian zmienności potencjału elektrycznego w określonym kierunku. Jeśli wartość tego jest znana w każdym punkcie obszaru przestrzennego, wówczas pole elektryczne można uzyskać z gradientu potencjału.
Pole elektryczne jest definiowane jako wektor, a więc ma określony kierunek i wielkość. Określając kierunek, w którym potencjał elektryczny maleje najszybciej - od punktu odniesienia - i dzieląc tę wartość przez przebytą odległość, uzyskuje się wielkość pola elektrycznego.
cechy
Gradient potencjału to wektor ograniczony określonymi współrzędnymi przestrzennymi, który mierzy stosunek zmiany potencjału elektrycznego do odległości przebytej przez wspomniany potencjał.
Najbardziej wyróżniające się właściwości gradientu potencjału elektrycznego opisano szczegółowo poniżej:
1- Gradient potencjału jest wektorem. W związku z tym ma określoną wielkość i kierunek.
2- Ponieważ gradient potencjału jest wektorem w przestrzeni, ma on wielkości skierowane na osie X (szerokość), Y (wysokość) i Z (głębokość), jeśli jako odniesienie przyjmuje się kartezjański układ współrzędnych.
3- Ten wektor jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej w punkcie, w którym szacowany jest potencjał elektryczny.
4- Wektor gradientu potencjału jest skierowany w kierunku maksymalnej zmiany funkcji potencjału elektrycznego w dowolnym punkcie.
5- Moduł gradientu potencjału jest równy pochodnej funkcji potencjału elektrycznego w odniesieniu do odległości przebytej w kierunku każdej z osi kartezjańskiego układu współrzędnych.
6- Gradient potencjału ma wartość zerową w punktach stacjonarnych (maksima, minimum i punkty siodła).
7- W międzynarodowym układzie jednostek SI jednostkami miary gradientu potencjału są wolty / metry.
8- Kierunek pola elektrycznego jest taki sam, w którym potencjał elektryczny szybciej zmniejsza swoją wielkość. Z kolei gradient potencjału wskazuje kierunek, w którym potencjał rośnie w stosunku do zmiany położenia. Zatem pole elektryczne ma taką samą wartość gradientu potencjału, ale z przeciwnym znakiem.
Jak to obliczyć?
Różnica potencjału elektrycznego między dwoma punktami (punkt 1 i punkt 2) jest wyrażona za pomocą następującego wyrażenia:
Gdzie:
V1: potencjał elektryczny w punkcie 1.
V2: potencjał elektryczny w punkcie 2.
E: wielkość pola elektrycznego.
Ѳ: kąt nachylenie mierzonego wektora pola elektrycznego w stosunku do układu współrzędnych.
Wyrażając tę formułę w różny sposób, należy:
Współczynnik E * cos (Ѳ) odnosi się do modułu składowej pola elektrycznego w kierunku dl. Niech L będzie osią poziomą płaszczyzny odniesienia, a następnie cos (Ѳ) = 1, na przykład:
Odtąd ilorazem między zmianami potencjału elektrycznego (dV) i zmianą przebytej odległości (ds) jest moduł gradientu potencjału dla wspomnianej składowej.
Stąd wynika, że wielkość gradientu potencjału elektrycznego jest równa składowej pola elektrycznego w kierunku badania, ale z przeciwnym znakiem.
Ponieważ jednak rzeczywiste środowisko jest trójwymiarowe, gradient potencjału w danym punkcie musi być wyrażony jako suma trzech składowych przestrzennych na osiach X, Y i Z układu kartezjańskiego.
Rozbijając wektor pola elektrycznego na jego trzy prostokątne składowe, otrzymujemy:
Jeśli w płaszczyźnie znajduje się obszar, w którym potencjał elektryczny ma taką samą wartość, pochodna cząstkowa tego parametru w odniesieniu do każdej ze współrzędnych kartezjańskich będzie wynosić zero.
Zatem w punktach, które znajdują się na powierzchniach ekwipotencjalnych, natężenie pola elektrycznego będzie miało wartość zerową.
Wreszcie, wektor gradientu potencjału można zdefiniować jako dokładnie ten sam wektor pola elektrycznego (pod względem wielkości), z przeciwnym znakiem. Tak więc mamy:
Przykład
Z poprzednich obliczeń należy:
Teraz, zanim określimy pole elektryczne jako funkcję gradientu potencjału lub odwrotnie, należy najpierw określić, w jakim kierunku rośnie różnica potencjałów.
Następnie określany jest iloraz zmienności potencjału elektrycznego i zmiany przebytej odległości netto.
W ten sposób uzyskuje się wielkość powiązanego pola elektrycznego, która jest równa wielkości gradientu potencjału w tej współrzędnej.
Ćwiczenie
Istnieją dwie równoległe płyty, jak pokazano na poniższym rysunku.
Krok 1
Kierunek wzrostu pola elektrycznego wyznacza się na kartezjańskim układzie współrzędnych.
Pole elektryczne rośnie tylko w kierunku poziomym, biorąc pod uwagę ułożenie równoległych płyt. W konsekwencji można wywnioskować, że składowe gradientu potencjału na osi Y i osi Z są zerowe.
Krok 2
Dane będące przedmiotem zainteresowania są dyskryminowane.
- Różnica potencjałów: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.
- Różnica odległości: dx = 10 centymetrów.
Aby zagwarantować zgodność jednostek miary stosowanych zgodnie z Międzynarodowym Układem Jednostek, wielkości, które nie są wyrażone w SI, należy odpowiednio przeliczyć. Zatem 10 centymetrów to 0,1 metra, a ostatecznie: dx = 0,1 m.
Krok 3
Oblicz odpowiednio wielkość potencjalnego wektora gradientu.
Bibliografia
- Elektryczność (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londyn, Wielka Brytania. Odzyskany z: britannica.com
- Gradient potencjału (sf). Narodowy Autonomiczny Uniwersytet Meksyku. Mexico DF, Meksyk. Odzyskany z: professors.dcb.unam.mx
- Interakcja elektryczna. Źródło: matematicasypoesia.com.es
- Potencjalny gradient (sf). Odzyskany z: circuitglobe.com
- Zależność między potencjałem a polem elektrycznym (sf). Instytut Technologiczny Kostaryki. Cartago, Kostaryka. Odzyskany z: repositoriotec.tec.ac.cr
- Wikipedia, wolna encyklopedia (2018). Gradient. Odzyskane z: es.wikipedia.org