LICZBY WYMIERNE: WŁASNOŚCI, PRZYKŁADY I OPERACJE - MATEMATYKA - 2025

Te liczby wymierne są wszystkie numery można otrzymać w postaci podziału dwóch liczb całkowitych. Przykłady liczb wymiernych to: 3/4, 8/5, -16/3 i te, które pojawiają się na poniższym rysunku. W liczbie wymiernej wskazany jest iloraz, w razie potrzeby można to zrobić później.

Figura przedstawia dowolny przedmiot, okrągły dla większego komfortu. Jeśli chcemy podzielić to na 2 równe części, tak jak po prawej, mamy dwie połówki i każda jest warta 1/2.

Rysunek 1. Liczby wymierne służą do podzielenia całości na kilka części. Źródło: Freesvg.

Dzieląc go na 4 równe części, otrzymamy 4 części, a każda z nich jest warta 1/4, jak na obrazku w środku. A gdyby miał być podzielony na 6 równych części, każda część byłaby warta 1/6, co widzimy na obrazku po lewej stronie.

Oczywiście moglibyśmy również podzielić go na dwie nierówne części, na przykład moglibyśmy zachować 3/4 części i zaoszczędzić 1/4 części. Możliwe są również inne podziały, takie jak 4/6 części i 2/6 części. Ważne jest, aby suma wszystkich części wynosiła 1.

W ten sposób jest oczywiste, że za pomocą liczb wymiernych można dzielić, liczyć i rozdzielać rzeczy, takie jak żywność, pieniądze, ziemia i wszelkiego rodzaju przedmioty ułamkowe. W ten sposób liczba operacji, które można wykonać na liczbach, jest rozszerzona.

Liczby wymierne można również wyrazić w postaci dziesiętnej, co widać na poniższych przykładach:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Później pokażemy, jak przejść od jednej formy do drugiej z przykładami.

Własności liczb wymiernych

Liczby wymierne, których zbiór oznaczymy literą Q, mają następujące własności:

-Q obejmuje liczby naturalne N i liczby całkowite Z.

Biorąc pod uwagę, że dowolną liczbę a można wyrazić jako iloraz między sobą a 1, łatwo zauważyć, że wśród liczb wymiernych są także liczby naturalne i liczby całkowite.

Zatem liczbę naturalną 3 można zapisać jako ułamek, a także -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

W ten sposób Q jest zbiorem liczb, który zawiera większą liczbę liczb, co jest bardzo potrzebne, ponieważ „okrągłe” liczby nie wystarczają do opisania wszystkich możliwych operacji do wykonania.

-Liczby wymierne można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić, a wynikiem operacji jest liczba wymierna: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Pomiędzy każdą parą liczb wymiernych można zawsze znaleźć inną liczbę wymierną. W rzeczywistości między dwiema liczbami wymiernymi są nieskończone liczby wymierne.

Na przykład między wymiernymi 1/4 i 1/2 znajdują się wymierne 3/10, 7/20, 2/5 (i wiele innych), które można zweryfikować, wyrażając je w postaci liczb dziesiętnych.

-Dowolna liczba wymierna może być wyrażona jako: i) liczba całkowita lub ii) ograniczona (ścisła) lub okresowa liczba dziesiętna: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-Ta sama liczba może być reprezentowana przez nieskończone równoważne ułamki i wszystkie należą do Q. Zobaczmy tę grupę:

Wszystkie reprezentują ułamek dziesiętny 0,428571 …

- Spośród wszystkich równoważnych ułamków, które reprezentują tę samą liczbę, ułamek nieredukowalny, najprostszy ze wszystkich, jest kanonicznym reprezentantem tej liczby. Kanoniczny przedstawiciel powyższego przykładu to 3/7.

Rysunek 2. - Zbiór Q liczb wymiernych. Źródło: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Przykłady liczb wymiernych

-Właściwe ułamki, czyli takie, w których licznik jest mniejszy od mianownika:

-Nieprawidłowe ułamki, których licznik jest większy niż mianownik:

-Liczby naturalne i liczby całkowite:

-Równoważne ułamki:

Reprezentacja dziesiętna liczby wymiernej

Gdy licznik zostanie podzielony przez mianownik, zostanie znaleziona dziesiętna postać liczby wymiernej. Na przykład:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

W pierwszych dwóch przykładach liczba miejsc dziesiętnych jest ograniczona. Oznacza to, że po zakończeniu dzielenia ostatecznie otrzymywana jest reszta z 0.

Z drugiej strony, w następnych dwóch liczba miejsc po przecinku jest nieskończona i dlatego umieszczane są elipsy. W tym drugim przypadku w liczbach dziesiętnych występuje wzór. W przypadku ułamka 1/9 liczba 1 jest powtarzana w nieskończoność, natomiast w 6/11 jest to 54.

Kiedy tak się dzieje, mówi się, że liczba dziesiętna jest okresowa i jest oznaczona daszkiem w następujący sposób:

Przekształć ułamek dziesiętny w ułamek

Jeśli jest to ograniczona liczba dziesiętna, przecinek jest po prostu usuwany, a mianownik staje się jednostką, po której następuje tyle zer, ile jest cyfr w ułamku dziesiętnym. Na przykład, aby przekształcić dziesiętne 1,26 na ułamek, napisz to w ten sposób:

1,26 = 126/100

Następnie wynikowy ułamek jest maksymalnie uproszczony:

126/100 = 63/50

Jeśli liczba dziesiętna jest nieograniczona, najpierw identyfikowany jest okres. Następnie wykonaj następujące kroki, aby znaleźć wynikowy ułamek:

-Licznik to odejmowanie między liczbą (bez przecinka ani daszkiem) a częścią bez daszka.

- Mianownik jest liczbą całkowitą zawierającą tyle 9, ile jest liczb pod daszkiem, i tyle, ile jest liczb w części dziesiętnej, które nie znajdują się pod daszkiem.

Postępujmy zgodnie z tą procedurą, aby przekształcić liczbę dziesiętną 0,428428428… na ułamek.

-Najpierw identyfikowany jest okres, który jest sekwencją, która się powtarza: 428.

-Następnie operacja odejmowania liczby bez przecinka lub akcentu jest wykonywana: 0428 od części, która nie ma elementu daszkiem, czyli 0. W ten sposób 428 - 0 = 428.

- Mianownik jest konstruowany, wiedząc, że pod daszkiem znajdują się 3 cyfry i wszystkie są pod daszkiem. Dlatego mianownik to 999.

-Na końcu frakcja jest tworzona i uproszczona, jeśli to możliwe:

0,428 = 428/999

Nie da się bardziej uprościć.

Działania na liczbach wymiernych

- Dodaj i odejmij

Ułamki o tym samym mianowniku

Gdy ułamki mają ten sam mianownik, dodawanie i / lub odejmowanie ich jest bardzo łatwe, ponieważ liczniki są po prostu dodawane algebraicznie, pozostawiając to samo, co dodawanie jako mianownik wyniku. Wreszcie, jeśli to możliwe, jest to uproszczone.

Przykład

Wykonaj następujące dodawanie algebraiczne i uprość wynik:

Powstała frakcja jest już nieredukowalna.

Ułamki o różnych mianownikach

W takim przypadku sumy zastępuje się równoważnymi ułamkami o tym samym mianowniku, a następnie postępuje się zgodnie z już opisaną procedurą.

Przykład

Dodaj algebraicznie następujące liczby wymierne, upraszczając wynik:

Kroki są następujące:

-Określ najmniejszą wspólną wielokrotność (lcm) mianowników 5, 8 i 3:

lcm (5,8,3) = 120

Będzie to mianownik otrzymanej frakcji bez upraszczania.

-Dla każdego ułamka: podziel LCM przez mianownik i pomnóż przez licznik. Wynik tej operacji jest umieszczany wraz z odpowiednim znakiem w liczniku ułamka. W ten sposób uzyskuje się ułamek równoważny oryginałowi, ale z LCM jako mianownikiem.

Na przykład dla pierwszego ułamka licznik jest zbudowany w następujący sposób: (120/5) x 4 = 96 i otrzymujemy:

Postępuj w ten sam sposób dla pozostałych frakcji:

Na koniec równoważne ułamki są zastępowane bez zapominania o ich znaku i wykonywana jest suma algebraiczna liczników:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Mnożenie i dzielenie

Mnożenie i dzielenie odbywa się zgodnie z poniższymi zasadami:

Rysunek 3. Zasady mnożenia i dzielenia liczb wymiernych. Źródło: F. Zapata.

W każdym razie należy pamiętać, że mnożenie jest przemienne, co oznacza, że ​​kolejność czynników nie zmienia iloczynu. Nie dzieje się tak w przypadku dzielenia, dlatego należy zachować ostrożność, aby przestrzegać kolejności między dywidendą a dzielnikiem.

Przykład 1

Wykonaj następujące operacje i uprość wynik:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Odpowiedz

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Odpowiedź b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Przykład 2

Luisa miała 45 dolarów. Wydał jedną dziesiątą tego na zakup książki i 2/5 tego, co zostało na koszulce. Ile pieniędzy została Luisa? Wyraź wynik jako nieredukowalny ułamek.

Rozwiązanie

Koszt książki (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Dlatego Luisa została z:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Z tymi pieniędzmi Luisa poszła do sklepu odzieżowego i kupiła koszulę, której cena wynosi:

(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD

Teraz Luisa ma w swoim portfolio:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Aby wyrazić to jako ułamek, pisze się w ten sposób:

24,3 = 243/10

To jest nieredukowalne.

Bibliografia

1. Baldor, A. 1986. Arytmetyka. Kodeks wydań i dystrybucji.
2. Carena, M. 2019. Podręcznik matematyki. National University of the Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matematyka 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Liczby wymierne. Odzyskany z: Cimanet.uoc.edu.
6. Liczby wymierne. Odzyskany z: webdelprofesor.ula.ve.