OBWÓD KOŁA: JAK TO WYDOBYĆ I FORMUŁY, ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Obwód okręgu jest zbiór punktów, które tworzą zarys okręgu i jest również znany jako długość obwodu. Zależy to od promienia, ponieważ większy obwód będzie miał oczywiście większy kontur.

Niech P będzie obwodem koła, a R jego promieniem, wtedy możemy obliczyć P za pomocą następującego równania:

Obwód koła (w tym przypadku pizzy) zależy od jego promienia. Źródło: Pixabay.

Gdzie π jest liczbą rzeczywistą (czytaj „pi”) o wartości około 3,1416… Elipsa wynika z faktu, że π ma nieskończoną liczbę miejsc po przecinku. Dlatego podczas wykonywania obliczeń konieczne jest zaokrąglenie jej wartości.

Jednak w przypadku większości aplikacji wystarczy wziąć podaną tutaj kwotę lub użyć wszystkich miejsc po przecinku, które zwraca kalkulator, z którym pracujesz.

Jeśli zamiast mieć promień, preferowane jest użycie średnicy D, o której wiemy, że jest dwa razy większa niż promień, obwód jest wyrażony w następujący sposób:

Ponieważ obwód jest długością, należy go zawsze wyrażać w jednostkach, takich jak metry, centymetry, stopy, cale i więcej, w zależności od preferowanego systemu.

Obwody i okręgi

Są to często terminy używane zamiennie, to znaczy jako synonimy. Ale zdarza się, że są między nimi różnice.

Słowo „obwód” pochodzi od greckiego „peri”, co oznacza kontur i „metr” lub miarę. Obwód to kontur lub obwód koła. Formalnie definiuje się go następująco:

Ze swojej strony okrąg definiuje się następująco:

Czytelnik może dostrzec subtelną różnicę między tymi dwoma pojęciami. Obwód odnosi się tylko do zbioru punktów na krawędzi, podczas gdy okrąg jest zbiorem punktów od krawędzi do wnętrza, których granicą jest obwód.

Ćwiczenia d emostración obliczania obwodu koła

W następnych ćwiczeniach zostaną wprowadzone w życie pojęcia opisane powyżej, a także kilka innych, które zostaną wyjaśnione na bieżąco. Zaczniemy od najprostszych, a stopień trudności będzie się stopniowo zwiększał.

- Ćwiczenie 1

Znajdź obwód i pole koła o promieniu 5 cm.

Rozwiązanie

Równanie podane na początku stosuje się bezpośrednio:

Aby obliczyć powierzchnię A, stosuje się następujący wzór:

- Ćwiczenie 2

a) Znajdź obwód i obszar pustego obszaru na poniższym rysunku. Środek zacienionego koła znajduje się w czerwonym punkcie, a środek białego koła to zielony punkt.

b) Powtórz poprzednią sekcję dla zacienionego regionu.

Kręgi do ćwiczenia 2. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

a) Promień białego koła wynosi 3 cm, dlatego stosujemy te same równania co w ćwiczeniu 1:

b) W przypadku zacieniowanego koła promień wynosi 6 cm, jego obwód jest dwukrotnie większy niż obliczony w sekcji a):

Na koniec obszar zacienionego regionu oblicza się w następujący sposób:

- Najpierw znajdujemy obszar zacieniowanego koła, jakby był kompletny, który nazwiemy A ', w ten sposób:

- Ćwiczenie 3

Znajdź obszar i obwód zacienionego regionu na poniższym rysunku:

Rysunek do ćwiczenia 3. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Obliczanie powierzchni zacienionego regionu

Najpierw obliczamy obszar okrągłego sektora lub klina, między prostymi segmentami OA i OB a okrągłym odcinkiem AB, jak pokazano na poniższym rysunku:

Aby to zrobić, wykorzystuje się następujące równanie, które daje nam pole przekroju okrągłego, znając promień R i kąt środkowy między segmentami OA i OB, czyli dwa z promieni obwodu:

Gdzie αº to kąt środkowy - jest on centralny, ponieważ jego wierzchołek jest środkiem obwodu - między dwoma promieniami.

Krok 1: oblicz obszar okrągłego sektora

W ten sposób obszar sektora pokazany na rysunku to:

Krok 2: oblicz obszar trójkąta

Następnie obliczymy pole białego trójkąta na rysunku 3. Ten trójkąt jest równoboczny, a jego pole to:

Wysokość jest przerywaną czerwoną linią widoczną na rysunku 4. Aby ją znaleźć, możesz użyć na przykład twierdzenia Pitagorasa. Ale to nie jedyny sposób.

Uważny czytelnik zauważy, że trójkąt równoboczny jest podzielony na dwa identyczne trójkąty proste, których podstawa wynosi 4 cm:

W trójkącie prostokątnym spełnione jest twierdzenie Pitagorasa, a zatem:

Krok 3: obliczenie zacienionego obszaru

Wystarczy odjąć większą powierzchnię (sektora kołowego) od mniejszego (obszaru trójkąta równobocznego): Obszar _zacieniony = 33,51 cm ² - 27,71 cm ² = 5,80 cm ² .

Obliczanie obwodu zacienionego regionu

Poszukiwany obwód to suma prostoliniowego boku 8 cm i łuku obwodu AB. Otóż, cały obwód jest równy 360º, a zatem łuk leżący naprzeciwko 60º stanowi jedną szóstą całej długości, o której wiemy, że wynosi 2.π.R:

Zastępując, obwód zacienionego regionu to:

Aplikacje

Obwód, podobnie jak obszar, jest bardzo ważnym pojęciem w geometrii i ma wiele zastosowań w życiu codziennym.

Artyści, projektanci, architekci, inżynierowie i wiele innych osób przy opracowywaniu swojej pracy, zwłaszcza koła, wykorzystuje obwód, ponieważ okrągły kształt jest wszędzie: od reklamy, przez żywność, po maszyny.

Obwód i koło należą do najczęściej używanych geometrii. Źródło: Pixabay.

Aby bezpośrednio poznać długość obwodu wystarczy owinąć go nitką lub sznurkiem, a następnie przedłużyć tę nitkę i zmierzyć taśmą mierniczą. Inną możliwością jest zmierzenie promienia lub średnicy koła i użycie jednego z opisanych powyżej wzorów.

W codziennej pracy pojęcie obwodu jest używane, gdy:

- Do pizzy lub ciasta o określonej wielkości dobiera się odpowiednią formę.

- Zaprojektowana zostanie droga miejska, obliczając rozmiar fiolki, po której samochody mogą skręcać, aby zmienić kierunek.

-Wiemy, że Ziemia krąży wokół Słońca po mniej więcej kołowej orbicie - zgodnie z prawami Keplera orbity planet są eliptyczne - ale obwód jest bardzo dobrym przybliżeniem dla większości planet.

- Do kupienia w sklepie internetowym dobierany jest odpowiedni rozmiar pierścionka.

-Wybieramy klucz o odpowiednim rozmiarze, aby poluzować nakrętkę.

I wiele więcej.

Bibliografia

1. Darmowe samouczki matematyczne. Pole i obwód koła - kalkulator geometrii. Odzyskany z: analysisemath.com.
2. Math Open Reference. Obwód, obwód koła. Odzyskany z: mathopenref.com.
3. Instytut Monterey. Obwód i obszar. Odzyskany z: montereyinstitute.org.
4. Nauka. Jak znaleźć obwód koła. Odzyskany z: sciencing.com.
5. Wikipedia. Obwód. Odzyskane z: en.wikipedia.org.