PERMUTACJE KOŁOWE: DOWÓD, PRZYKŁADY, ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - DUDAS - 2026

Te okrągłe permutacji są różne typy grup wszystkie elementy zestawu, kiedy mają być umieszczone w kręgach. W tego typu permutacji kolejność ma znaczenie, a elementy nie są powtarzane.

Na przykład przypuśćmy, że chcesz poznać liczbę różnych tablic cyfr od jednej do czterech, umieszczając każdą liczbę na jednym z wierzchołków rombu. W sumie byłoby to 6 ustaleń:

Nie należy mylić, że cyfra jeden znajduje się w górnej pozycji rombu we wszystkich przypadkach jako pozycja stała. Permutacje kołowe nie są zmieniane przez obrót szyku. Oto jedna lub ta sama permutacja:

Demo i formuły

W przykładzie różnych 4-cyfrowych okrągłych tablic umieszczonych na wierzchołkach rombu, liczbę tablic (6) można znaleźć w następujący sposób:

1- Każda z czterech cyfr jest traktowana jako punkt początkowy w dowolnym wierzchołku i przechodzi do następnego wierzchołka. (nie ma znaczenia, czy jest obracany w prawo, czy w lewo)

2- Pozostały 3 opcje wyboru drugiego wierzchołka, następnie są 2 opcje wyboru trzeciego wierzchołka i oczywiście jest tylko jedna opcja wyboru dla czwartego wierzchołka.

3- Zatem liczbę permutacji kołowych, oznaczoną przez (4 - 1) P (4 - 1), uzyskuje się jako iloczyn opcji wyboru w każdej pozycji:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 różnych 4-cyfrowych tablic kołowych.

Ogólnie rzecz biorąc, liczba permutacji cyklicznych, które można osiągnąć przy użyciu wszystkich n elementów zbioru, wynosi:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Zauważ, że (n - 1)! Jest znany jako silnia n i stanowi skrót iloczynu wszystkich liczb od liczby (n - 1) do liczby jeden włącznie.

Przykłady

Przykład 1

Na ile różnych sposobów 6 osób musi siedzieć przy okrągłym stole?

Chcesz znaleźć różne sposoby, na jakie 6 osób może siedzieć przy okrągłym stole.

Liczba sposobów siedzenia = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Liczba sposobów siedzenia = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 różnych sposobów

Przykład 2

Na ile różnych sposobów 5 osób musi znaleźć się na wierzchołkach pięciokąta?

Poszukiwana jest liczba sposobów umieszczenia 5 osób na każdym z wierzchołków pięciokąta.

Liczba dróg do zlokalizowania = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Liczba dróg do zlokalizowania = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 różne drogi

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Jubiler nabywa 12 różnych kamieni szlachetnych, aby umieścić je w punktach godzin zegara, który przygotowuje dla królewskiego domu jednego z krajów europejskich.

a) Na ile różnych sposobów musi on układać kamienie na zegarze?

b) Ile różnych kształtów ma, jeśli kamień sięgający godziny 12 jest wyjątkowy?

c) Ile różnych kształtów, jeśli kamień na godzinie 12 jest niepowtarzalny, a kamienie w pozostałych trzech głównych punktach, na godzinie 3, 6 i 9; Czy są trzy konkretne kamienie, które można wymienić, a resztę godzin przypisuje się z pozostałych kamieni?

Rozwiązania

a) Wymagana jest liczba sposobów ułożenia wszystkich kamieni na obwodzie zegara; to znaczy liczba okrągłych układów obejmujących wszystkie dostępne kamienie.

Liczba układów na zegarze = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Liczba poprawek zegara = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba aranżacji na zegarze = 39976800 różnych kształtów

b) Zastanawia się, ile różnych sposobów zamawiania istnieje, wiedząc, że kamień na klamce godziny 12 jest wyjątkowy i nieruchomy; to znaczy liczba układów kołowych obejmujących pozostałe 11 kamieni.

Liczba układów na zegarze = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Liczba poprawek zegara = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba aranżacji na zegarze = 3 628 800 różnych kształtów

c) Wreszcie, szuka się liczby sposobów uporządkowania wszystkich kamieni z wyjątkiem kamienia na godzinie 12, który jest nieruchomy, kamieni 3, 6 i 9, które mają 3 kamienie do przypisania sobie nawzajem; to znaczy 3! możliwości aranżacyjne oraz ilość układów okrężnych z udziałem pozostałych 8 kamieni.

Liczba poprawek w zegarze = 3! * = 3! * (8–1)!

Liczba układów w zegarze = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Liczba aranżacji na zegarze = 241920 różnych kształtów

- Ćwiczenie 2

Komitet sterujący firmy składa się z 8 członków, którzy spotykają się przy owalnym stole.

a) Ile różnych form aranżacji przy stole ma komisja?

b) Załóżmy, że przewodniczący siedzi u szczytu stołu w dowolnym układzie komitetów, ile różnych form aranżacji ma reszta komitetu?

c) Załóżmy, że wiceprzewodniczący i sekretarz siedzą po obu stronach przewodniczącego w ramach dowolnego układu komitetu. Ile różnych form organizacji ma reszta komitetu?

Rozwiązania

a) Chcemy znaleźć różne sposoby rozmieszczenia 12 członków komitetu wokół owalnego stołu.

Liczba ustaleń komisji = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Liczba ustaleń komisji = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba ustaleń komisji = 39976800 różnych form

b) Ponieważ przewodniczący komisji znajduje się na stałym miejscu, poszukuje się różnych sposobów uporządkowania pozostałych 11 członków komisji przy owalnym stole.

Liczba ustaleń komitetu = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Liczba ustaleń komitetu = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Liczba ustaleń komitetów = 3 628 800 różnych form

c) Prezydent zajmuje stałe stanowisko, a po bokach wiceprezes i sekretarz z dwiema możliwościami rozmieszczenia: wiceprezes po prawej i sekretarz po lewej lub wiceprezes po lewej i sekretarz po prawej. Następnie chcesz znaleźć różne sposoby uporządkowania pozostałych 9 członków komitetu przy owalnym stole i pomnóż je przez 2 formy uzgodnień, które mają wiceprzewodniczący i sekretarz.

Liczba ustaleń komisji = 2 * = 2 *

Liczba ustaleń komisji = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Liczba ustaleń komisji = 80640 różnych form

Bibliografia

1. Boada, A. (2017). Zastosowanie permutacji z powtórzeniami jako nauczanie eksperymentów. Magazyn Vivat Academia. Odzyskany z researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Prawdopodobieństwo i statystyka. Zastosowania i metody. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Metody statystyczne niestosowane w naukach społecznych. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statystyka. Czwarte wyd. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Prawdopodobieństwo i statystyki dla inżynierów i naukowców. Ósme wydanie. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statystyki stosowane w biznesie i gospodarce. Wydanie trzecie. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutacja. Odzyskany z en.wikipedia.org.