PROCES POLITROPOWY: CHARAKTERYSTYKA, ZASTOSOWANIA I PRZYKŁADY - FIZYCZNY - 2025

Politropowe procesu jest termodynamiczna proces, który pojawia się, gdy stosunek pomiędzy ciśnieniem P i objętości V podaje PV ⁿ jest utrzymywana na stałym poziomie. Wykładnik n jest liczbą rzeczywistą, zwykle od zera do nieskończoności, ale w niektórych przypadkach może być ujemna.

Wartość n nazywana jest wskaźnikiem politropu i ważne jest, aby zauważyć, że podczas politropowego procesu termodynamicznego wspomniany wskaźnik musi utrzymywać stałą wartość, w przeciwnym razie proces nie będzie uważany za politropowy.

Rysunek 1. Charakterystyczne równanie politropowego procesu termodynamicznego. Źródło: F. Zapata.

Charakterystyka procesów politropowych

Niektóre charakterystyczne przypadki procesów politropowych to:

- Proces izotermiczny (przy stałej temperaturze T), w którym wykładnik wynosi n = 1.

- Proces izobaryczny (przy stałym ciśnieniu P), w tym przypadku n = 0.

- Proces izochoryczny (przy stałej objętości V), dla którego n = + ∞.

- Procesy adiabatyczne (przy stałej entropii S), w których wykładnikiem jest n = γ, gdzie γ jest stałą adiabatyczną. Ta stała jest ilorazem pojemności cieplnej przy stałym ciśnieniu Cp podzielonej przez pojemność cieplną przy stałej objętości Cv:

γ = Cp / Cv

- Każdy inny proces termodynamiczny, który nie jest jednym z poprzednich przypadków. ale to, że spełnia PV ⁿ = ctte z rzeczywistym i stałym indeksem politropy n będzie również procesem politropy.

Rysunek 2. Różne charakterystyczne przypadki politropowych procesów termodynamicznych. Źródło: Wikimedia Commons.

Aplikacje

Jednym z głównych zastosowań równania politropowego jest obliczanie pracy wykonywanej przez zamknięty układ termodynamiczny, gdy przechodzi on od stanu początkowego do stanu końcowego w sposób quasi-statyczny, czyli po kolejnych stanach równowagi.

Pracuj nad procesami politropowymi dla różnych wartości n

Dla n ≠ 1

Praca mechaniczna W wykonywana przez zamknięty układ termodynamiczny jest obliczana według wzoru:

W = ∫P.dV

Gdzie P to ciśnienie, a V to objętość.

Podobnie jak w przypadku politropy, zależność między ciśnieniem a objętością jest następująca:

Mamy pracę mechaniczną wykonaną podczas procesu politropy, który zaczyna się w stanie początkowym 1, a kończy w stanie końcowym 2. Wszystko to pojawia się w następującym wyrażeniu:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Podstawiając wartość stałej w wyrażeniu roboczym, otrzymujemy:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

W przypadku, gdy substancję roboczą można zamodelować jako gaz doskonały, mamy następujące równanie stanu:

PV = mRT

Gdzie m to liczba moli gazu doskonałego, a R to uniwersalna stała gazu.

Dla gazu doskonałego, który następuje po procesie politropu o wskaźniku politropu różnym od jedności i który przechodzi ze stanu o temperaturze początkowej T ₁ do innego stanu o temperaturze T ₂ , wykonaną pracę przedstawia następujący wzór:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

Dla n → ∞

Zgodnie ze wzorem na pracę otrzymaną w poprzedniej sekcji mamy, że praca procesu politropowego z n = ∞ jest zerowa, ponieważ wyrażenie pracy jest podzielone przez nieskończoność, a zatem wynik dąży do zera .

Innym sposobem uzyskania tego wyniku jest rozpoczęcie od zależności P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , którą można przepisać w następujący sposób:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Biorąc n-ty pierwiastek w każdym członku, otrzymujemy:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

W przypadku, gdy n → ∞, mamy (V ₂ / V1) = 1, co oznacza, że:

V ₂ = V ₁

Oznacza to, że objętość nie zmienia się w procesie politropy z n → ∞. Dlatego różnica objętości dV w całce pracy mechanicznej wynosi 0. Ten typ procesów politropowych jest również znany jako procesy izochoryczne lub procesy o stałej objętości.

Dla n = 1

Znowu mamy wyrażenie na pracę:

W = ∫P dV

W przypadku politropu z n = 1, zależność między ciśnieniem a objętością jest następująca:

PV = stała = C

Rozwiązując P z poprzedniego wyrażenia i podstawiając, wykonaliśmy pracę, aby przejść od stanu początkowego 1 do stanu końcowego 2:

To jest do powiedzenia:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Ponieważ stan początkowy i końcowy są dobrze określone, tak samo będzie z ctte. To jest do powiedzenia:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Na koniec mamy następujące przydatne wyrażenia, aby znaleźć pracę mechaniczną zamkniętego systemu politropowego, w którym n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Jeżeli substancja robocza składa się z m moli gazu doskonałego, wówczas można zastosować równanie stanu gazu doskonałego: PV = mRT

W tym przypadku, ponieważ PV ₁ = ctte, mamy, że proces politropowy z n = 1 jest procesem w stałej temperaturze T (izotermicznej), tak że można otrzymać następujące wyrażenia dla pracy:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Rysunek 3. Topniejący sopel lodu, przykład procesu izotermicznego. Źródło: Pixabay.

Przykłady procesów politropowych

- Przykład 1

Załóżmy, że cylinder z ruchomym tłokiem wypełniony jest jednym kilogramem powietrza. Początkowo powietrze zajmuje objętość V ₁ = 0,2 m ³ przy ciśnieniu P ₁ = 400 kPa. Następuje proces politropowy z n = γ = 1,4, którego stan końcowy ma ciśnienie P ₂ = 100 kPa. Określ pracę wykonaną przez powietrze na tłoku.

Rozwiązanie

Gdy współczynnik politropii jest równy stałej adiabatycznej, zachodzi proces, w którym substancja robocza (powietrze) nie wymienia ciepła z otoczeniem, a zatem nie zmienia się również entropia.

W przypadku powietrza, dwuatomowego gazu doskonałego, mamy:

γ = Cp / Cv, gdzie Cp = (7/2) R i Cv = (5/2) R

Więc:

γ = 7/5 = 1,4

Korzystając z wyrażenia procesu politropy, można określić końcową objętość powietrza:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Teraz mamy warunki do zastosowania wzoru pracy wykonanej w politropowym procesie dla n ≠ 1 otrzymanego powyżej:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Zastępując odpowiednie wartości mamy:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Przykład 2

Załóżmy, że ten sam cylinder z przykładu 1, z ruchomym tłokiem wypełnionym jednym kilogramem powietrza. Początkowo powietrze zajmuje objętość V1 = 0,2 m ³ przy ciśnieniu P1 = 400 kPa. Jednak w przeciwieństwie do poprzedniego przypadku powietrze rozszerza się izotermicznie, aby osiągnąć ciśnienie końcowe P2 = 100 kPa. Określ pracę wykonaną przez powietrze na tłoku.

Rozwiązanie

Jak widać wcześniej, procesy izotermiczne to procesy politropowe o indeksie n = 1, więc prawdą jest, że:

P1 V1 = P2 V2

W ten sposób można łatwo odłączyć ostateczną objętość, aby uzyskać:

V2 = 0,8 m ³

Następnie, używając wyrażenia roboczego uzyskanego wcześniej dla przypadku n = 1, otrzymujemy, że praca wykonana przez powietrze na tłoku w tym procesie to:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Bibliografia

1. Bauer, W. 2011. Fizyka dla inżynierii i nauki. Tom 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, rok 2012. Termodynamika. 7th Edition. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Seria: Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 4. Płyny i termodynamika. Pod redakcją Douglasa Figueroa (USB).
4. Lopez, C. Pierwsza zasada termodynamiki. Odzyskany z: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Osoba.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Podstawy fizyki. 9th Ed. Cengage Learning.
7. Uniwersytet w Sewilli. Maszyny termiczne. Odzyskany z: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Proces politropowy. Odzyskane z: wikiwand.com.