TECHNIKI LICZENIA: TECHNIKI, ZASTOSOWANIA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - DUDAS - 2025

Te techniki liczenia to szereg metod probabilistycznych policzyć liczbę możliwych rozwiązań w zestawie lub kilku zestawów przedmiotów. Są one używane, gdy ręczne wykonywanie kont staje się skomplikowane z powodu dużej liczby obiektów i / lub zmiennych.

Na przykład rozwiązanie tego problemu jest bardzo proste: wyobraź sobie, że twój szef prosi cię o policzenie najnowszych produktów, które dotarły w ciągu ostatniej godziny. W takim przypadku możesz przejść i policzyć produkty jeden po drugim.

Wyobraź sobie jednak, że problem jest następujący: Twój szef prosi Cię, aby policzyć, ile grup 5 produktów tego samego typu można utworzyć z tymi, które przybyły w ciągu ostatniej godziny. W takim przypadku obliczenia są skomplikowane. W tego typu sytuacjach stosuje się tak zwane techniki liczenia.

Techniki te są różne, ale najważniejsze są podzielone na dwie podstawowe zasady, którymi są multiplikatywna i addytywna; permutacje i kombinacje.

Zasada mnożenia

Aplikacje

Zasada multiplikatywności wraz z dodatkiem są podstawą do zrozumienia działania technik liczenia. W przypadku multiplikatywu składa się z:

Wyobraźmy sobie czynność, która obejmuje określoną liczbę kroków (oznaczamy całość jako „r”), gdzie pierwszy krok można wykonać na N1 sposobów, drugi krok na N2, a krok „r” na Nr. W tym przypadku czynność można by przeprowadzić z liczby kształtów powstałych w wyniku tej operacji: N1 x N2 x ……… .x Liczba kształtów

Dlatego zasada ta nazywana jest multiplikatywnością i oznacza, że ​​każdy krok, który jest potrzebny do wykonania danej czynności, musi być wykonywany jeden po drugim.

Przykład

Wyobraźmy sobie osobę, która chce zbudować szkołę. Aby to zrobić, weź pod uwagę, że podstawę budynku można zbudować na dwa różne sposoby, cement lub beton. Jeśli chodzi o ściany, mogą być wykonane z adobe, cementu lub cegły.

Jeśli chodzi o dach, może być wykonany z cementu lub blachy ocynkowanej. Wreszcie, ostateczne malowanie można wykonać tylko w jeden sposób. Powstaje pytanie: ile sposobów ma on zbudować szkołę?

Najpierw rozważamy liczbę stopni, które będą podstawą, ścianami, dachem i farbą. W sumie 4 kroki, więc r = 4.

Oto lista liter N:

N1 = sposoby budowania bazy = 2

N2 = sposoby budowania ścian = 3

N3 = sposoby wykonania dachu = 2

N4 = sposoby malowania = 1

Dlatego liczba możliwych kształtów byłaby obliczana przy użyciu wzoru opisanego powyżej:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 sposobów na naukę w szkole.

Zasada addytywności

Aplikacje

Zasada ta jest bardzo prosta i polega na tym, że w przypadku gdy istnieje kilka alternatyw do wykonania tej samej czynności, możliwe sposoby składają się z sumy różnych możliwych sposobów wykonania wszystkich alternatyw.

Innymi słowy, jeśli chcemy przeprowadzić czynność z trzema alternatywami, gdzie pierwszą możliwość można wykonać na M sposobów, drugą na N, a ostatnią na W, czynność można wykonać w: M + N + ……… + W kształty.

Przykład

Wyobraźmy sobie tym razem osobę, która chce kupić rakietę tenisową. Aby to zrobić, masz do wyboru trzy marki: Wilson, Babolat lub Head.

Kiedy idziesz do sklepu, widzisz, że rakietę Wilson można kupić z rękojeścią w dwóch różnych rozmiarach, L2 lub L3 w czterech różnych modelach i można ją naciągać lub nie naciągać.

Z drugiej strony rakieta Babolat ma trzy uchwyty (L1, L2 i L3), są dwa różne modele i można ją również naciągać lub nie naciągać.

Ze swojej strony rakieta Head jest dostępna tylko z jedną rączką, L2, w dwóch różnych modelach i tylko bez naciągu. Pytanie brzmi: na ile sposobów ta osoba musi kupić swoją rakietę?

M = Liczba sposobów wyboru rakiety Wilson

N = Liczba sposobów wyboru rakiety Babolat

W = Liczba sposobów wyboru rakiety Head

Realizujemy zasadę mnożnika:

M = 2 x 4 x 2 = 16 kształtów

N = 3 x 2 x 2 = 12 sposobów

W = 1 x 2 x 1 = 2 drogi

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 sposobów na wybranie rakiety.

Aby wiedzieć, kiedy zastosować zasadę multiplikatywności i dodatek, wystarczy przyjrzeć się, czy czynność ma do wykonania serię etapów, a jeśli istnieje kilka alternatyw, to dodatek.

Permutacje

Aplikacje

Aby zrozumieć, czym jest permutacja, ważne jest, aby wyjaśnić, czym jest kombinacja, aby można było je rozróżnić i wiedzieć, kiedy ich używać.

Połączenie byłoby układem elementów, w którym nie interesuje nas pozycja, jaką zajmuje każdy z nich.

Z kolei permutacja byłaby układem elementów, w którym interesuje nas pozycja, jaką zajmuje każdy z nich.

Podajmy przykład, aby lepiej zrozumieć różnicę.

Przykład

Wyobraźmy sobie klasę z 35 uczniami w następujących sytuacjach:

1. Nauczyciel chce, aby trzech jego uczniów pomogło mu w utrzymaniu czystości w klasie lub w razie potrzeby rozdawało materiały innym uczniom.
2. Nauczyciel chce wyznaczyć delegatów do klasy (przewodniczącego, asystenta i finansistę).

Rozwiązanie byłoby następujące:

1. Wyobraźmy sobie, że w drodze głosowania Juan, María i Lucía są wybierani do sprzątania klasy lub dostarczania materiałów. Oczywiście wśród 35 możliwych uczniów można było utworzyć inne trzyosobowe grupy.

Musimy zadać sobie następujące pytania: czy kolejność lub pozycja każdego ucznia jest ważna przy ich wyborze?

Jeśli się nad tym zastanowić, zobaczymy, że to naprawdę nie jest ważne, ponieważ grupa będzie odpowiadać za oba zadania w równym stopniu. W tym przypadku jest to kombinacja, ponieważ nie interesuje nas położenie elementów.

1. Teraz wyobraźmy sobie, że Juan zostaje wybrany na prezydenta, Maria na asystentkę, a Lucia na finansistę.

W takim przypadku czy zamówienie ma znaczenie? Odpowiedź brzmi: tak, ponieważ jeśli zmieniamy elementy, zmienia się wynik. Oznacza to, że jeśli zamiast postawić Juana na prezydenta, postawimy go na asystenta, a Marię na prezydenta, ostateczny wynik by się zmienił. W tym przypadku jest to permutacja.

Kiedy różnica zostanie zrozumiana, otrzymamy wzory na permutacje i kombinacje. Jednak najpierw musimy zdefiniować termin „n!” (silnia ene), ponieważ będzie używana w różnych formułach.

n! = iloczyn od 1 do n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Używanie go z liczbami rzeczywistymi:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Wzór na permutacje byłby następujący:

nPr = n! / (nr)!

Dzięki niemu możemy dowiedzieć się, w jakich aranżacjach ważna jest kolejność i gdzie n elementów jest różnych.

Kombinacje

Aplikacje

Jak wspomnieliśmy wcześniej, kombinacje to układy, w których nie przejmujemy się położeniem elementów.

Jego formuła jest następująca:

nCr = n! / (nr)! r!

Przykład

Jeśli jest 14 uczniów, którzy chcą zgłosić się na ochotnika do sprzątania klasy, ile grup sprzątających można utworzyć, jeśli każda grupa musi liczyć 5 osób?

Rozwiązanie byłoby zatem następujące:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grup

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Źródło: Pixabay.com

Natalia zostaje poproszona przez matkę, aby poszła do sklepu spożywczego i kupiła jej napój gazowany, aby się ochłodzić. Kiedy Natalia prosi urzędnika o drinka, mówi jej, że są cztery smaki napojów bezalkoholowych, trzy rodzaje i trzy rozmiary.

Smaki napojów bezalkoholowych to: cola, cytryna, pomarańcza i mięta.

Rodzaje coli mogą być: zwykłe, bez cukru, bez kofeiny.

Rozmiary mogą być: małe, średnie i duże.

Matka Natalii nie sprecyzowała, jaki rodzaj napoju chce. Na ile sposobów Natalia ma go kupić?

Rozwiązanie

M = Rozmiar i numer typu, który możesz wybrać przy wyborze coli.

N = Liczba rozmiarów i typów, które możesz wybrać przy wyborze sody cytrynowej.

W = Rozmiar i numer typu, który możesz wybrać przy wyborze sody pomarańczowej.

Y = Rozmiar i numer typu, który możesz wybrać przy wyborze napoju miętowego.

Realizujemy zasadę mnożnika:

M = 3 × 3 = 9 sposobów

N = 3 × 3 = 9 sposobów

W = 3 × 3 = 9 sposobów

Y = 3 × 3 = 9 sposobów

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 sposobów wyboru sody.

Ćwiczenie 2

Źródło: pixabay.com

Klub sportowy reklamuje bezpłatne warsztaty dla dzieci do nauki jazdy na łyżwach. Zapisanych jest 20 dzieci, więc decydują się na podzielenie ich na dwie dziesięcioosobowe grupy, aby instruktorzy mogli bardziej komfortowo prowadzić zajęcia.

Z kolei decydują się narysować, w której grupie przypadnie każde dziecko. Do ilu różnych grup może wejść dziecko?

Rozwiązanie

W tym przypadku sposobem na znalezienie odpowiedzi jest użycie techniki kombinacji, której wzór był następujący: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (liczba dzieci)

r = 10 (wielkość grupy)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 grup.

Bibliografia

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, „Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jego zastosowań”, (tom 1), wyd. 3, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). „Podstawy logiczne i pomiar prawdopodobieństwa subiektywnego”. Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig Allen; McKean, Joseph W. (2004). Wprowadzenie do statystyki matematycznej (6th ed.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.