- Zastosowania twierdzenia Nortona
- Związek między twierdzeniami Nortona i Thevenina
- Przykład
- Odpowiednik Nortona
- Ćwiczenie rozwiązane
- Rozwiązanie
- Obliczenie RN
- W obliczeniach
- Odpowiednik Nortona
- Rozwiązanie b
- Bibliografia
Twierdzenie Norton , zastosowano do obwodów elektrycznych, ustawia układ liniowy z dwoma zaciskami A i B, może być zastąpiony przez inny w pełni równoważne, składający się ze źródłem prądu, że nazywamy nie połączonych równolegle rezystora R nr .
Wspomniany prąd I No lub I N to ten, który płynąłby między punktami a i b, gdyby były zwarte. Rezystancja R N jest równoważną rezystancją między zaciskami, gdy wszystkie niezależne źródła są wyłączone. Wszystko, co zostało powiedziane, przedstawiono na rysunku 1.
Rysunek 1. Równoważny obwód Nortona. Źródło: Wikimedia Commons. Drumkid
Czarna ramka na rysunku zawiera obwód liniowy, który należy zastąpić jego odpowiednikiem Nortona. Obwód liniowy to taki, w którym wejście i wyjście mają liniową zależność, na przykład zależność między napięciem V a prądem stałym I w elemencie omowym: V = IR
Wyrażenie to odpowiada prawu Ohma, gdzie R jest oporem, który może być również impedancją, jeśli jest to obwód prądu przemiennego.
Twierdzenie Nortona zostało opracowane przez inżyniera elektryka i wynalazcę Edwarda L. Nortona (1898-1983), który przez długi czas pracował dla Bell Laboratories.
Zastosowania twierdzenia Nortona
Gdy masz bardzo skomplikowane sieci, z wieloma rezystancjami lub impedancjami i chcesz obliczyć napięcie między którąkolwiek z nich lub przepływający przez nią prąd, twierdzenie Nortona upraszcza obliczenia, ponieważ jak widzieliśmy, sieć można zastąpić przez mniejszy i łatwiejszy w zarządzaniu obwód.
W ten sposób twierdzenie Nortona jest bardzo ważne podczas projektowania obwodów z wieloma elementami, a także do badania ich odpowiedzi.
Związek między twierdzeniami Nortona i Thevenina
Twierdzenie Nortona jest dwoistością twierdzenia Thevenina, co oznacza, że są równoważne. Twierdzenie Thevenina stwierdza, że czarną skrzynkę na rysunku 1 można zastąpić źródłem napięcia połączonym szeregowo z rezystorem, zwanym rezystorem Thevenina R Th . Przedstawia to poniższy rysunek:
Rysunek 2. Oryginalny obwód po lewej stronie i jego odpowiedniki w Thévenin i Norton. Źródło: F. Zapata.
Obwód po lewej to oryginalny obwód, sieć liniowa w czarnej skrzynce, obwód A w prawym górnym rogu to odpowiednik Thevenina, a obwód B to odpowiednik Nortona, zgodnie z opisem. Patrząc z zacisków a i b, te trzy obwody są równoważne.
Teraz zauważ, że:
-W pierwotnym obwodzie napięcie między zaciskami wynosi V ab .
-V ab = V Th w obwodzie A.
-W końcu, V ab = I N .R N w obwodzie B.
Jeśli zaciski a i b są zwarte we wszystkich trzech obwodach, należy upewnić się, że napięcie i prąd między tymi punktami muszą być takie same we wszystkich trzech, ponieważ są one równoważne. Więc:
-W pierwotnym obwodzie prąd wynosi i.
-Dla obwodu A prąd wynosi i = V Th / R Th , zgodnie z prawem Ohma.
-W końcu w obwodzie B prąd wynosi I N
W związku z tym stwierdza się, że opory Norton i Thevenin mają tę samą wartość, a prąd jest określony przez:
i = ja N = V Th / R Th = V Th / R N
Przykład
Aby poprawnie zastosować twierdzenie Nortona, wykonaj następujące kroki:
- Oddziel od sieci część obwodu, dla której ma zostać znaleziony odpowiednik Nortona.
-W pozostałym obwodzie wskazać zaciski a i b.
-Zastąp źródła napięcia dla zwarć i źródła prądu dla otwartych obwodów, aby znaleźć równoważną rezystancję między zaciskami a i b. Jest R N .
-Zwróć wszystkie źródła do ich pierwotnych pozycji, zewrzyj zaciski i znajdź prąd, który krąży między nimi. To ja N .
-Narysuj obwód zastępczy Nortona zgodnie z tym, co pokazano na rysunku 1. Zarówno źródło prądu, jak i równoważna rezystancja są równoległe.
Twierdzenie Thevenina można również zastosować do znalezienia R Th, o którym już wiemy, że jest równe R N , a następnie zgodnie z prawem Ohma możemy znaleźć I N i przystąpić do narysowania powstałego obwodu.
A teraz zobaczmy przykład:
Znajdź odpowiednik Nortona między punktami A i B następującego obwodu:
Rysunek 3. Przykładowy obwód. Źródło: F. Zapata.
Część obwodu, której odpowiednik ma zostać znaleziony, jest już odizolowana. Punkty A i B są jasno określone. Należy zewrzeć źródło 10 V i znaleźć równoważną rezystancję otrzymanego obwodu:
Rysunek 4. Zwarte źródło. Źródło: F. Zapata.
Patrząc z zacisków A i B, oba rezystory R 1 i R 2 są równoległe, dlatego:
1 / R eq = 1 / R 12 = (1/4) + (1/6) Ω -1 = 5/12 Ω -1 → R eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω
Następnie źródłem jest z powrotem na swoim miejscu i punktami A i B są zwarte, aby znaleźć prąd płynący tam, to będę N . W tym wypadku:
Rysunek 5. Obwód do obliczania prądu Nortona. Źródło: F. Zapata.
I N = 10 V / 4 Ω = 2,5 A
Odpowiednik Nortona
Na koniec rysowany jest odpowiednik Nortona ze znalezionymi wartościami:
Rysunek 6. Odpowiednik Nortona obwodu z rysunku 3. Źródło: F. Zapata.
Ćwiczenie rozwiązane
W obwodzie poniższego rysunku:
Rysunek 7. Obwód dla rozwiązanego ćwiczenia. Źródło: Alexander, C. 2006. Podstawy obwodów elektrycznych. 3. Wydanie. Mc Graw Hill.
a) Znajdź obwód równoważny Norton sieci zewnętrznej niebieskiemu rezystorowi.
b) Znajdź także odpowiednik Thévenin.
Rozwiązanie
Postępując zgodnie z powyższymi krokami, należy zewrzeć źródło:
Rysunek 8. Zwarcie źródła w obwodzie z rysunku 7. Źródło: F. Zapata.
Obliczenie RN
Patrząc z zacisków A i B, rezystor R 3 jest połączony szeregowo z równoległością utworzoną przez rezystory R 1 i R 2 , najpierw obliczmy równoważną rezystancję tej równoległości:
A następnie ta równoległość jest szeregowo z R 3, więc równoważny opór wynosi:
Jest to wartość zarówno R N, jak i R Th , jak wyjaśniono wcześniej.
W obliczeniach
Zaciski A i B są wtedy zwarte, przywracając źródło na swoje miejsce:
Rysunek 9. Obwody do znalezienia prądu Nortona. Źródło: F. Zapata.
Prąd przechodzący przez I 3 jest poszukiwanym prądem I N , który można określić metodą siatki lub szeregowo i równolegle. W tym obwodzie R 2 i R 3 są równoległe:
Rezystor R 1 jest połączony szeregowo z tą równoległością, a następnie:
Prąd wychodzący ze źródła (kolor niebieski) jest obliczany zgodnie z prawem Ohma:
Ten prąd jest podzielony na dwie części: jedną przechodzącą przez R 2 i drugą, która przechodzi przez R 3 . Jednak prąd przepływający przez równoległy R 23 jest taki sam, jaki przechodzi przez R 1 , jak widać na obwodzie pośrednim na rysunku. Jest tam napięcie:
Oba rezystory R 2 i R 3 są pod tym napięciem, ponieważ są równoległe, dlatego:
Mamy już poszukiwany prąd Nortona, ponieważ jak wcześniej powiedziałem I 3 = I N , to:
Odpowiednik Nortona
Wszystko jest gotowe, aby narysować odpowiednik Nortona tego obwodu między punktami A i B:
Rysunek 10. Odpowiednik Nortona obwodu z rysunku 7. Źródło: F. Zapata.
Rozwiązanie b
Znalezienie odpowiednika Thévenina jest bardzo proste, ponieważ R Th = R N = 6 Ω i jak wyjaśniono w poprzednich sekcjach:
V Th = I N . R N = 1 A. 6 Ω = 6 V.
Równoważny obwód Thévenin to:
Rysunek 11. Odpowiednik Thevenina obwodu z rysunku 7. Źródło: F. Zapata.
Bibliografia
- Alexander, C. 2006. Podstawy obwodów elektrycznych. 3. Wydanie. Mc Graw Hill.
- Boylestad, R. 2011. Wprowadzenie do analizy obwodów. 2nd. Wydanie. Osoba.
- Dorf, R. 2006. Wprowadzenie do obwodów elektrycznych. 7th. Wydanie. John Wiley & Sons.
- Edminister, J. 1996. Obwody elektryczne. Seria Schauma. 3. Wydanie. Mc Graw Hill.
- Wikipedia. Twierdzenie Nortona. Odzyskane z: es.wikipedia.org.