TRÓJKĄTY: HISTORIA, ELEMENTY, KLASYFIKACJA, WŁASNOŚCI - NAUKA - 2025

W trójkąty są płaskie i zamkniętych figur geometrycznych, składający się z trzech stron. Trójkąt wyznaczają trzy linie, które przecinają się dwa na dwa, tworząc ze sobą trzy kąty. Pełen symboliki trójkątny kształt obecny jest w niezliczonych przedmiotach i jako element konstrukcji.

Pochodzenie trójkąta zaginęło w historii. Z dowodów archeologicznych wiadomo, że prymitywna ludzkość dobrze ją znała, ponieważ pozostałości archeologiczne potwierdzają, że była używana w narzędziach i broni.

Rysunek 1. Trójkąty. Źródło: Publicdomainpictures.

Jest również oczywiste, że starożytni Egipcjanie posiadali solidną wiedzę na temat geometrii, a zwłaszcza kształtu trójkąta. Odbijały się one w elementach architektonicznych jego monumentalnych budowli.

W papirusie Rhinda znajdziesz wzory do obliczania powierzchni trójkątów i trapezów, a także niektóre objętości i inne koncepcje podstawowych trygonometrii.

Ze swojej strony wiadomo, że Babilończycy byli w stanie obliczyć pole trójkąta i inne figury geometryczne, które wykorzystali do celów praktycznych, takich jak podział ziemi. Mieli również wiedzę na temat wielu właściwości trójkątów.

Jednak to starożytni Grecy usystematyzowali wiele dominujących dziś koncepcji geometrycznych, chociaż większość tej wiedzy nie była wyłączna, ponieważ z pewnością była dzielona z innymi starożytnymi cywilizacjami.

Elementy trójkąta

Elementy dowolnego trójkąta pokazano na poniższym rysunku. Istnieją trzy: wierzchołki, boki i kąty.

Rysunek 2. Zapis trójkątów i ich elementów. Źródło: Wikimedia Commons, zmodyfikowane przez F. Zapata

-Vertices : to punkty przecięcia linii, których segmenty wyznaczają trójkąt. Na powyższym rysunku, na przykład, prosta L _AC, która zawiera odcinek AC, przecina prostą L _AB, która zawiera odcinek AB dokładnie w punkcie A.

- Boki : pomiędzy każdą parą wierzchołków rysowany jest odcinek linii, który stanowi jeden bok trójkąta. Segment ten można oznaczyć końcowymi literami lub nazwać go konkretną literą. W przykładzie z fig. 2 strona AB jest również nazywana „c”.

- Kąty : Pomiędzy każdym bokiem ze wspólnym wierzchołkiem powstaje kąt, którego wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem trójkąta. Generalnie kąt jest oznaczony grecką literą, jak podano na początku.

Aby zbudować określony trójkąt o określonym kształcie i rozmiarze, wystarczy mieć jeden z następujących zestawów danych:

-Trzy boki, dość oczywiste w przypadku trójkąta.

-Dwa boki i kąt między nimi, a natychmiast rysowana jest druga strona.

-Dwa (wewnętrzne) kąty i bok między nimi. W wyniku tego dwa brakujące boki są narysowane i trójkąt jest gotowy.

Notacja

Generalnie w zapisie trójkąta stosowane są następujące konwencje: wierzchołki oznaczane są dużymi literami łacińskimi, boki małymi literami łacińskimi, a kąty literami greckimi (patrz rysunek 2).

W ten sposób trójkąt zostanie nazwany zgodnie z jego wierzchołkami. Na przykład trójkąt po lewej stronie na rysunku 2 to trójkąt ABC, a trójkąt po prawej to trójkąt A'B'C '.

Możliwe jest również użycie innych zapisów; na przykład kąt α na fig. 2 jest oznaczony jako BAC. Zwróć uwagę, że litera wierzchołka znajduje się pośrodku, a litery są napisane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Innym razem do oznaczenia kąta używa się daszka:

α = ∠A

Rodzaje trójkątów

Istnieje kilka kryteriów klasyfikacji trójkątów. Najbardziej typową rzeczą jest klasyfikowanie ich według miary ich boków lub według miary ich kątów. W zależności od wymiaru ich boków trójkąty mogą być: skalenami, równoramiennymi lub równobocznymi:

-Scaleno : jego trzy strony są różne.

-Isósceles : ma dwa równe boki i jedną inną stronę.

-Equilátero : trzy boki są równe.

Rysunek 3. Klasyfikacja trójkątów według ich boków. Źródło: F. Zapata

Zgodnie z miarą ich kątów, trójkąty nazywane są następująco:

- Przeszkoda , jeśli jeden z kątów wewnętrznych jest większy niż 90 °.

- Kąt ostry , gdy trzy wewnętrzne kąty trójkąta są ostre, to jest mniejsze niż 90 °

- Prostokąt , jeśli jeden z jego wewnętrznych kątów jest wart 90º. Boki tworzące 90 ° nazywane są nogami, a strona przeciwna do kąta prostego to przeciwprostokątna.

Rysunek 4. Klasyfikacja trójkątów na podstawie ich kątów wewnętrznych. Źródło: F. Zapata.

Kongruencja trójkątów

Kiedy dwa trójkąty mają ten sam kształt i ten sam rozmiar, mówi się, że są przystające. Oczywiście zgodność jest powiązana z równością, więc dlaczego w geometrii mówi się o „dwóch przystających trójkątach” zamiast „dwóch równych trójkątach”?

Cóż, lepiej jest używać terminu „kongruencja”, aby trzymać się prawdy, ponieważ dwa trójkąty mogą mieć ten sam kształt i rozmiar, ale mogą być zorientowane inaczej w płaszczyźnie (patrz rysunek 3). Z punktu widzenia geometrii nie byłyby już dokładnie takie same.

Rysunek 5. Przystające trójkąty, ale niekoniecznie równe, ponieważ ich orientacja w płaszczyźnie jest inna. Źródło: F. Zapata.

Kryteria kongruencji

Dwa trójkąty są przystające, jeśli zachodzi którakolwiek z poniższych sytuacji:

-Trzy boki mierzą to samo (znowu jest to najbardziej oczywiste).

-Mają dwa identyczne boki i ten sam kąt między nimi.

-Obydwa mają dwa identyczne kąty wewnętrzne, a bok między tymi kątami ma takie same wymiary.

Jak widać, chodzi o dwa trójkąty spełniające niezbędne warunki, aby po zbudowaniu ich kształt i rozmiar były dokładnie takie same.

Kryteria zgodności są bardzo przydatne, ponieważ w praktyce niezliczone części i części mechaniczne muszą być produkowane seryjnie, tak aby ich wymiary i kształt były dokładnie takie same.

Podobieństwo trójkątów

Trójkąt jest podobny do innego, jeśli ma ten sam kształt, nawet jeśli mają różne rozmiary. Aby zapewnić ten sam kształt, wymagane jest, aby kąty wewnętrzne miały tę samą wartość, a boki były proporcjonalne.

Rysunek 6. Dwa podobne trójkąty: ich rozmiary są różne, ale ich proporcje są takie same. Źródło: F. Zapata.

Trójkąty na rysunku 2 są również podobne, tak jak na rysunku 6. W ten sposób:

Jeśli chodzi o boki, zachodzą następujące współczynniki podobieństwa:

Nieruchomości

Podstawowe właściwości trójkątów są następujące:

-Suma kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta zawsze wynosi 180º.

-Dla każdego trójkąta suma jego zewnętrznych kątów jest równa 360 °.

- Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych nie sąsiadujących ze wspomnianym kątem.

Twierdzenia

Pierwsze twierdzenie Talesa

Przypisuje się je greckiemu filozofowi i matematykowi Talesowi z Miletu, który rozwinął kilka twierdzeń związanych z geometrią. Pierwsza z nich brzmi następująco:

Rysunek 7. Twierdzenie Talesa. Źródło: F. Zapata.

Innymi słowy:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Pierwsze twierdzenie Talesa ma zastosowanie do trójkąta, na przykład mamy niebieski trójkąt ABC po lewej stronie, który jest przecięty czerwonymi równoleżnikami po prawej stronie:

Rysunek 8. Twierdzenie Talesa i podobne trójkąty.

Fioletowy trójkąt AB'C 'jest podobny do niebieskiego trójkąta ABC, dlatego zgodnie z twierdzeniem Talesa można zapisać:

AB´ / AC´ = AB / AC

I jest to zgodne z tym, co wyjaśniono wcześniej w segmencie podobieństwa trójkątów. Nawiasem mówiąc, równoległe linie mogą być również pionowe lub równoległe do przeciwprostokątnej, a podobne trójkąty uzyskuje się w ten sam sposób.

Drugie twierdzenie Talesa

To twierdzenie odnosi się również do trójkąta i koła ze środkiem O, takich jak te pokazane poniżej. Na tej figurze AC to średnica obwodu, a B to punkt na nim, przy czym B różni się od A i B.

Drugie twierdzenie Talesa stwierdza, że:

Rysunek 9. Drugie twierdzenie Talesa. Źródło: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Twierdzenie Pitagorasa

To jedno z najsłynniejszych twierdzeń w historii. Wynika to z greckiego matematyka Pitagorasa z Samos (569 - 475 pne) i ma zastosowanie do trójkąta prostokątnego. Tak mówi:

Jeśli weźmiemy jako przykład niebieski trójkąt na rysunku 8 lub fioletowy trójkąt, ponieważ oba są prostokątami, można stwierdzić, że:

AC ² = AB ² + BC ² (niebieski trójkąt)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (fioletowy trójkąt)

Pole trójkąta

Pole tego trójkąta wyznacza iloczyn jego podstawy a i wysokości h, podzielonego przez 2. Za pomocą trygonometrii wysokość tę można zapisać jako h = b sinθ.

Rysunek 10. Obszar trójkąta. Źródło: Wikimedia Commons.

Przykłady trójkątów

Przykład 1

Mówi się, że za pomocą swojego pierwszego twierdzenia Talesowi udało się zmierzyć wysokość Wielkiej Piramidy w Egipcie, jednego z 7 cudów starożytnego świata, mierząc cień, który rzucał na ziemię i ten rzucany przez wbity w ziemię kołek.

Oto zarys procedury stosowanej przez Tales:

Rysunek 11. Schemat pomiaru wysokości Wielkiej Piramidy na podstawie podobieństwa trójkątów. Źródło: Wikimedia Commons. Dake

Thales poprawnie założył, że promienie słoneczne padają równolegle. Mając to na uwadze, wyobraził sobie duży trójkąt prostokątny po prawej stronie.

Tam D to wysokość piramidy, a C to odległość nad ziemią mierzona od środka do cienia rzucanego przez piramidę na dnie pustyni. Pomiar C może być pracochłonny, ale z pewnością jest łatwiejszy niż pomiar wysokości piramidy.

Po lewej stronie znajduje się mały trójkąt z nogami A i B, gdzie A to wysokość kołka wbitego pionowo w ziemię, a B to rzucany przez niego cień. Obie długości są mierzalne, podobnie jak C (C jest równe długości cienia + połowa długości piramidy).

A więc przez podobieństwo trójkątów:

A / B = D / C

A wysokość Wielkiej Piramidy okazuje się wynosić: D = C. (A / B)

Przykład 2

Kratownice w budownictwie cywilnym to konstrukcje wykonane z cienkich, prostych prętów z drewna lub metalu krzyżowanych krzyżowo, które są używane jako podparcie w wielu budynkach. Są również znane jako kratownice, kratownice lub kratownice.

W nich trójkąty są zawsze obecne, ponieważ pręty są połączone w punktach zwanych węzłami, które można zamocować lub przegubowo.

Rysunek 12. Trójkąt znajduje się w ramie tego mostu. Źródło: PxHere.

Przykład 3

Metoda zwana triangulacją pozwala na uzyskanie lokalizacji niedostępnych punktów, znając inne odległości, które są łatwiejsze do zmierzenia, pod warunkiem, że zostanie utworzony trójkąt zawierający pożądane położenie między jego wierzchołkami.

Na przykład na poniższym rysunku chcemy wiedzieć, gdzie znajduje się statek na morzu, oznaczony jako B.

Rysunek 13. Schemat triangulacji do lokalizacji statku. Źródło: Wikimedia Commons. Colette

Najpierw mierzy się odległość między dwoma punktami na wybrzeżu, które na rysunku są A i C. Następnie należy wyznaczyć kąty α i β za pomocą teodolitu, urządzenia służącego do pomiaru kątów pionowych i poziomych.

Dzięki tym wszystkim informacjom budowany jest trójkąt, w którego górnym wierzchołku znajduje się statek. Pozostałoby obliczyć kąt γ, korzystając z właściwości trójkątów i odległości AB i CB za pomocą trygonometrii, aby określić położenie statku na morzu.

Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Na przedstawionym rysunku promienie słoneczne są równoległe. W ten sposób wysokie na 5 metrów drzewo rzuca 6-metrowy cień na ziemię. W tym samym czasie cień budynku wynosi 40 metrów. Zgodnie z pierwszym twierdzeniem Talesa, znajdź wysokość budynku.

Rysunek 14. Schemat rozwiązanego ćwiczenia 1. Źródło: F. Zapata.

Rozwiązanie

Czerwony trójkąt ma boki odpowiednio 5 i 6 metrów, natomiast niebieski ma wysokość H - wysokość budynku - i podstawę 40 metrów. Oba trójkąty są podobne, dlatego:

Ćwiczenie 2

Musisz znać odległość poziomą między dwoma punktami A i B, ale znajdują się one na bardzo nierównym podłożu.

W przybliżeniu w punkcie środkowym (P _m ) wspomnianego terenu wyróżnia się występ o wysokości 1,75 metra. Jeśli taśma miernicza wskazuje 26 metrów długości mierzonej od A do występu i 27 metrów od B do tego samego punktu, znajdź odległość AB.

Rysunek 15. Schemat rozwiązanego ćwiczenia 2. Źródło: Jiménez, R. Mathematics II. Geometria i trygonometria.

Rozwiązanie

Twierdzenie Pitagorasa jest stosowane do jednego z dwóch trójkątów prostokątnych na rysunku. Zaczynając od tego po lewej:

Przeciwprostokątna = c = 26 metrów

Wysokość = a = 1,75 metra

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Teraz zastosuj Pitagorasa w trójkącie po prawej stronie, tym razem c = 27 metrów, a = 1,75 metra. Przy tych wartościach:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Odległość AB znajduje się, dodając następujące wyniki:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Bibliografia

1. Baldor, JA 1973. Geometria płaszczyzny i przestrzeni. Kultura Ameryki Środkowej.
2. Barredo, D. Geometria trójkąta. Odzyskany z: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematyka II. Geometria i trygonometria. Druga edycja. Osoba.
4. Wentworth, G. Geometria płaszczyzny. Odzyskane z: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Trójkąt. Odzyskane z: es. wikipedia.org.