ZMIENNA CIĄGŁA: CHARAKTERYSTYKA, PRZYKŁADY I ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Zmienna ciągła to taka, która może mieć nieskończoną liczbę wartości liczbowych pomiędzy dwoma podanymi wartościami, nawet jeśli te dwie wartości są dowolnie blisko. Służą do opisania mierzalnych atrybutów; na przykład wzrost i waga. Wartości, które przyjmuje zmienna ciągła, mogą być liczbami wymiernymi, liczbami rzeczywistymi lub liczbami zespolonymi, chociaż ten drugi przypadek występuje rzadziej w statystyce.

Główną cechą zmiennych ciągłych jest to, że między dwiema wartościami wymiernymi lub rzeczywistymi zawsze można znaleźć inną, a między tą drugą a pierwszą inną wartością można znaleźć i tak dalej w nieskończoność.

Rysunek 1. Krzywa przedstawia ciągły rozkład, a słupki dyskretny. Źródło: pixabay

Na przykład załóżmy, że zmienna waga w grupie, w której najcięższy waży 95 kg, a najniższy 48 kg; byłby to zakres zmiennej, a liczba możliwych wartości jest nieskończona.

Na przykład od 50,00 kg do 50,10 kg może wynosić 50,01. Ale między 50,00 a 50,01 może być środkiem 50,005. To jest zmienna ciągła. Z drugiej strony, jeśli w możliwych pomiarach wagi została ustalona dokładność do jednego miejsca po przecinku, wówczas zastosowana zmienna byłaby dyskretna.

Zmienne ciągłe należą do kategorii zmiennych ilościowych, ponieważ mają przypisaną wartość liczbową. Dzięki tej wartości liczbowej możliwe jest przeprowadzanie operacji matematycznych od arytmetycznych do nieskończenie małych metod obliczeniowych.

Przykłady

Większość zmiennych w fizyce to zmienne ciągłe, wśród nich możemy wymienić: długość, czas, prędkość, przyspieszenie, energię, temperaturę i inne.

Zmienne ciągłe i zmienne dyskretne

W statystyce można zdefiniować różne typy zmiennych, zarówno jakościowe, jak i ilościowe. Zmienne ciągłe należą do tej drugiej kategorii. Dzięki nim możliwe jest wykonywanie operacji arytmetycznych i obliczeniowych.

Na przykład zmienna h, odnosząca się do osób o wzroście od 1,50 m do 1,95 m, jest zmienną ciągłą.

Porównajmy tę zmienną z tą: ile razy podczas rzutu monetą wypadnie reszka, którą nazwiemy n.

Zmienna n może przyjmować wartości od 0 do nieskończoności, jednak n nie jest zmienną ciągłą, ponieważ nie może przyjmować wartości 1,3 lub 1,5, ponieważ między wartościami 1 i 2 nie ma innej. To jest przykład zmiennej dyskretnej.

Ćwiczenie ze zmiennymi ciągłymi

Rozważmy następujący przykład: maszyna produkuje zapałki i pakuje je do swojego pudełka. Zdefiniowano dwie zmienne statystyczne:

Nominalna długość zapałki to 5,0 cm z tolerancją 0,1 cm. Liczba zapałek w pudełku wynosi 50 z tolerancją 3.

a) Wskaż zakres wartości, które mogą przyjmować L i N.

b) Ile wartości może przyjąć L?

c) Ile wartości może przyjąć n?

W każdym przypadku określ, czy jest to zmienna dyskretna czy ciągła.

Rozwiązanie

Wartości L mieszczą się w zakresie; to znaczy, wartość L jest w przedziale, a zmienna L może przyjmować nieskończone wartości między tymi dwoma pomiarami. Jest to wtedy zmienna ciągła.

Wartość zmiennej n mieści się w przedziale. Zmienna n może przyjmować tylko 6 możliwych wartości w przedziale tolerancji, jest wówczas zmienną dyskretną.

Ćwiczenie

Jeżeli oprócz tego, że są ciągłe, wartości przyjmowane przez zmienną mają związane z nimi określone prawdopodobieństwo wystąpienia, to jest to ciągła zmienna losowa. Bardzo ważne jest rozróżnienie, czy zmienna jest dyskretna czy ciągła, ponieważ modele probabilistyczne mające zastosowanie do jednego i drugiego są różne.

Ciągła zmienna losowa jest całkowicie zdefiniowana, gdy znane są wartości, jakie może przyjąć, i prawdopodobieństwo wystąpienia każdej z nich.

-Ćwiczenie 1 prawdopodobieństw

Matchmaker tworzy je w taki sposób, aby długość kijów była zawsze w przedziale od 4,9 cm do 5,1 cm, a zero poza tymi wartościami. Istnieje prawdopodobieństwo otrzymania patyka o wymiarach od 5,00 do 5,05 cm, chociaż moglibyśmy również wydobyć kij o wielkości 50003 cm. Czy te wartości są równie prawdopodobne?

Rozwiązanie

Załóżmy, że gęstość prawdopodobieństwa jest jednolita. Prawdopodobieństwa znalezienia dopasowania o określonej długości są wymienione poniżej:

- To, że dopasowanie mieści się w zakresie, ma prawdopodobieństwo = 1 (lub 100%), ponieważ maszyna nie losuje dopasowań poza tymi wartościami.

-Znalezienie dopasowania między 4,9 a 5,0 ma prawdopodobieństwo = ½ = 0,5 (50%), ponieważ jest to połowa zakresu długości.

-A prawdopodobieństwo, że dopasowanie ma długość od 5,0 do 5,1 wynosi również 0,5 (50%)

- Wiadomo, że nie ma zapałek o długości od 5,0 do 5,2. Prawdopodobieństwo: zero (0%).

Prawdopodobieństwo znalezienia wykałaczki w określonym zakresie

Przyjrzyjmy się teraz następującym prawdopodobieństwom P otrzymania sztyftów o długości od l ₁ do l ₂ :

-P, że dopasowanie ma długość między 5,00 a 5,05 jest oznaczane jako P ():

-P, że skocznia ma długość między 5,00 a 5,01 to:

-P, że skocznia ma długość między 5000 a 5001, jest jeszcze mniejsza:

Jeśli będziemy dalej zmniejszać przedział, aby zbliżyć się coraz bardziej do 5,00, prawdopodobieństwo, że wykałaczka ma dokładnie 5,00 cm, wynosi zero (0%). To, co mamy, to prawdopodobieństwo znalezienia dopasowania w pewnym zakresie.

Prawdopodobieństwo znalezienia wielu wykałaczek w danym zakresie

Jeśli zdarzenia są niezależne, prawdopodobieństwo, że dwie wykałaczki znajdują się w pewnym zakresie, jest iloczynem ich prawdopodobieństw.

-Prawdopodobieństwo, że dwie pałeczki są między 5,0 a 5,1 wynosi 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Prawdopodobieństwo, że 50 wykałaczek mieści się w przedziale od 5,0 do 5,1 wynosi (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, czyli prawie zero.

-Prawdopodobieństwo, że 50 wykałaczek jest między 4,9 a 5,1 wynosi (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Exercise 2 z prawdopodobieństw

W poprzednim przykładzie przyjęto założenie, że prawdopodobieństwo jest jednolite w danym przedziale, jednak nie zawsze tak jest.

W przypadku rzeczywistej maszyny, która produkuje wykałaczki, prawdopodobieństwo, że wykałaczka znajduje się w środku, jest większe niż w przypadku jednej z wartości ekstremalnych. Z matematycznego punktu widzenia jest to modelowane za pomocą funkcji f (x) znanej jako gęstość prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo, że miara L znajduje się między a i b, jest obliczane przy użyciu całki oznaczonej funkcji f (x) między a i b.

Jako przykład załóżmy, że chcemy znaleźć funkcję f (x), która reprezentuje równomierny rozkład między wartościami 4,9 i 5,1 z ćwiczenia 1.

Jeśli rozkład prawdopodobieństwa jest jednorodny, to f (x) jest równe stałej c, którą wyznacza się, biorąc całkę między 4,9 a 5,1 z c. Ponieważ ta całka jest prawdopodobieństwem, wynik musi wynosić 1.

Rysunek 2. Jednolita gęstość prawdopodobieństwa. (Opracowanie własne)

Co oznacza, że ​​c jest warte 1 / 0,2 = 5. To znaczy, jednolita funkcja gęstości prawdopodobieństwa to f (x) = {5, jeśli 4,9≤x≤5,1 i 0 poza tym zakresem. Jednorodną funkcję gęstości prawdopodobieństwa przedstawiono na rysunku 2.

Zwróć uwagę, że w przedziałach o tej samej szerokości (na przykład 0,02) prawdopodobieństwo jest takie samo w środku jak na końcu zakresu zmiennej ciągłej L (długość wykałaczki).

Bardziej realistycznym modelem byłaby funkcja gęstości prawdopodobieństwa, taka jak poniżej:

Rysunek 3. Niejednorodna funkcja gęstości prawdopodobieństwa. (Opracowanie własne)

Na rysunku 3 można zobaczyć, jak prawdopodobieństwo znalezienia wykałaczek między 4,99 a 5,01 (szerokość 0,02) jest większe niż prawdopodobieństwo znalezienia wykałaczek między 4,90 a 4,92 (szerokość 0,02)

Bibliografia

1. Dinov, Ivo. Dyskretne zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa. Źródło: stat.ucla.edu
2. Zmienne losowe dyskretne i ciągłe. Pobrane z: ocw.mit.edu
3. Dyskretne zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa. Pobrane z: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa. Odzyskane z: probability course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statystyka zarządzania i ekonomii. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Problemy ze zmiennymi losowymi i modele prawdopodobieństwa. Odzyskany z: ugr.es.
7. Wikipedia. Zmienna ciągła. Odzyskany z wikipedia.com
8. Wikipedia. Zmienna statystyczna. Odzyskany z wikipedia.com.