WYNIKOWY WEKTOR: OBLICZENIA, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Powstały wektor jest otrzymany w wyniku operacji, z wektorami, których wynikiem jest wektorem. Zwykle operacja ta jest sumą dwóch lub więcej wektorów, za pomocą których uzyskuje się wektor, którego efekt jest równoważny.

W ten sposób uzyskuje się wektory, takie jak wynikowa prędkość, przyspieszenie lub siła. Na przykład, gdy na ciało działa kilka sił F ₁ , F ₂ , F ₃ …. suma wektorów wszystkich tych sił jest równa sile wypadkowej (wypadkowej), która jest matematycznie wyrażona w następujący sposób:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R lub F _N

Rysunek 1. Ciężar śniegu rozkłada się na dach, a jego działanie można zastąpić pojedynczą wypadkową siłą przyłożoną w odpowiednim miejscu. Źródło: Pixabay.

Wynikowy wektor, niezależnie od tego, czy są to siły, czy jakakolwiek inna wielkość wektora, znajduje się, stosując zasady dodawania wektorów. Ponieważ wektory mają kierunek i zwrot, a także wartość liczbową, nie wystarczy dodać moduły, aby uzyskać wektor wynikowy.

Dzieje się tak tylko w przypadku, gdy zaangażowane wektory są w tym samym kierunku (patrz przykłady). W przeciwnym razie konieczne jest stosowanie metod sum wektorowych, które w zależności od przypadku mogą być geometryczne lub analityczne.

Przykłady

Metodami geometrycznymi znajdowania wektorów wynikowych są metoda trawersu i metoda równoległoboku.

Jeśli chodzi o metody analityczne, istnieje metoda składowa, za pomocą której można znaleźć wektor wynikający z dowolnego układu wektorów, pod warunkiem, że mamy jego składowe kartezjańskie.

Metody geometryczne dodawania dwóch wektorów

Załóżmy, że wektory U i V (oznaczamy ich pogrubione aby odróżnić je od skalarnych). Na rysunku 2a) mamy je umieszczone w samolocie. Na ryc. 2 b) została przetłumaczona na wektor v w taki sposób, że jej początek pokrywa się z końcem u . Wynikowy wektor przechodzi od początku pierwszego ( u ) do końca ostatniego ( v ):

Rysunek 2. Otrzymany wektor z graficznej sumy wektorów. Źródło: wykonane samodzielnie.

Wynikowa figura w tym przypadku to trójkąt (trójkąt to trójstronny wielokąt). Jeśli mamy dwa wektory w tym samym kierunku, procedura jest taka sama: umieść jeden z wektorów po drugim i narysuj ten, który biegnie od początku lub końca pierwszego do końca lub końca ostatniego.

Zwróć uwagę, że kolejność wykonywania tej procedury nie ma znaczenia, ponieważ suma wektorów jest przemienna.

Należy również zauważyć, że w tym przypadku moduł (długość lub rozmiar) otrzymanego wektora jest sumą modułów dodanych wektorów, w przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, w którym moduł wynikowego wektora jest mniejszy niż suma moduły uczestników.

Metoda równoległoboku

Ta metoda jest bardzo odpowiednia, gdy trzeba dodać dwa wektory, których punkty początkowe pokrywają się, powiedzmy, z początkiem układu współrzędnych xy. Załóżmy, że tak jest w przypadku naszych wektorów u i v (rysunek 3a):

Rysunek 3. Suma dwóch wektorów przy użyciu metody równoległoboku z otrzymanym wektorem w kolorze turkusowym. Źródło: wykonane samodzielnie.

Na rysunku 3b) równoległobok został skonstruowany za pomocą przerywanych linii równoległych do u i v . Wynikowy wektor ma swój początek w O, a koniec w punkcie, w którym przecinają się kropkowane linie. Ta procedura jest całkowicie równoważna z procedurą opisaną w poprzedniej sekcji.

Ćwiczenia

-Ćwiczenie 1

Biorąc pod uwagę następujące wektory, znajdź wynikowy wektor za pomocą metody trawersu.

Rysunek 4. Wektory do znalezienia ich wypadkowej metodą wielokątów. Ćwiczenie 1. Źródło: opracowanie własne.

Rozwiązanie

Metoda poligonowa jest pierwszą z widocznych metod. Pamiętaj, że suma wektorów jest przemienna (kolejność addendów nie zmienia sumy), więc możesz zacząć od dowolnego z wektorów, na przykład u (rysunek 5a) lub r (rysunek 5b):

Rysunek 5. Suma wektorów metodą wielokątów. Źródło: wykonane samodzielnie.

Figura otrzymany wielokąt i otrzymany wektor (na niebiesko) nazywa R . Jeśli zaczniesz od innego wektora, utworzony kształt może być inny, jak pokazano w przykładzie, ale wynikowy wektor jest taki sam.

Ćwiczenie 2

Na poniższym rysunku wiemy, że moduły wektorów u i v mają odpowiednio u = 3 dowolne jednostki i v = 1,8 dowolne jednostki. Kąt, który tworzy u z dodatnią osią x wynosi 45º, podczas gdy v tworzy 60º z osią y, jak widać na rysunku. Znajdź wynikowy wektor, wielkość i kierunek.

Rozwiązanie

W poprzedniej sekcji uzyskany wektor został znaleziony metodą równoległoboku (na rysunku w kolorze turkusowym).

Prostym sposobem analitycznego znalezienia wektorów wynikowych jest wyrażenie wektorów addend w kategoriach ich składowych kartezjańskich, co jest łatwym zadaniem, gdy znany jest moduł i kąt, jak wektory w tym przykładzie:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Wektory u i v są wektorami należącymi do płaszczyzny, a zatem mają po dwa składowe. Wektor u znajduje się w pierwszej ćwiartce i jego składowe są dodatnie, a wektor v w czwartej ćwiartce; jego składowa x jest dodatnia, ale jego rzut na oś pionową opada na ujemną oś y.

Obliczanie składowych kartezjańskich wektora wypadkowego

Wynikowy wektor znajduje się poprzez algebraiczne dodanie odpowiednich składowych xiy, aby otrzymać ich składowe kartezjańskie:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Po określeniu komponentów kartezjańskich wektor jest w pełni znany. Wynikowy wektor można wyrazić za pomocą notacji w nawiasach:

R = <3,68; 1.22> dowolne jednostki

Notacja w nawiasach służy do odróżniania wektora od punktu na płaszczyźnie (lub w przestrzeni). Innym sposobem analitycznego wyrażenia wynikowego wektora jest użycie wektorów jednostkowych i i j na płaszczyźnie ( i , j i k w przestrzeni):

R = 3,68 i + 1,22 j dowolne jednostki

Ponieważ oba składowe otrzymanego wektora są dodatnie, wektor R należy do pierwszej ćwiartki, co było już wcześniej widziane graficznie.

Wielkość i kierunek wypadkowego wektora

Znając współrzędne kartezjańskie komponentów, wielkości R jest obliczana przez Pitagorasa, ponieważ wynikowy wektor R , wraz z jego składników R _x i R _i tworzą trójkąt prostokątny:

Wielkość lub moduł: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Kierunek q przyjmując dodatnią oś x jako odniesienie: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Bibliografia

1. Dodawanie wektorów i reguł. Pobrane z: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Physics for Science and Engineering. Tom 1. Kinematyka 31-68.
3. Fizyczny. Moduł 8: Wektory. Odzyskany z: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statyczny 6th Edition. Wydawnictwo Continental. 15-53.
5. Kalkulator dodawania wektorów. Pobrane z: www.1728.org