Do wektorów swobodnych są te, które są w pełni określone przez jego wielkości, kierunku i sensu, bez konieczności do wskazania punktu aplikacji lub konkretnego pochodzenia.
Ponieważ w ten sposób można narysować nieskończone wektory, wektor swobodny nie jest pojedynczą jednostką, ale zbiorem równoległych i identycznych wektorów, które są niezależne od tego, gdzie się znajdują.
Rysunek 1. Różne wektory swobodne. Źródło: wykonane samodzielnie.
Powiedzmy, że mamy kilka wektorów o wielkości 3 skierowanych pionowo w górę lub o wielkości 5 i nachylonych w prawo, jak na rysunku 1.
Żaden z tych wektorów nie jest specjalnie stosowany w żadnym momencie. Wtedy każdy z niebieskich lub zielonych wektorów jest reprezentatywny dla ich odpowiedniej grupy, ponieważ ich cechy - moduł, kierunek i zwrot - nie zmieniają się wcale, gdy są przenoszone w inne miejsce na płaszczyźnie.
Wolny wektor jest zwykle oznaczany w drukowanym tekście pogrubioną, małą literą, na przykład v. Lub małą literą i strzałką nad nią, jeśli jest to tekst odręczny .
Zaletą wektorów swobodnych jest to, że można je przesuwać w płaszczyźnie lub w przestrzeni i zachować swoje właściwości, ponieważ każdy przedstawiciel zbioru jest równie ważny.
Dlatego w fizyce i mechanice są często używane. Na przykład, aby wskazać prędkość liniową przemieszczającej się bryły, nie jest konieczne wybieranie konkretnego punktu na obiekcie. Zatem wektor prędkości zachowuje się jak wektor swobodny.
Innym przykładem wektora swobodnego jest para sił. Para składa się z dwóch sił o jednakowej wielkości i kierunku, ale o przeciwnych kierunkach, przyłożonych w różnych punktach na bryłę. Efektem pary nie jest przesuwanie obiektu, ale wywołanie obrotu dzięki wytworzonemu momentowi.
Rysunek 2 przedstawia kilka sił przyłożonych do kierownicy. Poprzez siły F 1 i F 2 powstaje moment obrotowy, który obraca koło zamachowe wokół jego środka i zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Rysunek 2. Kilka sił przyłożonych do kierownicy powoduje jej obrót w prawo. Źródło: Bielasko.
Możesz wprowadzić pewne zmiany w momencie obrotowym i nadal uzyskać ten sam efekt obracania, na przykład zwiększając siłę, ale zmniejszając odległość między nimi. Lub zachowaj siłę i odległość, ale zastosuj moment obrotowy w innej parze punktów na kierownicy, to znaczy obróć moment obrotowy wokół środka.
Moment pary lub po prostu pary jest wektorem, którego moduł to Fd i jest skierowany prostopadle do płaszczyzny koła zamachowego. W przykładzie pokazanym konwencją obrót w prawo ma kierunek ujemny.
Właściwości i cechy
W przeciwieństwie do wektora swobodnego v, wektory AB i CD są stałe (patrz rysunek 3), ponieważ mają określony punkt początkowy i punkt docelowy. Ale ponieważ są one wyrozumiałe dla siebie nawzajem, az kolei z wektorem v , są reprezentatywne dla wektora swobodnego v .
Rysunek 3. Wektory swobodne, wektory soczewki zespołowej i wektory ustalone. Źródło: wykonane samodzielnie.
Główne właściwości wektorów swobodnych są następujące:
-Każdy wektor AB (patrz rysunek 2) jest, jak powiedziano, reprezentatywny dla wektora swobodnego v .
-Moduł, kierunek i zwrot są takie same u każdego przedstawiciela wektora swobodnego. Na fig. 2 wektory AB i CD reprezentują wektor swobodny v i są soczewkami zespołowymi.
-Mając punkt P w przestrzeni, zawsze jest możliwe znalezienie przedstawiciela wektora swobodnego v, którego początek jest w P i ten reprezentant jest unikalny. Jest to najważniejsza właściwość wektorów swobodnych, która sprawia, że są one tak wszechstronne.
-Null wektor swobodny jest oznaczany jako 0 i jest zbiorem wszystkich wektorów, którym brakuje wielkości, kierunku i zwrotu.
-Jeśli wektor AB reprezentuje wektor swobodny v , to wektor BA reprezentuje wektor swobodny - v .
- Notacja V 3 zostanie użyta do oznaczenia zbioru wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni, a V 2 do oznaczenia wszystkich wektorów swobodnych na płaszczyźnie.
Rozwiązane ćwiczenia
W przypadku wektorów swobodnych można wykonać następujące operacje:
-Suma
-Odejmowanie
-Mnożenie wartości skalarnej przez wektor
- Iloczyn skalarny między dwoma wektorami.
-Produkt krzyżowy między dwoma wektorami
-Liniowa kombinacja wektorów
I więcej.
-Ćwiczenie 1
Uczeń próbuje przepłynąć z jednego punktu na brzegu rzeki do drugiego, które jest dokładnie naprzeciw. Aby to osiągnąć, pływa bezpośrednio z prędkością 6 km / h, w kierunku prostopadłym, jednak prąd ma prędkość 4 km / h, który go odchyla.
Oblicz wypadkową prędkość pływaka i ile jest odchylany przez prąd.
Rozwiązanie
Wynikowa prędkość pływaka jest sumą wektorów jego prędkości (w odniesieniu do rzeki, narysowanej pionowo do góry) i prędkości rzeki (od lewej do prawej), którą przeprowadza się zgodnie z poniższym rysunkiem:
Wielkość uzyskanej prędkości odpowiada przeciwprostokątnej pokazanego trójkąta prostokątnego, dlatego:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / h = 7,2 km / h
Kierunek można obliczyć na podstawie kąta względem prostopadłej do brzegu:
α = arctg (4/6) = 33,7º lub 56,3º w stosunku do brzegu.
Ćwiczenie 2
Znajdź moment pary sił pokazanych na rysunku:
Rozwiązanie
Moment obliczany jest według:
M = r x F.
Jednostki w tej chwili to lb-f.ft. Ponieważ para znajduje się w płaszczyźnie ekranu, moment jest skierowany prostopadle do niego, na zewnątrz lub do wewnątrz.
Ponieważ moment obrotowy w przykładzie ma tendencję do obracania obiektu, na który jest przyłożony (co nie jest pokazane na rysunku) zgodnie z ruchem wskazówek zegara, uważa się, że moment ten wskazuje na ekran i ma znak ujemny.
Wielkość tego momentu to M = Fdsen a, gdzie a jest kątem między siłą a wektorem r. Musisz wybrać punkt, względem którego chcesz obliczyć moment, czyli wektor swobodny. Wybrane jest źródło układu odniesienia, dlatego r przechodzi od O do punktu przyłożenia każdej siły.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20. syn 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. stopa
Moment netto jest sumą M 1 i M 2 : -17329,5 lb-f. stopa.
Bibliografia
- Beardon, T. 2011. Wprowadzenie do wektorów. Odzyskany z: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Mechanika inżynierska: statyka. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Science and Engineering. Tom 1. Kinematyka 31-68.
- Fizyczny. Moduł 8: Wektory. Odzyskany z: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statyczny 6th Edition. Wydawnictwo Continental. 15-53.
- Kalkulator dodawania wektorów. Odzyskane z: 1728.org
- Wektory. Odzyskane z: en.wikibooks.org