PRĘDKOŚĆ KĄTOWA: DEFINICJA, WZÓR, OBLICZENIA I ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2026

Prędkość kątowa jest miarą prędkości obrotowej i jest definiowana jako kąt, który obraca wektor położenia obracającego się obiektu w jednostce czasu. Jest to wielkość, która bardzo dobrze opisuje ruch wielu obiektów, które nieustannie wirują wszędzie: płyty CD, koła samochodowe, maszyny, Ziemię i wiele innych.

Schemat „London Eye” można zobaczyć na poniższym rysunku. Reprezentuje ruch pasażera reprezentowany przez punkt P, który porusza się po okrężnej ścieżce, zwanej c:

Schematyczne przedstawienie okrągłej ścieżki, którą podąża pasażer „London Eye”. Źródło: wykonane samodzielnie.

Pasażer zajmuje pozycję P w chwili t, a położenie kątowe odpowiadające tej chwili to ϕ.

Od chwili t upływa okres czasu Δt. W tym okresie nową pozycją punktualnego pasażera jest P ', a pozycja kątowa wzrosła o kąt Δϕ.

Jak obliczana jest prędkość kątowa?

W przypadku wielkości rotacyjnych powszechnie stosuje się greckie litery, aby odróżnić je od wielkości liniowych. Więc początkowo średnią prędkość kątową Ohm _m jest zdefiniowany jako kąt przebytej w danym okresie czasu.

Następnie iloraz Δφ / At będzie przedstawiają średnią prędkością kątową omów _m pomiędzy chwilami ti t + At.

Jeśli chcesz obliczyć prędkość kątową tylko w chwili t, to musisz obliczyć stosunek Δϕ / Δt, gdy Δt ➡0:

Zależność między prędkością liniową i kątową

Prędkość liniowa v jest ilorazem przebytej odległości i czasu potrzebnego na jej pokonanie.

Na powyższym rysunku pokonany łuk to Δs. Ale łuk ten jest proporcjonalny do przebytego kąta i promienia, przy spełnieniu następującej zależności, która obowiązuje tak długo, jak Δϕ jest mierzone w radianach:

Δs = r ・ Δϕ

Jeśli podzielimy poprzednie wyrażenie przez upływ czasu Δt i weźmiemy granicę przy Δt ➡0, otrzymamy:

v = r ・ ω

Jednolity ruch obrotowy

Na zdjęciu słynne „London Eye”, obracające się koło o wysokości 135 m, które obraca się powoli, aby ludzie mogli wsiąść do kabin u podstawy i podziwiać londyńskie krajobrazy. Źródło: Pixabay.

Ruch obrotowy jest jednostajny, jeśli w jakimkolwiek obserwowanym momencie przebyty kąt jest taki sam w tym samym okresie czasu.

Jeśli obrót jest jednostajny, to prędkość kątowa w dowolnym momencie pokrywa się ze średnią prędkością kątową.

Ponadto, po wykonaniu pełnego obrotu, pokonany kąt wynosi 2π (odpowiednik 360º). Dlatego przy równomiernym obrocie prędkość kątowa ω jest powiązana z okresem T według następującego wzoru:

f = 1 / T

Oznacza to, że przy równomiernym obrocie prędkość kątowa jest powiązana z częstotliwością przez:

ω = 2π ・ f

Rozwiązane problemy z prędkością kątową

Ćwiczenie 1

Kabiny wielkiego kołowrotka zwanego „London Eye” poruszają się powoli. Prędkość kabin wynosi 26 cm / s, a średnica koła wynosi 135 m.

Na podstawie tych danych obliczyć:

i) prędkość kątowa koła

ii) Częstotliwość obrotów

iii) Czas potrzebny, aby kabina wykonała pełny obrót.

Odpowiedzi:

i) Prędkość v wm / s wynosi: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Promień jest równy połowie średnicy: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x ^10-4 zwoje / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 obrotu / s = 0,0368 obrotu / min = 2,21 obrotu / godzinę.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 okrążenia / godz. = 0,45311 godz. = 27 min 11 sek

Ćwiczenie 2

Autko porusza się po okrągłym torze o promieniu 2m. W 0 s jego położenie kątowe wynosi 0 rad, ale po czasie t jego położenie kątowe jest określone wzorem:

φ (t) = 2 ・ t

Określać:

i) prędkość kątowa

ii) Prędkość liniowa w dowolnym momencie.

Odpowiedzi:

i) Prędkość kątowa jest pochodną położenia kątowego: ω = φ '(t) = 2.

Innymi słowy, samochodzik przez cały czas ma stałą prędkość kątową równą 2 rad / s.

ii) Prędkość liniowa samochodu wynosi: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / h

Ćwiczenie 3

Ten sam samochód z poprzedniego ćwiczenia zaczyna się zatrzymywać. Jego położenie kątowe w funkcji czasu określa następujące wyrażenie:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Określać:

i) Prędkość kątowa w dowolnym momencie

ii) Prędkość liniowa w dowolnym momencie

iii) Czas potrzebny do zatrzymania się od momentu, gdy zaczyna zwalniać

iv) Przebyty kąt

v) przebyta odległość

Odpowiedzi:

i) Prędkość kątowa jest pochodną położenia kątowego: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) Prędkość liniowa samochodu w dowolnym momencie jest wyrażona wzorem:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Czas potrzebny do zatrzymania się od momentu, w którym zaczyna zwalniać, określa się znając moment, w którym prędkość v (t) osiąga zero.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Oznacza to, że zatrzymuje się 2 s po rozpoczęciu hamowania.

iv) W okresie 2s od rozpoczęcia hamowania do zatrzymania przemieszczany jest kąt określony przez φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 stopnia

v) W okresie 2 s od rozpoczęcia hamowania do zatrzymania pokonuje się odległość s określoną przez:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Ćwiczenie 4

Koła samochodu mają 80 cm średnicy. Jeśli samochód jedzie z prędkością 100 km / h. Wyznacz: i) prędkość kątową obrotu kół, ii) częstotliwość obrotów kół, iii) liczbę obrotów, jaką wykonuje koło w czasie 1-godzinnej jazdy.

Odpowiedzi:

i) Przede wszystkim zamierzamy przeliczyć prędkość samochodu z km / h na h / s

v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Kątową prędkość obrotu kół określa:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Częstotliwość obrotu kół jest określona wzorem:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 obrotu / s

Częstotliwość obrotów jest zwykle wyrażana w obrotach na minutę obr./min

f = 11,05 obrotu / s = 11,05 obrotu / (1/60) min = 663,15 obr / min

iii) Liczbę okrążeń pokonanych przez koło w czasie 1-godzinnej podróży oblicza się, wiedząc, że 1 godzina = 60 minut, a częstotliwość to liczba okrążeń N podzielona przez czas, w którym te N okrążeń zostało wykonanych.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (obroty / min) x 60 min = 39788,7 obrotów.

Bibliografia

1. Giancoli, D. Physics. Zasady z aplikacjami. 6th Edition. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fizyczny. Tom 1. Trzecie wydanie w języku hiszpańskim. Meksyk. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. 7th. Wydanie. Meksyk. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org