DOMYŚLNE I NADMIERNE PRZYBLIŻENIE: CO TO JEST I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Pod i nad zbliżenia jest sposób numeryczny wykorzystywany do określenia wartości liczby stosownie do różnych skalach dokładności. Na przykład liczba 235 623 jest domyślnie bliska 235,6, a nadwyżka 235,7. Jeśli uznamy dziesiątki za granicę błędu.

Aproksymacja polega na zamianie dokładnej liczby na inną, przy czym ta zamiana powinna ułatwić operację zadania matematycznego, zachowując strukturę i istotę problemu.

Źródło: Pexels.

A ≈B

Czyta; Przybliżony B . Gdzie „A” oznacza dokładną wartość, a „B” przybliżoną wartość.

Znaczące liczby

Wartości, za pomocą których określa się przybliżoną liczbę, nazywane są cyframi znaczącymi. W przybliżeniu przykładu wzięto cztery cyfry znaczące. Dokładność liczby jest określana przez liczbę cyfr znaczących, które ją definiują.

Nieskończone zera, które mogą znajdować się zarówno po prawej, jak i po lewej stronie liczby, nie są uważane za cyfry znaczące. Położenie przecinka nie odgrywa żadnej roli przy definiowaniu cyfr znaczących liczby.

750385

. . . . 00.0075038500. . . .

75.038500000. . . . .

750385000. . . . .

. . . . . 000007503850000. . . . .

Na czym to polega?

Metoda jest dość prosta; wybierz granicę błędu, która jest niczym innym jak zakresem liczbowym, w którym chcesz wykonać cięcie. Wartość tego zakresu jest wprost proporcjonalna do marginesu błędu przybliżonej liczby.

W powyższym przykładzie 235 623 posiada tysięczne (623). Następnie dokonano przybliżenia do dziesiątych części. Wartość nadwyżki (235,7) odpowiada najbardziej znaczącej wartości w dziesiątych częściach bezpośrednio po pierwotnej liczbie.

Z drugiej strony, wartość domyślna (235,6) odpowiada najbliższej i najbardziej znaczącej wartości w dziesiątych częściach, czyli przed liczbą pierwotną.

Przybliżenie liczbowe jest w praktyce dość powszechne w przypadku liczb. Inne szeroko stosowane metody to zaokrąglanie i obcinanie ; które odpowiadają różnym kryteriom przypisywania wartości.

Margines błędu

Definiując zakres liczbowy, jaki będzie obejmował liczba po przybliżeniu, określamy również granicę błędu, która towarzyszy liczbie. Będzie to oznaczone istniejącą lub znaczącą liczbą wymierną w przypisanym zakresie.

W początkowym przykładzie wartości zdefiniowane przez przekroczenie (235,7) i domyślnie (235,6) mają przybliżony błąd 0,1. W badaniach statystycznych i prawdopodobieństwa obsługiwane są 2 rodzaje błędów w odniesieniu do wartości liczbowej; błąd bezwzględny i błąd względny.

Waga

Kryteria ustalania zakresów aproksymacji mogą być bardzo zmienne i są ściśle związane ze specyfikacjami elementu, który ma być przybliżony. W krajach o wysokiej inflacji w nadmiernych przybliżeniach pomija się niektóre przedziały liczbowe, ponieważ są one niższe niż skala inflacji.

W ten sposób, przy inflacji większej niż 100%, sprzedawca nie dostosuje produktu z 50 do 55 dolarów, ale przybliży go do 100 dolarów, ignorując w ten sposób jednostki i dziesiątki, zbliżając się bezpośrednio do setki.

Korzystanie z kalkulatora

Konwencjonalne kalkulatory przynoszą ze sobą tryb FIX, w którym użytkownik może skonfigurować liczbę miejsc dziesiętnych, które chce otrzymać w swoich wynikach. Powoduje to błędy, które należy wziąć pod uwagę przy wykonywaniu dokładnych obliczeń.

Przybliżenie liczb niewymiernych

Niektóre wartości szeroko stosowane w operacjach numerycznych należą do zbioru liczb niewymiernych, których główną cechą jest nieokreślona liczba miejsc dziesiętnych.

źródło: Pexels.

Wartości takie jak:

• π = 3,141592654….
• e = 2,718281828 …
• √2 = 1,414213562…

Są one powszechne w eksperymentach i ich wartości muszą być zdefiniowane w pewnym zakresie, biorąc pod uwagę możliwe generowane błędy.

Do czego one służą?

W przypadku podziału (1 ÷ 3) obserwuje się eksperymentalnie potrzebę ustalenia redukcji liczby wykonywanych operacji w celu określenia liczby.

1 ÷ 3 = 0,333333. . . . . .

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333. . . . . / dziesięć tysięcy. . . . . = 0,333333. . . . .

Przedstawiono operację, która może być kontynuowana w nieskończoność, więc w pewnym momencie konieczne jest przybliżenie.

W przypadku:

1 ÷ 3 333333. . . . . / dziesięć tysięcy. . . . . = 0,333333. . . . .

Dla dowolnego punktu wyznaczonego jako margines błędu zostanie uzyskana liczba mniejsza niż dokładna wartość (1 ÷ 3). W ten sposób wszystkie przybliżenia wykonane wcześniej są domyślnymi przybliżeniami (1 ÷ 3).

Przykłady

Przykład 1

1. Która z poniższych liczb jest domyślnym przybliżeniem 0,0127

• 0.13
• 0,012; Jest to domyślne przybliżenie 0,0127
• 0,01; Jest to domyślne przybliżenie 0,0127
• 0,0128

Przykład 2

1. Która z poniższych liczb jest nadmiernym przybliżeniem 23 435

• 24; jest przybliżeniem przekraczającym 23 435
• 23.4
• 23,44; jest przybliżeniem przekraczającym 23 435
• 23,5; jest przybliżeniem przekraczającym 23 435

Przykład 3

1. Zdefiniuj następujące liczby, używając domyślnego przybliżenia , z określonym ograniczeniem błędu.

• 547,2648… Dla tysięcznych, setnych i dziesiątek.

Tysiące: Części tysięczne odpowiadają trzem pierwszym cyfrom po przecinku, gdzie po 999 znajduje się jednostka. Przechodzimy do przybliżonej liczby 547 264.

Części setne: Oznaczone przez pierwsze 2 cyfry po przecinku, części setne muszą się spotkać, 99, aby osiągnąć jedność. W ten sposób domyślnie zbliża się do 547,26.

Dziesiątki: W tym przypadku granica błędu jest znacznie wyższa, ponieważ zakres przybliżenia jest określony w liczbach całkowitych. Kiedy przybliżasz się domyślnie w dziesiątce, otrzymasz 540.

Przykład 4

1. Zdefiniuj następujące liczby, używając nadmiernego przybliżenia , z określoną granicą błędu.

• 1204,27317 Na dziesiątki, setki i jedności.

Dziesiąte: Odnosi się do pierwszej cyfry po przecinku, gdzie jednostka jest utworzona po 0,9. Zbliżanie się do dziesiątych w nadmiarze daje 1204,3 .

Setki: Ponownie obserwuje się ograniczenie błędu, którego zakres mieści się w liczbach całkowitych figury. Przybliżenie setek przez nadmiar daje 1300 . Liczba ta znacznie różni się od 1204.27317. Z tego powodu przybliżenia zwykle nie są stosowane do wartości całkowitych.

Jednostki: Nadmiernie zbliżając się do jednostki, uzyskuje się 1205.

Przykład 5

1. Krawcowa odcina materiał o długości 135,3 cm, tworząc flagę o powierzchni 7855 cm ² . Ile zmierzy druga strona, jeśli użyjesz konwencjonalnej linijki, która oznacza do milimetrów.

Przybliż wyniki na podstawie nadmiaru i wady .

Obszar flagi jest prostokątny i jest określony przez:

A = bok x bok

strona = A / strona

bok = 7855 cm ² / 135,3 cm

bok = 58,05617147 cm

Dzięki zrozumieniu reguły możemy uzyskać dane do milimetrów, co odpowiada zakresowi ułamków dziesiętnych w odniesieniu do centymetra.

Zatem 58 cm jest domyślnym przybliżeniem.

Podczas gdy 58,1 to nadmierne przybliżenie.

Przykład 6

1. Zdefiniuj 9 wartości, które mogą być dokładnymi liczbami w każdym z przybliżeń:

• 34,071 Wyniki przybliżonych tysięcznych według Domyślnie

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• Domyślnie 0,012 wynika z przybliżonych tysięcznych części

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23,9 wynika z aproksymacji dziesiątych przez nadmiar

23,801 23,85555 23,81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

• 58,37 jest wynikiem zbliżenia części setnych przez nadmiar

58.3605 58,36001 58,36065

583655 58362 58363

58,3623 58,361 58,3634

Przykład 7

1. Przybliż każdą liczbę niewymierną zgodnie ze wskazaną granicą błędu:

• π = 3,141592654….

Tysiące domyślnie π = 3,141

Tysiące przez nadmiar π = 3,142

Domyślnie setne π = 3,14

Ponad setne części π = 3,15

Domyślnie dziesiąte π = 3,1

Dziesiąte części nadmiaru π = 3,2

• e = 2,718281828 …

Tysiące domyślnie e = 2,718

Tysiące przez nadwyżkę e = 2,719

Setki domyślnie e = 2,71

Ponad setne części e = 2,72

Domyślnie dziesiąte części e = 2,7

Dziesiąte części nadmiaru e = 2,8

• √2 = 1,414213562…

Tysiące domyślnie √2 = 1,414

Tysiące części nadwyżki √2 = 1,415

Setne domyślnie √2 = 1,41

Setnych w nadmiarze √2 = 1,42

Domyślnie dziesiąte √2 = 1,4

Dziesiąte części nadmiaru √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,3333333. . . . .

Tysiące domyślnie 1 ÷ 3 = 0,332

Tysiące powyżej 1 ÷ 3 = 0,334

Setne domyślnie 1 ÷ 3 = 0,33

Setne powyżej 1 ÷ 3 = 0,34

Domyślnie dziesiąte 1 ÷ 3 = 0,3

Dziesiąte części nadmiaru 1 ÷ 3 = 0,4

Bibliografia

1. Problemy w analizie matematycznej. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Uniwersytet Wrocławski. Polska.
2. Wprowadzenie do logiki i metodologii nauk dedukcyjnych. Alfred Tarski, New York Oxford. Prasa Uniwersytetu Oksfordzkiego.
3. Nauczyciel Arytmetyki, tom 29. Krajowa Rada Nauczycieli Matematyki, 1981. University of Michigan.
4. Uczenie się i nauczanie teorii liczb: badania nad poznaniem i nauczaniem / pod redakcją Stephena R. Campbella i Riny Zazkis. Ablex publikuje 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.