AKSJOMATY PRAWDOPODOBIEŃSTWA: RODZAJE, WYJAŚNIENIE, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - DUDAS - 2025

Te aksjomaty prawdopodobieństwa są twierdzenia matematyczne odnoszące się do teorii prawdopodobieństwa, które nie dowód zasług. Aksjomaty zostały ustanowione w 1933 r. Przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa (1903–1987) w jego Podstawach teorii prawdopodobieństwa i położyły podwaliny pod matematyczne badanie prawdopodobieństwa.

Podczas przeprowadzania pewnego losowego eksperymentu ξ, przestrzeń próbna E jest zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu, zwanych także zdarzeniami. Każde zdarzenie jest oznaczone jako A, a P (A) to prawdopodobieństwo jego wystąpienia. Następnie Kołmogorow ustalił, że:

Rysunek 1. Aksjomaty prawdopodobieństwa pozwalają nam obliczyć prawdopodobieństwo trafienia w gry losowe, takie jak ruletka. Źródło: Pixabay.

- Aksjomat 1 (nieujemność) : prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest zawsze dodatnie lub zerowe, P (A) ≥0. Gdy prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 0, nazywa się to zdarzeniem niemożliwym.

- Aksjomat 2 (pewność) : ilekroć jakieś zdarzenie należące do E, jego prawdopodobieństwo wystąpienia wynosi 1, co możemy wyrazić jako P (E) = 1. Jest to znane jako pewne wydarzenie, ponieważ podczas przeprowadzania eksperymentu z pewnością jest wynik.

- Aksjomat 3 (dodanie) : w przypadku dwóch lub więcej niezgodnych zdarzeń dwa na dwa, zwanych A ₁ , A ₂ , A ₃ …, prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A ₁ plus A ₂ plus A ₃ i tak dalej kolejno jest to suma prawdopodobieństw każdego zdarzenia z osobna.

Wyraża się to jako: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Rysunek 2. Wybitny rosyjski matematyk Andriej Kołmogorow (1903-1987), który położył podwaliny pod prawdopodobieństwo aksjomatyczne. Źródło: Wikimedia Commons.

Przykład

Aksjomaty prawdopodobieństwa są szeroko stosowane w wielu zastosowaniach. Na przykład:

Pinezka lub hals jest wyrzucana w powietrze, a gdy spadnie na podłogę, istnieje możliwość lądowania z punktem do góry (U) lub z punktem do dołu (D) (innych możliwości nie będziemy rozważać). Przestrzeń próbna dla tego eksperymentu składa się z tych zdarzeń, a następnie E = {U, D}.

Rysunek 3. W eksperymencie rzucania halsem zachodzą dwa zdarzenia o różnym prawdopodobieństwie: lądowanie ostrzem do góry lub w kierunku ziemi. Źródło: Pixabay.

Stosując aksjomaty, mamy:

Jeśli równie prawdopodobne jest, że wyląduje w górę lub w dół, P (U) = P (D) = ½ (Aksjomat 1). Jednak konstrukcja i projekt pinezki może zwiększyć prawdopodobieństwo, że spadnie w ten czy inny sposób. Na przykład może być tak, że P (U) = ¾, podczas gdy P (D) = ¼ (Aksjomat 1).

Zauważ, że w obu przypadkach suma prawdopodobieństw daje 1. Jednak aksjomaty nie wskazują, jak przypisać prawdopodobieństwa, przynajmniej nie do końca. Ale stwierdzają, że są to liczby od 0 do 1 i, tak jak w tym przypadku, suma wszystkich wynosi 1.

Sposoby przypisywania prawdopodobieństwa

Aksjomaty prawdopodobieństwa nie są metodą przypisywania wartości prawdopodobieństwa. W tym celu istnieją trzy opcje, które są zgodne z aksjomatami:

Reguła Laplace'a

Każdemu zdarzeniu przypisuje się takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia, a następnie prawdopodobieństwo wystąpienia określa się jako:

Na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z talii kart francuskich? W talii są 52 karty, po 13 w każdym kolorze i 4 kolory. Każdy kolor ma 1 as, więc w sumie są 4 asy:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Reguła Laplace'a jest ograniczona do skończonych przestrzeni próbek, gdzie każde zdarzenie jest równie prawdopodobne.

Względna częstotliwość

Tutaj eksperyment musi być powtarzalny, ponieważ metoda polega na wykonaniu dużej liczby powtórzeń.

Zróbmy powtórzenia eksperymentu ξ, z którego odkrywamy, że n to liczba wystąpień określonego zdarzenia A, wtedy prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia wynosi:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Gdzie n / i jest względną częstotliwością zdarzenia.

Definiowanie P (A) w ten sposób spełnia aksjomaty Kołmogorowa, ale ma tę wadę, że trzeba wykonać wiele testów, aby prawdopodobieństwo było odpowiednie.

Metoda subiektywna

Osoba lub grupa ludzi może zgodzić się na przypisanie prawdopodobieństwa zdarzenia, kierując się własnym osądem. Wadą tej metody jest to, że różne osoby mogą przypisywać różne prawdopodobieństwa temu samemu zdarzeniu.

Ćwiczenie rozwiązane

W eksperymencie polegającym na jednoczesnym rzucaniu 3 uczciwymi monetami uzyskaj prawdopodobieństwa opisanych wydarzeń:

a) 2 głowy i ogon.

b) 1 głowa i dwa ogony

c) 3 krzyże.

d) Co najmniej 1 twarz.

Rozwiązanie

Głowy są oznaczane przez C, a ogony przez X. Ale jest kilka sposobów na zdobycie dwóch głów i ogona. Na przykład pierwsze dwie monety mogą wylądować orłami, a trzecia może wylądować reszkami. Albo pierwszy może spaść orzeł, drugi ogon, a trzeci orzeł. I wreszcie pierwszym mogą być ogony, a pozostałe głowy.

Aby odpowiedzieć na pytania, należy znać wszystkie możliwości, które opisuje narzędzie zwane diagramem drzewiastym lub drzewem prawdopodobieństwa:

Rysunek 4. Diagram drzewa dla jednoczesnego rzutu trzema uczciwymi monetami. Źródło: F. Zapata.

Prawdopodobieństwo, że jakakolwiek moneta będzie orłem, wynosi ½, to samo dotyczy reszki, ponieważ moneta jest uczciwa. Prawa kolumna zawiera wszystkie możliwości, jakie ma rzut, czyli przestrzeń na próbki.

Z przestrzeni próbki wybierane są kombinacje, które odpowiadają żądanemu zdarzeniu, ponieważ kolejność, w jakiej pojawiają się twarze, nie jest ważna. Istnieją trzy sprzyjające wydarzenia: CCX, CXC i XCC. Prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia wynosi:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

To samo dzieje się w przypadku zdarzeń CXC i XCC, każde z nich ma prawdopodobieństwo wystąpienia 1/8. Dlatego prawdopodobieństwo zdobycia dokładnie 2 orłów jest sumą prawdopodobieństw wszystkich korzystnych wydarzeń:

P (2-stronne) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Rozwiązanie b

Znalezienie prawdopodobieństwa wystąpienia dokładnie dwóch krzyżyków jest problemem analogicznym do poprzedniego, są też trzy korzystne zdarzenia wzięte z przestrzeni próbki: CXX, XCX i XXC. A zatem:

P (2 krzyżyki) = 3/8 = 0,375

Rozwiązanie c

Intuicyjnie wiemy, że prawdopodobieństwo uzyskania 3 reszek (lub 3 orłów) jest mniejsze. W tym przypadku poszukiwanym zdarzeniem jest XXX na końcu prawej kolumny, którego prawdopodobieństwo wynosi:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Rozwiązanie d

Wymagane jest uzyskanie co najmniej 1 twarzy, co oznacza, że ​​mogą wyjść 3 twarze, 2 twarze lub 1 twarz. Jedynym zdarzeniem niezgodnym z tym jest to, w którym wypadają 3 reszki, którego prawdopodobieństwo wynosi 0,125. Dlatego poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi:

P (co najmniej 1 głowa) = 1 - 0,125 = 0,875.

Bibliografia

1. Canavos, G. 1988. Prawdopodobieństwo i statystyka: zastosowania i metody. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauki. 8th. Wydanie. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Seria Schauma: Prawdopodobieństwo. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teoria prawdopodobieństwa. Redakcja Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauk. Osoba.