ODLEGŁOŚĆ EUKLIDESOWA: KONCEPCJA, WZÓR, OBLICZENIA, PRZYKŁAD - MATEMATYKA

Odległość euklidesowa jest liczbą dodatnią, która wskazuje odległość pomiędzy dwoma punktami w przestrzeni, jeżeli spełnione są aksjomaty i twierdzenia geometrii Euklidesa.

Odległość między dwoma punktami A i B w przestrzeni euklidesowej to długość wektora AB należącego do jedynej prostej, która przechodzi przez te punkty.

Ryc.1. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa utworzona przez linię (OX). Na tej przestrzeni pokazano kilka punktów, ich współrzędne i odległości. (Przygotowane przez Ricardo Péreza).

Przestrzeń, którą dostrzegają ludzie i w której się poruszamy, jest przestrzenią trójwymiarową (3-D), w której spełnione są aksjomaty i twierdzenia geometrii Euklidesa. Przestrzeń ta zawiera podprzestrzenie dwuwymiarowe (płaszczyzny) i podprzestrzenie jednowymiarowe (linie).

Przestrzenie euklidesowe mogą być jednowymiarowe (1-D), dwuwymiarowe (2-D), trójwymiarowe (3-D) lub n-wymiarowe (nD).

Punkty w jednowymiarowej przestrzeni X to te, które należą do zorientowanej linii (OX), kierunek od O do X jest kierunkiem dodatnim. Do lokalizacji punktów na tej linii stosuje się układ kartezjański, polegający na przypisaniu liczby do każdego punktu prostej.

Formuła

Odległość euklidesowa d (A, B) między punktami A i B, położonymi na linii, jest zdefiniowana jako pierwiastek kwadratowy z różnic w ich współrzędnych X:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Ta definicja gwarantuje, że: odległość między dwoma punktami jest zawsze wartością dodatnią. I że odległość między A i B jest równa odległości między B i A.

Rysunek 1 przedstawia jednowymiarową przestrzeń euklidesową utworzoną przez linię (OX) i kilka punktów na tej linii. Każdy punkt ma współrzędne:

Punkt A ma współrzędną XA = 2,5, współrzędną punktu B XB = 4 i współrzędną punktu C XC = -2,5

d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5

d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5

d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0

Odległość euklidesowa w dwóch wymiarach

Dwuwymiarowa przestrzeń euklidesowa to płaszczyzna. Punkty płaszczyzny euklidesowej spełniają aksjomaty geometrii euklidesowej, na przykład:

- Pojedyncza linia przechodzi przez dwa punkty.

- Trzy punkty na płaszczyźnie tworzą trójkąt, którego wewnętrzne kąty zawsze sumują się do 180º.

- W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów jej nóg.

W dwóch wymiarach punkt ma współrzędne X i Y.

Na przykład punkt P ma współrzędne (XP, YP) i punkt Q (XQ, YQ).

Odległość euklidesową między punktami P i Q określa się za pomocą następującego wzoru:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Należy zauważyć, że ten wzór jest równoważny z twierdzeniem Pitagorasa, jak pokazano na rysunku 2.

Rysunek 2. Odległość między dwoma punktami P i Q na płaszczyźnie spełnia twierdzenie Pitagorasa. (Przygotowane przez Ricardo Péreza).

Powierzchnie nieeuklidesowe

Nie wszystkie dwuwymiarowe przestrzenie są zgodne z geometrią euklidesową. Powierzchnia kuli to dwuwymiarowa przestrzeń.

Kąty trójkąta na powierzchni kulistej nie sumują się do 180º, a zatem twierdzenie Pitagorasa nie jest spełnione, a zatem powierzchnia sferyczna nie spełnia aksjomatów Euklidesa.

Odległość euklidesowa w n wymiarach

Pojęcie współrzędnych można rozszerzyć na większe wymiary:

- W punkcie 2-D P ma współrzędne (XP, YP)

- W 3-D punkt Q ma współrzędne (XQ, YQ, ZQ)

- W 4-D punkt R będzie miał współrzędne (XR, YR, ZR, WR)

- W nD punkt P będzie miał współrzędne (P1, P2, P3,… .., Pn)

Odległość między dwoma punktami P i Q n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej oblicza się za pomocą następującego wzoru:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)

Lokus wszystkich punktów Q w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej w równej odległości od innego stałego punktu P (centrum) tworzy n-wymiarową hipersferę.

Jak obliczyć odległość euklidesową

Poniżej pokazano, jak obliczana jest odległość między dwoma punktami znajdującymi się w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Załóżmy, że punkt A o współrzędnych kartezjańskich x, y, z podanych przez A :( 2, 3, 1) i punkt B o współrzędnych B :( -3, 2, 2).

Chcemy wyznaczyć odległość między tymi punktami, dla której wykorzystuje się ogólną zależność:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196

Przykład

Istnieją dwa punkty P i Q. Punkt P o współrzędnych kartezjańskich x, y, z określony przez P :( 2, 3, 1) i punkt Q o współrzędnych Q :( -3, 2, 1).

Należy znaleźć współrzędne punktu środkowego M odcinka łączącego te dwa punkty.

Zakłada się, że nieznany punkt M ma współrzędne (X, Y, Z).

Ponieważ M jest środkiem, musi być prawdą, że d (P, M) = d (Q, M), więc d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 również musi być prawdziwe:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Ponieważ w tym przypadku trzeci człon jest równy w obu członach, poprzednie wyrażenie upraszcza się do:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

Następnie mamy równanie z dwiema niewiadomymi X i Y. Do rozwiązania problemu potrzebne jest inne równanie.

Punkt M należy do prostej przechodzącej przez punkty P i Q, którą możemy obliczyć w następujący sposób:

Najpierw musimy znaleźć dyrektor wektora PQ linii: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Wtedy PM = OP + a PQ , gdzie OP jest wektorem położenia punktu P i jest parametrem należącym do liczb rzeczywistych.

Powyższe równanie nazywane jest równaniem wektorowym prostej, która we współrzędnych kartezjańskich przyjmuje postać:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

Porównując odpowiednie komponenty, które mamy:

X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

To znaczy X = 4 - 5a, Y = 6 - a, ostatecznie Z = 1.

Jest podstawiany w wyrażeniu kwadratowym, które odnosi X do Y:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

Jest to uproszczone:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Teraz się rozwija:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

Jest uproszczony, anulując podobne warunki w obu członkach:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

Parametr a jest wyczyszczony:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, co daje a = 1.

To znaczy X = 4 - 5, Y = 6 - 1, ostatecznie Z = 1.

Na koniec otrzymujemy współrzędne kartezjańskie punktu środkowego M odcinka:

M: (-1, 5, 1).

Bibliografia

Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
Superprof. Odległość między dwoma punktami. Odzyskany z: superprof.es
UNAM. Odległość między afinicznymi rozmaitościami podliniowymi. Odzyskany z: prometeo.matem.unam.mx/
wikipedia. Odległość euklidesowa. Odzyskany z: es.wikipedia.com
wikipedia. Przestrzeń euklidesowa. Odzyskany z: es.wikipedia.com

ODLEGŁOŚĆ EUKLIDESOWA: KONCEPCJA, WZÓR, OBLICZENIA, PRZYKŁAD - MATEMATYKA - 2025