LOSOWY EKSPERYMENT: KONCEPCJA, PRZESTRZEŃ PRÓBNA, PRZYKŁADY - DUDAS - 2025

O losowym eksperymencie mówimy, gdy wynik każdej konkretnej próby jest nieprzewidywalny, mimo że można ustalić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego wyniku.

Należy jednak wyjaśnić, że nie jest możliwe odtworzenie tego samego wyniku układu losowego o tych samych parametrach i warunkach początkowych w każdej próbie eksperymentu.

Rysunek 1. Rzut kostką jest losowym eksperymentem. Źródło: Pixabay.

Dobrym przykładem losowego eksperymentu jest rzut kostką. Nawet jeśli postaramy się rzucić kostką w ten sam sposób, każda próba przyniesie nieprzewidywalny wynik. Właściwie jedyne, co można powiedzieć, to to, że wynik może być jednym z następujących: 1, 2, 3, 4, 5 lub 6.

Rzucenie monetą to kolejny przykład losowego eksperymentu z tylko dwoma możliwymi wynikami: orłem lub reszką. Chociaż moneta jest rzucana z tej samej wysokości iw ten sam sposób, czynnik szansy będzie zawsze obecny, powodując niepewność przy każdej nowej próbie.

Przeciwieństwem losowego eksperymentu jest eksperyment deterministyczny. Na przykład wiadomo, że za każdym razem, gdy gotuje się wodę na poziomie morza, temperatura wrzenia wynosi 100ºC. Ale nigdy się nie zdarza, że ​​przy tych samych warunkach czasem uzyskuje się wynik 90 ºC, inny 12 0 ºC, a czasem 100 ºC.

Przykładowa przestrzeń

Zbiór wszystkich możliwych wyników losowego eksperymentu nazywany jest przestrzenią prób. W losowym eksperymencie polegającym na rzucie kostką, obszar próbki wynosi:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Z drugiej strony, w rzucie monetą miejsce na próbkę wynosi:

M = {orzeł, reszka}.

Wydarzenie lub zdarzenie

W losowym eksperymencie zdarzenie to wystąpienie określonego wyniku lub jego brak. Na przykład w przypadku rzutu monetą zdarzeniem lub zdarzeniem jest wypadnięcie orła.

Innym zdarzeniem w losowym eksperymencie może być: wypadnięcie na kości liczby mniejszej lub równej trzy.

W przypadku wystąpienia zdarzenia zbiór możliwych wyników jest zbiorem:

E = {1, 2, 3}

To z kolei podzbiór przestrzeni próbkowania lub zbioru:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Przykłady

Poniżej znajduje się kilka przykładów, które ilustrują powyższe:

Przykład 1

Przypuśćmy, że wrzucane są dwie monety jedna po drugiej. Pyta:

a) Wskaż, czy jest to eksperyment losowy, czy wręcz przeciwnie, eksperyment deterministyczny.

b) Jaka jest przestrzeń próbna S w tym eksperymencie?

c) Wskaż zbiór zdarzenia A, odpowiadający wynikowi eksperymentu w postaci orła i reszki.

d) Oblicz prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

e) Na koniec znajdź prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B: w wyniku nie pojawiają się orły.

Rozwiązanie

Woreczek zawiera 10 białych i 10 czarnych kulek. Trzy kulki po kolei są wyciągane z woreczka losowo i bez zaglądania do środka.

a) Określić przestrzeń próbki dla tego losowego eksperymentu.

b) Określ zbiór wyników odpowiadający zdarzeniu A, polegający na posiadaniu po eksperymencie dwóch czarnych kulek.

c) Event B to zdobycie co najmniej dwóch czarnych kulek, ustalenie zestawu B wyników dla tej konkurencji.

d) Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A?

e) Znajdź prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B.

f) Określ prawdopodobieństwo, że wynik losowego eksperymentu jest taki, że masz co najmniej jedną czarną kulkę. To wydarzenie będzie się nazywać C.

Rysunek 2. Czarno-białe kulki do losowych eksperymentów. Źródło: Needpix.

Rozwiązanie

Aby skonstruować przestrzeń próbną, warto sporządzić diagram drzewa, taki jak na rysunku 3:

Rysunek 3. Przykład drzewa diagramu 2. Przygotowane przez Fanny Zapata.

Zbiór Ω możliwych wyników ekstrakcji trzech kulek z worka z taką samą liczbą czarnych i białych kulek jest dokładnie przestrzenią próbną tego losowego eksperymentu.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

Rozwiązanie b

Zbiór możliwych wyników odpowiadających zdarzeniu A, na który składają się dwie czarne kulki, to:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Rozwiązanie c

Zdarzenie B jest zdefiniowane jako: „posiadanie co najmniej dwóch czarnych kulek po losowaniu trzech z nich”. Zestaw możliwych wyników zdarzenia B to:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Rozwiązanie d

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest ilorazem liczby możliwych wyników tego zdarzenia, a całkowitą liczbą możliwych wyników, czyli liczbą elementów w przestrzeni próbki.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Więc istnieje 37,5% prawdopodobieństwo posiadania dwóch czarnych kulek po losowym wyciągnięciu trzech kulek z torby. Należy jednak pamiętać, że w żaden sposób nie możemy przewidzieć dokładnego wyniku eksperymentu.

Rozwiązanie e

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia B polegającego na uzyskaniu przynajmniej jednej czarnej kulki wynosi:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Oznacza to, że możliwość wystąpienia zdarzenia B jest równa prawdopodobieństwu, że nie wystąpi.

Rozwiązanie f

Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej czarnej kulki po wylosowaniu trzech z nich jest równe 1 minus prawdopodobieństwo, że wynikiem będą „trzy białe kulki”.

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Teraz możemy sprawdzić ten wynik, zauważając, że liczba możliwości wystąpienia zdarzenia C jest równa liczbie elementów możliwych wyników dla zdarzenia C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Bibliografia

1. CanalPhi. Losowy eksperyment. Odzyskany z: youtube.com.
2. MateMovil. Losowy eksperyment. Odzyskany z: youtube.com
3. Pishro Nick H. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa. Odzyskany z: probabilitycourse.com
4. Ross. Prawdopodobieństwo i statystyki dla inżynierów. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Eksperyment (teoria prawdopodobieństwa). Odzyskany z: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Zdarzenie deterministyczne. Odzyskane z: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Losowy eksperyment. Odzyskany z: es.wikipedia.com