SZEŚCIOKĄT: WŁAŚCIWOŚCI, PRZEKĄTNE, OBWÓD, POLE - MATEMATYKA

Siedemnastokąt foremny to wielokąt foremny z 17 stron i 17 wierzchołków. Jego budowę można wykonać w stylu euklidesowym, czyli używając tylko linijki i kompasu. Dopiero wielki geniusz matematyczny Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ledwie 18-letni, znalazł procedurę jej budowy w 1796 roku.

Najwyraźniej Gauss zawsze był bardzo skłonny do tej figury geometrycznej, do tego stopnia, że od dnia, w którym odkrył jej konstrukcję, postanowił zostać matematykiem. Mówi się również, że chciał, aby siedmiokąt został wyryty na jego nagrobku.

Rysunek 1. Siedmiokąt jest regularnym wielokątem o 17 bokach i 17 wierzchołkach. Źródło: F. Zapata.

Gauss znalazł również wzór pozwalający określić, które wielokąty regularne można konstruować za pomocą linijki i kompasu, ponieważ niektóre nie mają dokładnej konstrukcji euklidesowej.

Charakterystyka siedmiokąta

Jeśli chodzi o jego cechy, jak każdy wielokąt, ważna jest suma jego wewnętrznych kątów. W regularnym wielokącie o n bokach suma jest dana wzorem:

Suma ta, wyrażona w radianach, wygląda następująco:

Z powyższych wzorów można łatwo wywnioskować, że każdy kąt wewnętrzny siedmiokąta ma dokładną miarę α określoną wzorem:

Wynika z tego, że kąt wewnętrzny z grubsza wynosi:

Przekątne i obwód

Inne ważne aspekty to przekątne i obwód. W każdym wielokącie liczba przekątnych wynosi:

D = n (n - 3) / 2, aw przypadku siedmiokąta, jako n = 17, mamy wtedy D = 119 przekątnych.

Z drugiej strony, jeśli znana jest długość każdego boku siedmiokąta, wówczas obwód regularnego siedmiokąta można znaleźć po prostu dodając 17 razy tę długość, lub co odpowiada 17 razy długości d każdego boku:

P = 17 d

Obwód siedmiokąta

Czasami znany jest tylko promień r siedmiokąta, dlatego konieczne jest opracowanie wzoru dla tego przypadku.

W tym celu wprowadza się pojęcie apotemu. Apothem to odcinek, który biegnie od środka regularnego wielokąta do środka jednej strony. Apothem względem jednego boku jest prostopadły do tego boku (patrz rysunek 2).

Rysunek 2. Pokazane są części regularnego wielokąta o promieniu r i jego apotemie. (Opracowanie własne)

Ponadto apotema jest dwusieczną kąta ze środkowym wierzchołkiem i bokami na dwóch kolejnych wierzchołkach wielokąta, co pozwala nam znaleźć związek między promieniem r a bokiem d.

Jeśli kąt środkowy DOE jest oznaczony β i biorąc pod uwagę, że apotem OJ jest dwusieczną, otrzymujemy EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), z którego mamy zależność, aby znaleźć długość d boku wielokąta znany jego promień r i kąt środkowy β:

d = 2 r Sen (β / 2)

W przypadku siedmiokąta β = 360º / 17 mamy:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Ostatecznie otrzymujemy wzór na obwód siedmiokąta, znany jego promień:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Obwód siedmiokąta jest zbliżony do obwodu obwodu, który go otacza, ale jego wartość jest mniejsza, to znaczy obwód opisanego koła wynosi Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Powierzchnia

Aby określić pole siedmiokąta, odwołamy się do rysunku 2, na którym pokazano boki i apothem regularnego wielokąta o n bokach. Na tym rysunku trójkąt EOD ma powierzchnię równą podstawie d (bok wielokąta) pomnożonej przez wysokość a (apothem wielokąta) podzieloną przez 2:

Obszar EOD = (dxa) / 2

Znając więc apotem a siedmiokąta i bok d tego samego, jego pole to:

Powierzchnia sześciokąta = (17/2) (dxa)

Obszar z boku

Aby otrzymać wzór na pole powierzchni siedmiokąta znając długość jego siedemnastu boków, konieczne jest uzyskanie zależności między długością apotemu a i boku d.

W odniesieniu do rysunku 2 otrzymujemy następującą zależność trygonometryczną:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, gdzie β jest środkowym kątem DOE. Zatem apothem a można obliczyć, jeśli znana jest długość d boku wielokąta i kąt środkowy β:

a = (d / 2) Kotan (β / 2)

Jeśli to wyrażenie zostanie teraz zastąpione apotemem, we wzorze na pole siedmiokąta otrzymanym w poprzednim rozdziale otrzymamy:

Powierzchnia sześciokąta = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Będąc β = 360º / 17 dla siedmiokąta, więc w końcu mamy pożądany wzór:

Powierzchnia sześciokąta = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Obszar o promieniu

W poprzednich sekcjach znaleziono zależność między stroną d regularnego wielokąta a jego promieniem r, przy czym zależność ta jest następująca:

d = 2 r Sen (β / 2)

To wyrażenie dla d wstawia się do wyrażenia otrzymanego w poprzedniej sekcji dla obszaru. Jeśli dokonamy odpowiednich podstawień i uproszczeń, otrzymamy wzór pozwalający na obliczenie powierzchni siedmiokąta:

Powierzchnia sześciokąta = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Przybliżone wyrażenie obszaru to:

Powierzchnia sześciokąta = 3,0706 (r ² )

Zgodnie z oczekiwaniami obszar ten jest nieco mniejszy niż obszar koła opisującego siedmiokąta A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Mówiąc dokładniej, jest to o 2% mniejsze niż jego opisanego koła.

Przykłady

Przykład 1

Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy pamiętać o relacji między bokiem a promieniem regularnego wielokąta n-stronnego:

d = 2 r Sen (180º / n)

Dla siedmiokąta n = 17, tak że d = 0,3675 r, czyli promień siedmiokąta wynosi r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm lub

Średnica 10,8844 cm.

Obwód 2-centymetrowego siedmiokąta bocznego wynosi P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Przykład 2

Musimy odwołać się do wzoru przedstawionego w poprzedniej sekcji, który pozwala nam znaleźć pole siedmiokąta, gdy ma on długość d boku:

Powierzchnia sześciokąta = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Podstawiając d = 2 cm w poprzednim wzorze otrzymujemy:

Powierzchnia = 90,94 cm

Bibliografia

CEA (2003). Elementy geometrii: z ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematyka 2. Grupo Od redakcji Patria.
Uwolniony, K. (2007). Odkryj wielokąty. Firma edukacyjna Benchmark.
Hendrik, V. (2013). Uogólnione wielokąty. Birkhäuser.
IGER. (sf). Matematyka w pierwszym semestrze Tacaná. IGER.
Jr. geometria. (2014). Wielokąty. Lulu Press, Inc.
Miller, Heeren i Hornsby. (2006). Matematyka: rozumowanie i zastosowania (wydanie dziesiąte). Edukacja Pearson.
Patiño, M. (2006). Matematyka 5. Od redakcji Progreso.
Sada, M. 17-stronny wielokąt regularny z linijką i kompasem. Odzyskane z: geogebra.org
Wikipedia. Sześciokąt. Odzyskany z: es.wikipedia.com

SZEŚCIOKĄT: WŁAŚCIWOŚCI, PRZEKĄTNE, OBWÓD, POLE - MATEMATYKA - 2025