PUNKTY WSPÓŁPŁASZCZYZNOWE: RÓWNANIE, PRZYKŁAD I ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Wszystkie punkty współpłaszczyznowe należą do tej samej płaszczyzny. Dwa punkty są zawsze współpłaszczyznowe, ponieważ te punkty definiują linię, przez którą przechodzą nieskończone płaszczyzny. Wówczas oba punkty należą do każdej z płaszczyzn przechodzących przez linię i dlatego zawsze będą współpłaszczyznowe.

Z drugiej strony trzy punkty definiują jedną płaszczyznę, z której wynika, że ​​trzy punkty zawsze będą współpłaszczyznowe względem wyznaczonej przez nie płaszczyzny.

Rysunek 1. A, B, C i D są współpłaszczyznowe do płaszczyzny (Ω). E, F i G nie są współpłaszczyznowe do (Ω), ale są współpłaszczyznowe z płaszczyzną, którą definiują. Źródło: F. Zapata.

Więcej niż trzy punkty mogą być współpłaszczyznowe lub nie. Na przykład na rysunku 1 punkty A, B, C i D są współpłaszczyznowe do płaszczyzny (Ω). Ale E, F i G nie są współpłaszczyznowe do (Ω), chociaż są współpłaszczyznowe z płaszczyzną, którą definiują.

Równanie płaszczyzny z trzema punktami

Równanie płaszczyzny wyznaczonej przez trzy znane punkty A, B, C jest relacją matematyczną, która gwarantuje, że każdy punkt P o współrzędnych ogólnych (x, y, z), który spełnia to równanie, należy do tej płaszczyzny.

Poprzednie stwierdzenie jest równoważne stwierdzeniu, że jeśli P o współrzędnych (x, y, z) spełnia równanie płaszczyzny, to wspomniany punkt będzie współpłaszczyznowy z trzema punktami A, B, C, które wyznaczyły płaszczyznę.

Aby znaleźć równanie tej płaszczyzny, zacznijmy od znalezienia wektorów AB i AC :

AB =

AC =

Iloczyn wektorowy AB X AC daje wektor prostopadły lub normalny do płaszczyzny określonej przez punkty A, B, C.

Dowolny punkt P o współrzędnych (x, y, z) należy do płaszczyzny, jeśli wektor AP jest prostopadły do ​​wektora AB X AC , co jest gwarantowane, jeśli:

AP • (AB X AC) = 0

Jest to równoważne stwierdzeniu, że potrójny iloczyn AP , AB i AC wynosi zero. Powyższe równanie można zapisać w postaci macierzowej:

Przykład

Niech punkty A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) i D (a, 0, 1). Jaką wartość musi mieć, aby cztery punkty były współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie

Aby znaleźć wartość a, punkt D musi być częścią płaszczyzny określonej przez A, B i C, co jest gwarantowane, jeśli spełnia równanie płaszczyzny.

Rozwijając wyznacznik mamy:

Poprzednie równanie mówi nam, że a = -1, aby równość została spełniona. Innymi słowy, jedynym sposobem, w jaki punkt D (a, 0,1) jest współpłaszczyznowy z punktami A, B i C, jest to, że a jest równe -1. W przeciwnym razie nie będzie współpłaszczyznowy.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Płaszczyzna przecina kartezjańskie osie X, Y, Z odpowiednio na 1, 2 i 3. Punkt przecięcia tej płaszczyzny z osiami wyznacza punkty A, B i C. Znajdź składową Dz punktu D, którego składowe kartezjańskie są:

Pod warunkiem, że D leży w jednej płaszczyźnie z punktami A, B i C.

Rozwiązanie

Gdy punkty przecięcia płaszczyzny z osiami kartezjańskimi są znane, można zastosować odcinkową postać równania płaszczyzny:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Ponieważ punkt D musi należeć do poprzedniej płaszczyzny, musi:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

To jest do powiedzenia:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Z powyższego wynika, że ​​punkt D (3, -2, -3) jest współpłaszczyznowy z punktami A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) i C (0, 0, 3).

- Ćwiczenie 2

Określić, czy punkty A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) i D (2, 3, 1) są współpłaszczyznowe.

Rozwiązanie

Tworzymy macierz, której wiersze są współrzędnymi DA, BA i CA. Następnie obliczany jest wyznacznik i sprawdzane, czy wynosi zero.

Po wykonaniu wszystkich obliczeń stwierdza się, że są one współpłaszczyznowe.

- Ćwiczenie 3

W przestrzeni są dwie linie. Jedną z nich jest prosta (R), której równanie parametryczne to:

A druga to prosta (S), której równanie to:

Pokaż, że (R) i (S) są liniami współpłaszczyznowymi, to znaczy leżą w tej samej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Zacznijmy od arbitralnego wzięcia dwóch punktów na prostej (R) i dwóch na linii (S):

Linia (R): λ = 0; A (1, 1, 1) i X = 1; B (3, 0, 1)

Niech x = 0 na prostej (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Z drugiej strony, jeśli zrobimy y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Oznacza to, że wzięliśmy punkty A i B, które należą do prostej (R), oraz punkty C i D, które należą do linii (S). Jeśli te punkty są współpłaszczyznowe, wtedy te dwie linie też będą.

Teraz wybieramy punkt A jako oś obrotu, a następnie znajdujemy współrzędne wektorów AB , AC i AD. W ten sposób otrzymujesz:

B - A: (3-1, 0-1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2-1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0-1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Następnym krokiem jest skonstruowanie i obliczenie wyznacznika, którego pierwszy wiersz to współczynniki wektora AB , drugi wiersz to współczynniki AC, a trzeci wiersz wektora AD :

Ponieważ wyznacznik okazuje się być zerowy, możemy wywnioskować, że cztery punkty są współpłaszczyznowe. Dodatkowo można stwierdzić, że linie (R) i (S) są również współpłaszczyznowe.

- Ćwiczenie 4

Proste (R) i (S) są współpłaszczyznowe, jak pokazano w ćwiczeniu 3. Znajdź równanie płaszczyzny, która je zawiera.

Rozwiązanie

Punkty A, B, C całkowicie definiują tę płaszczyznę, ale chcemy narzucić, że każdy punkt X o współrzędnych (x, y, z) należy do niej.

Aby X należał do płaszczyzny określonej przez A, B, C iw której znajdują się proste (R) i (S), konieczne jest, aby wyznacznik utworzony w pierwszym rzędzie przez składowe AX , w drugim rzędzie przez te z AB, aw trzecim przez te z AC :

Idąc za tym wynikiem, grupujemy w ten sposób:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

I od razu widać, że można to przepisać w ten sposób:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Dlatego x + 2y - z = 2 jest równaniem płaszczyzny zawierającej proste (R) i (S).

Bibliografia

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Algebra liniowa. Edukacja Pearson.
3. Leal, JM 2005. Płaska geometria analityczna. Mérida - Wenezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Wektory. Odzyskane z: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Wstępne obliczenia. Edukacja Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Podstawowe pojęcia geometrii. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Edukacja Pearson.