CO TO SĄ WEKTORY WSPÓŁPŁASZCZYZNOWE? (Z ROZWIĄZANYMI ĆWICZENIAMI) - FIZYCZNY - 2025

Te wektory współpłaszczyznowych lub współpłaszczyznowe są te, które znajdują się na tej samej płaszczyźnie. Gdy są tylko dwa wektory, są one zawsze współpłaszczyznowe, ponieważ istnieją nieskończone płaszczyzny, zawsze można wybrać taki, który je zawiera.

Jeśli masz trzy lub więcej wektorów, może się zdarzyć, że niektóre z nich nie znajdują się na tej samej płaszczyźnie co inne, dlatego nie można ich uznać za współpłaszczyznowe. Poniższy rysunek przedstawia zestaw wektorów współpłaszczyznowych oznaczonych pogrubioną czcionką A , B , C i D :

Rysunek 1. Cztery wektory współpłaszczyznowe. Źródło: wykonane samodzielnie.

Wektory są związane z zachowaniem i właściwościami wielkości fizycznych istotnych dla nauki i inżynierii; na przykład prędkość, przyspieszenie i siłę.

Siła wywiera różne skutki na obiekt, gdy zmienia się sposób jej przyłożenia, na przykład poprzez zmianę intensywności, kierunku i kierunku. Nawet zmiana tylko jednego z tych parametrów powoduje znaczne różnice.

W wielu zastosowaniach, zarówno w statyce, jak i dynamice, siły działające na ciało są na tej samej płaszczyźnie, dlatego uważa się je za współpłaszczyznowe.

Warunki współpłaszczyznowych wektorów

Aby trzy wektory były współpłaszczyznowe, muszą leżeć na tej samej płaszczyźnie, a dzieje się tak, jeśli spełniają którykolwiek z następujących warunków:

-Wektory są równoległe, dlatego ich składowe są proporcjonalne i zależne liniowo.

- Twój produkt mieszany jest zerowy.

-Jeśli masz trzy wektory, a każdy z nich może być zapisany jako liniowa kombinacja dwóch pozostałych, wektory te są współpłaszczyznowe. Na przykład wektor będący wynikiem sumy dwóch innych, wszystkie trzy znajdują się na tej samej płaszczyźnie.

Alternatywnie warunek współpłaszczyznowości można ustawić w następujący sposób:

Produkt mieszany między trzema wektorami

Iloczyn mieszany między wektorami jest definiowany za pomocą trzech wektorów u , v i w, dając w wyniku skalar, który jest wynikiem wykonania następującej operacji:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Najpierw wykonywany jest iloczyn poprzeczny w nawiasach: v x w , którego wynikiem jest wektor normalny (prostopadły) do płaszczyzny, w której leżą zarówno v, jak i w .

Jeśli u jest na tej samej płaszczyźnie co v i w , naturalnie iloczyn skalarny (iloczyn skalarny) między u a wspomnianym wektorem normalnym musi wynosić 0. W ten sposób sprawdza się, czy trzy wektory są współpłaszczyznowe (leżą na tej samej płaszczyźnie).

Gdy produkt mieszany nie jest zerowy, jego wynik jest równy objętości równoległościanu, który ma wektory u , v i w jako sąsiednie boki.

Aplikacje

Siły współpłaszczyznowe, współbieżne i niewspółliniowe

Współbieżne siły są przyłożone do tego samego punktu. Jeśli są one również współpłaszczyznowe, można je zastąpić pojedynczą, która nazywa się siłą wypadkową i ma taki sam efekt jak siły pierwotne.

Jeśli ciało jest w równowadze dzięki trzem współpłaszczyznowym, współbieżnym i nie-współliniowym (nie równoległym) siłom, zwanym A , B i C, twierdzenie Lamy'ego wskazuje, że związek między tymi siłami (wielkościami) jest następujący:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Z α, β i γ jako przeciwnymi kątami do przyłożonych sił, jak pokazano na poniższym rysunku:

Rysunek 2. Na obiekt działają trzy współpłaszczyznowe siły A, B i C. Źródło: Kiwakwok w angielskiej Wikipedii

Rozwiązane ćwiczenia

-Ćwiczenie 1

Znajdź wartość k tak, aby następujące wektory były współpłaszczyznowe:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Rozwiązanie

Ponieważ mamy składowe wektorów, stosuje się kryterium produktu mieszanego, dlatego:

u ( v x w ) = 0

Najpierw rozwiąż v x w. Wektory zostaną wyrażone w postaci wektorów jednostkowych i , j oraz k, które rozróżniają trzy prostopadłe kierunki w przestrzeni (szerokość, wysokość i głębokość):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Teraz rozważymy iloczyn skalarny między u a wektorem, który powstał w wyniku poprzedniej operacji, ustawiając operację równą 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Szukana wartość to: k = - 6

Więc wektor u to:

u = <-3, -6, 2>

-Ćwiczenie 2

Rysunek przedstawia obiekt o masie W = 600 N, zawieszony w równowadze dzięki linom ułożonym pod kątami pokazanymi na rysunku 3. Czy w takiej sytuacji można zastosować twierdzenie Lamy'ego? W każdym razie znajdź wielkości T ₁ , T ₂ i T _3, które umożliwiają osiągnięcie równowagi.

Rysunek 3. Ciężarek wisi w równowadze pod działaniem trzech przedstawionych naprężeń. Źródło: wykonane samodzielnie.

Rozwiązanie

Twierdzenie Lamy'ego ma zastosowanie w tej sytuacji, jeśli rozważany jest węzeł, do którego przyłożone są trzy naprężenia, ponieważ stanowią one układ sił współpłaszczyznowych. Najpierw sporządza się wykres swobodnego ciała dla wiszącego ciężaru, aby określić wielkość T _3:

Rysunek 4. Schemat swobodnego ciała dla zawieszonego ciężaru. Źródło: wykonane samodzielnie.

Z warunku równowagi wynika, że:

Kąty między siłami zaznaczono na czerwono na poniższym rysunku, można łatwo sprawdzić, czy ich suma wynosi 360º. Teraz można zastosować twierdzenie Lamy'ego, ponieważ znana jest jedna z sił i trzy kąty między nimi:

Rysunek 5. - Na czerwono kąty, aby zastosować twierdzenie Lamy'ego. Źródło: wykonane samodzielnie.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Dlatego: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Ponownie twierdzenie Lamy'ego jest stosowane do rozwiązania dla T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Bibliografia

1. Figueroa, D. Series: Physics for Science and Engineering. Tom 1. Kinematyka. 31-68.
2. Fizyczny. Moduł 8: Wektory. Odzyskany z: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statyczny 6th Edition. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanika dla inżynierów: statyka i dynamika. Wydanie trzecie. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Wektor. Odzyskane z: es.wikipedia.org.