- Wektory współpłaszczyznowe i równanie płaszczyzny
- Kartezjańskie równanie płaszczyzny
- Warunki dla trzech wektorów nie współpłaszczyznowych
- Warunek braku współpłaszczyznowości
- Alternatywny warunek braku współpłaszczyznowości
- Rozwiązane ćwiczenia
- -Ćwiczenie 1
- Rozwiązanie
- -Ćwiczenie 2
- Rozwiązanie
- Bibliografia
The non - wektory współpłaszczyznowe są te, które nie podzielają tej samej płaszczyźnie. Dwa wektory swobodne i punkt definiują jedną płaszczyznę. Trzeci wektor może, ale nie musi, dzielić tę płaszczyznę, a jeśli tak nie jest, są wektorami niepłaszczyznowymi.
Wektory inne niż współpłaszczyznowe nie mogą być reprezentowane w dwuwymiarowych przestrzeniach, takich jak tablica lub kartka papieru, ponieważ niektóre z nich są zawarte w trzecim wymiarze. Aby odpowiednio je przedstawić, musisz użyć perspektywy.
Rysunek 1. Wektory współpłaszczyznowe i niepłaszczyznowe. (Opracowanie własne)
Jeśli spojrzymy na rysunek 1, wszystkie pokazane obiekty znajdują się ściśle w płaszczyźnie ekranu, jednak dzięki perspektywie nasz mózg jest w stanie wyobrazić sobie płaszczyznę (P), która z niego wychodzi.
Na tej płaszczyźnie (P) są wektory r , s , u , podczas gdy wektory v i w nie są na tej płaszczyźnie.
Dlatego wektory r , s , u są współpłaszczyznowe lub współpłaszczyznowe względem siebie, ponieważ dzielą tę samą płaszczyznę (P). Wektory v i w nie dzielą płaszczyzny z żadnym z innych pokazanych wektorów, dlatego nie są współpłaszczyznowe.
Wektory współpłaszczyznowe i równanie płaszczyzny
Płaszczyzna jest jednoznacznie zdefiniowana, jeśli istnieją trzy punkty w przestrzeni trójwymiarowej.
Załóżmy, że te trzy punkty to punkt A, punkt B i punkt C, które definiują płaszczyznę (P). Za pomocą tych punktów można skonstruować dwa wektory AB = u i AC = v, które są konstrukcyjnie współpłaszczyznowe z płaszczyzną (P).
Iloczyn wektorowy (lub iloczynu) tych dwóch wektorów daje w wyniku trzeci wektor prostopadły (lub normalny) do nich, a zatem prostopadły do płaszczyzny (P):
n = u X v => n ⊥ u oraz n ⊥ v => n ⊥ (P)
Każdy inny punkt należący do płaszczyzny (P) musi spełniać warunek, że wektor AQ jest prostopadły do wektora n ; Odpowiada to stwierdzeniu, że iloczyn skalarny (lub iloczyn skalarny) n z AQ musi wynosić zero:
n • AQ = 0 (*)
Poprzedni warunek jest równoznaczny z powiedzeniem, że:
AQ • ( u X v ) = 0
To równanie zapewnia, że punkt Q należy do płaszczyzny (P).
Kartezjańskie równanie płaszczyzny
Powyższe równanie można zapisać w postaci kartezjańskiej. Aby to zrobić, zapisujemy współrzędne punktów A, Q i składowe wektora normalnego n :
Tak więc składniki AQ to:
Warunkiem zawarcia wektora AQ w płaszczyźnie (P) jest warunek (*), który teraz zapisujemy następująco:
Obliczenie iloczynu skalarnego pozostaje:
Jeśli zostanie opracowany i uporządkowany, pozostaje:
Poprzednie wyrażenie to kartezjańskie równanie płaszczyzny (P), jako funkcja składowych wektora normalnego do (P) i współrzędnych punktu A, który należy do (P).
Warunki dla trzech wektorów nie współpłaszczyznowych
Jak widać w poprzedniej sekcji, warunek AQ • ( u X v ) = 0 gwarantuje, że wektor AQ jest współpłaszczyznowy do u i v .
Jeśli nazwiemy wektor AQ w , możemy stwierdzić, że:
w , u i v są współpłaszczyznowe, wtedy i tylko wtedy, gdy w • ( u X v ) = 0.
Warunek braku współpłaszczyznowości
Jeśli produkt potrójny (lub produkt mieszany) trzech wektorów jest różny od zera, to te trzy wektory nie są współpłaszczyznowe.
Jeśli w • ( u X v ) ≠ 0, to wektory u, v i w nie są współpłaszczyznowe.
Jeśli wprowadzimy kartezjańskie składowe wektorów u, v i w, warunek braku współpłaszczyznowości można zapisać następująco:
Iloczyn potrójny ma interpretację geometryczną i przedstawia objętość równoległościanu wygenerowanego przez trzy wektory nierównopłaszczyznowe.
Rysunek 2. Trzy wektory niepłaszczyznowe definiują równoległościan, którego objętość jest modułem produktu potrójnego. (Opracowanie własne)
Powód tego jest następujący; Kiedy dwa z niepłaszczyznowych wektorów zostaną pomnożone wektorowo, otrzymamy wektor, którego wielkość jest polem generowanego równoległoboku.
Następnie, gdy wektor ten zostanie pomnożony skalarnie przez trzeci wektor niepłaszczyznowy, otrzymamy rzut na wektor prostopadły do płaszczyzny, którą określają pierwsze dwa, pomnożony przez obszar, który określają.
Innymi słowy, mamy pole równoległoboku wygenerowane przez pierwsze dwa pomnożone przez wysokość trzeciego wektora.
Alternatywny warunek braku współpłaszczyznowości
Jeśli masz trzy wektory i żaden z nich nie może być zapisany jako liniowa kombinacja dwóch pozostałych, to te trzy wektory nie są współpłaszczyznowe. Oznacza to, że trzy wektory u , v i w nie są współpłaszczyznowe, jeśli warunek:
α u + β v + γ w = 0
Jest spełniony tylko wtedy, gdy α = 0, β = 0 i γ = 0.
Rozwiązane ćwiczenia
-Ćwiczenie 1
Istnieją trzy wektory
u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) i w = (-1, 2, z)
Zauważ, że składowa z wektora w jest nieznana.
Znajdź zakres wartości, jakie może przyjąć z, tak aby zagwarantować, że trzy wektory nie będą dzieliły tej samej płaszczyzny.
Rozwiązanie
w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18
Ustawiamy to wyrażenie na wartość zero
21 z + 18 = 0
i rozwiązujemy z
z = -18 / 21 = -6/7
Gdyby zmienna z przyjęła wartość -6/7, wówczas trzy wektory byłyby współpłaszczyznowe.
Zatem wartości z, które gwarantują, że wektory nie są współpłaszczyznowe, to te w następującym przedziale:
z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)
-Ćwiczenie 2
Znajdź objętość równoległościanu pokazaną na poniższym rysunku:
Rozwiązanie
Aby znaleźć objętość równoległościanu pokazanego na rysunku, zostaną określone elementy kartezjańskie trzech współbieżnych wektorów niepłaszczyznowych w początku układu współrzędnych. Pierwszy to wektor u o długości 4 m, równoległy do osi X:
u = (4, 0, 0) m
Drugi to wektor v w płaszczyźnie XY o rozmiarze 3 m, który tworzy 60º z osią X:
v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m
Trzeci to wektor w o długości 5m, którego rzut na płaszczyznę XY tworzy 60º z osią X, dodatkowo w tworzy 30º z osią Z.
w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)
Po wykonaniu obliczeń mamy: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.
Bibliografia
- Figueroa, D. Series: Physics for Science and Engineering. Tom 1. Kinematyka. 31-68.
- Fizyczny. Moduł 8: Wektory. Odzyskany z: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statyczny 6th Edition. Continental Publishing Company 28-66.
- McLean, W. Schaum Series. Mechanika dla inżynierów: statyka i dynamika. Wydanie trzecie. McGraw Hill. 1-15.
- Wikipedia. Wektor. Odzyskane z: es.wikipedia.org