OBLICZANIE PRZYBLIŻEŃ ZA POMOCĄ RÓŻNICZKI - MATEMATYKA - 2025

Przybliżenie w matematyce to liczba, która nie jest dokładną wartością czegoś, ale jest tak bliska, że ​​jest uważana za tak samo użyteczną, jak ta dokładna wartość.

Kiedy dokonuje się przybliżeń w matematyce, dzieje się tak, ponieważ ręczne ustalenie wartości tego, czego chcesz, jest trudne (lub czasami niemożliwe).

Głównym narzędziem podczas pracy z przybliżeniami jest różniczka funkcji.

Różniczka funkcji f, oznaczona Δf (x), jest niczym innym jak pochodną funkcji f pomnożoną przez zmianę zmiennej niezależnej, to znaczy Δf (x) = f '(x) * Δx.

Czasami zamiast Δf i Δx używane są df i dx.

Aproksymacje przy użyciu różniczki

Wzór zastosowany do przeprowadzenia aproksymacji przez różniczkę wynika właśnie z definicji pochodnej funkcji jako granicy.

Ta formuła jest określona wzorem:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Tutaj rozumie się, że Δx = x-x0, a zatem x = x0 + Δx. Korzystając z tego wzór można przepisać jako

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Należy zauważyć, że „x0” nie jest wartością arbitralną, ale wartością taką, że f (x0) jest łatwo znana; ponadto „f (x)” jest po prostu wartością, którą chcemy przybliżać.

Czy są lepsze przybliżenia?

Odpowiedź brzmi tak. Powyższe jest najprostszym z przybliżeń zwanych „przybliżeniem liniowym”.

W celu uzyskania lepszej jakości aproksymacji (popełniony błąd jest mniejszy) stosuje się wielomiany z większą liczbą pochodnych zwanych „wielomianami Taylora”, a także inne metody numeryczne, takie jak między innymi metoda Newtona-Raphsona.

Strategia

Strategia do naśladowania to:

- Wybierz odpowiednią funkcję f do przeprowadzenia aproksymacji i wartość „x” taką, że f (x) jest wartością do przybliżenia.

- Wybierz wartość „x0”, bliską „x”, taką, aby f (x0) było łatwe do obliczenia.

- Oblicz Δx = x-x0.

- Oblicz pochodną funkcji y f '(x0).

- Zastąp dane we wzorze.

Rozwiązane ćwiczenia aproksymacyjne

W dalszej części znajduje się seria ćwiczeń, w których przybliżenia są wykonywane przy użyciu różniczki.

Pierwsze ćwiczenie

W przybliżeniu √3.

Rozwiązanie

Zgodnie ze strategią należy wybrać odpowiednią funkcję. W tym przypadku można zauważyć, że wybraną funkcją musi być f (x) = √x, a wartością do przybliżenia jest f (3) = √3.

Teraz musimy wybrać wartość „x0” bliską „3” taką, aby f (x0) było łatwe do obliczenia. Jeśli wybrano "x0 = 2", to "x0" jest bliskie "3", ale f (x0) = f (2) = √2 nie jest łatwe do obliczenia.

Odpowiednia wartość „x0” to „4”, ponieważ „4” jest bliskie „3”, a także f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jeśli „x = 3” i „x0 = 4”, to Δx = 3-4 = -1. Teraz przystępujemy do obliczenia pochodnej f. Czyli f '(x) = 1/2 * √x, więc f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Podstawiając wszystkie wartości w otrzymanej formule:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Jeśli używasz kalkulatora, otrzymasz, że √3 ≈ 1,73205… To pokazuje, że poprzedni wynik jest dobrym przybliżeniem wartości rzeczywistej.

Drugie ćwiczenie

Około √10.

Rozwiązanie

Jak poprzednio, f (x) = √xy jest wybierane jako funkcja, w tym przypadku x = 10.

Wartość x0 do wybrania tego czasu to „x0 = 9”. Mamy więc, że Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 if '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Oceniając we wzorze otrzymujemy to

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Za pomocą kalkulatora otrzymujemy, że √10 ≈ 3,1622776… Tutaj również widać, że wcześniej uzyskano dobre przybliżenie.

Ćwiczenie trzecie

Przybliżona ³√10, gdzie ³√ oznacza pierwiastek sześcienny.

Rozwiązanie

Oczywiście funkcja, która ma zostać użyta w tym ćwiczeniu to f (x) = ³√x, a wartość „x” musi wynosić „10”.

Wartością bliską „10”, przy której znany jest pierwiastek sześcienny, jest „x0 = 8”. Wtedy mamy, że Δx = 10-8 = 2 if (x0) = f (8) = 2. Mamy również, że f '(x) = 1/3 * ³√x², a zatem f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Podstawiając dane we wzorze otrzymujemy, że:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

Kalkulator mówi, że ³√10 ≈ 2,15443469… Dlatego znalezione przybliżenie jest dobre.

Ćwiczenie czwarte

Przybliżone ln (1.3), gdzie „ln” oznacza funkcję logarytmu naturalnego.

Rozwiązanie

Najpierw jako funkcję wybieramy f (x) = ln (x), a wartość „x” to 1,3. Teraz, wiedząc trochę o funkcji logarytmu, możemy wiedzieć, że ln (1) = 0, a ponadto „1” jest bliskie „1,3”. Dlatego wybrano „x0 = 1”, a zatem Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Z drugiej strony f '(x) = 1 / x, więc f' (1) = 1. Oceniając w podanym wzorze mamy:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Korzystając z kalkulatora otrzymujemy, że ln (1,3) ≈ 0,262364… Czyli wykonane przybliżenie jest dobre.

Bibliografia

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus: podejście do rozwiązywania problemów (2, red. Ilustrowane). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 wyd.). Cengage Learning.
5. Leal, JM i Viloria, NG (2005). Geometria analityczna płaszczyzny. Mérida - Wenezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. i Rigdon, SE (2007). Calculus (wyd. Dziewiąte). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy z wczesnymi funkcjami transcendentnymi dla nauki i inżynierii (wydanie drugie). Przeciwprostokątna.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (przedruk red.). Źródło błyskawicy.
10. Sullivan, M. (1997). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.