- mnożenie liczby rzeczywistej alfa przez wektor v : α v podając inny wektor i należąca do V .

Artystyczna wizja przestrzeni wektorowej. Źródło: Pixabay

Aby oznaczyć wektor, używamy pogrubienia ( v jest wektorem), a dla skalarów lub liczb greckie litery (α to liczba).

Aksjomaty i własności

Aby otrzymać przestrzeń wektorową, musi spełnić się osiem następujących aksjomatów:

1-zamienność: u + v = v + u

2-przechodniość: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-istnienie zerowego wektora 0 takiego, że 0 + v = v

4-Istnienie przeciwieństwa: przeciwieństwem v jest (- v ), ponieważ v + (- v ) = 0

5-Dystrybucja iloczynu względem sumy wektorów: α ( u + v ) = α u + α v

6-Dystrybucja iloczynu względem sumy skalarnej: (α + β) v = α v + β v

7-Asocjatywność iloczynu skalarnego: α (β v ) = (α β) v

8-Liczba 1 jest elementem neutralnym, ponieważ: 1 v = v

Przykłady przestrzeni wektorowych

Przykład 1

Wektory w płaszczyźnie (R²) są przykładem przestrzeni wektorowej. Wektor na płaszczyźnie to obiekt geometryczny o wielkości i kierunku. Jest reprezentowany przez zorientowany segment, który należy do wspomnianej płaszczyzny i którego rozmiar jest proporcjonalny do jego wielkości.

Suma dwóch wektorów na płaszczyźnie może być zdefiniowana jako operacja przesunięcia geometrycznego drugiego wektora po pierwszym. Wynikiem sumy jest zorientowany segment, który zaczyna się od początku pierwszego i dochodzi do końca drugiego.

Na rysunku widać, że suma w R² jest przemienna.

Rysunek 2. Wektory w płaszczyźnie tworzą przestrzeń wektorową. Źródło: wykonane samodzielnie.

Zdefiniowano również iloczyn liczby α i wektora. Jeśli liczba jest dodatnia, kierunek pierwotnego wektora jest zachowany, a rozmiar jest α razy większy od pierwotnego wektora. Jeśli liczba jest ujemna, kierunek jest odwrotny, a rozmiar wektora wynikowego jest wartością bezwzględną liczby.

Wektor przeciwny do dowolnego wektora v to - v = (- 1) v .

Wektor zerowy to punkt na płaszczyźnie R², a liczba zero razy wektor daje wektor zerowy.

Wszystko, co zostało powiedziane, przedstawiono na rysunku 2.

Przykład 2

Zbiór P wszystkich wielomianów stopni mniejszych lub równych dwa, w tym stopnia zero, tworzy zbiór, który spełnia wszystkie aksjomaty przestrzeni wektorowej.

Niech wielomian P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Zdefiniowano sumę dwóch wielomianów: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Suma wielomianów należących do zbioru P jest przemienna i przechodnia.

Null wielomian należący do zbioru P to taki, który ma wszystkie współczynniki równe zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Suma skalara α przez wielomian jest definiowana jako: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Przeciwny wielomian P (x) to -P (x) = (-1) P (x).

Z powyższego wynika, że ​​zbiór P wszystkich wielomianów o stopniu mniejszym lub równym dwa jest przestrzenią wektorową.

Przykład 3

Zbiór M wszystkich macierzy m wierszy xn kolumn, których elementy są liczbami rzeczywistymi, tworzy rzeczywistą przestrzeń wektorową, w odniesieniu do operacji dodawania macierzy i iloczynu liczby przez macierz.

Przykład 4

Zbiór F funkcji ciągłych zmiennej rzeczywistej tworzy przestrzeń wektorową, ponieważ można zdefiniować sumę dwóch funkcji, mnożenie skalara przez funkcję, funkcję zerową i funkcję symetryczną. Spełniają również aksjomaty charakteryzujące przestrzeń wektorową.

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

Baza

Podstawę przestrzeni wektorowej definiuje się jako zbiór liniowo niezależnych wektorów, tak że z ich liniowej kombinacji można wygenerować dowolny wektor tej przestrzeni wektorowej.

Liniowe łączenie dwóch lub więcej wektorów polega na pomnożeniu wektorów przez pewną wartość skalarną, a następnie dodaniu ich wektorowo.

Na przykład w przestrzeni wektorowej wektorów w trzech wymiarach utworzonej przez R3 stosuje się podstawę kanoniczną określoną przez wektory jednostkowe (o wielkości 1) i , j , k .

Gdzie i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Są to wektory kartezjańskie lub kanoniczne.

Każdy wektor V należący do R3 jest zapisywany jako V = a i + b j + c k , co jest liniową kombinacją wektorów podstawowych i , j , k . Skalar lub liczby a, b, c są znane jako kartezjańskich składników V .

Mówi się również, że wektory bazowe przestrzeni wektorowej tworzą generator przestrzeni wektorowej.

Wymiar

Wymiar przestrzeni wektorowej jest liczbą kardynalną bazy wektorowej tej przestrzeni; to znaczy liczba wektorów, które tworzą wspomnianą podstawę.

Ten kardynał to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni wektorowej, a jednocześnie minimalna liczba wektorów tworzących generator tej przestrzeni.

Podstawy przestrzeni wektorowej nie są unikalne, ale wszystkie bazy tej samej przestrzeni wektorowej mają ten sam wymiar.

Podprzestrzeń wektorowa

Podprzestrzeń wektorowa S przestrzeni wektorowej V jest podzbiorem V, w którym te same operacje są zdefiniowane jak w V i spełnia wszystkie aksjomaty przestrzeni wektorowej. Dlatego podprzestrzeń S będzie również przestrzenią wektorową.

Przykładem podprzestrzeni wektorowej są wektory należące do płaszczyzny XY. Ta podprzestrzeń jest podzbiorem wektorowej przestrzeni wymiarowej większej niż zbiór wektorów należących do trójwymiarowej przestrzeni XYZ.

Inny przykład podprzestrzeni wektorowej S1 przestrzeni wektorowej S utworzonej przez wszystkie macierze 2 × 2 z elementami rzeczywistymi jest zdefiniowany poniżej:

Z drugiej strony, S2 zdefiniowana poniżej, chociaż jest podzbiorem S, nie tworzy wektorowej podprzestrzeni:

Rozwiązane ćwiczenia

-Ćwiczenie 1

Niech wektory V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) i V3 = (0, 0, 3) w R3.

a) Pokaż, że są liniowo niezależne.

b) Pokaż, że tworzą one podstawę w R3, ponieważ każda trójka (x, y, z) może być zapisana jako liniowa kombinacja V1, V2, V3.

c) Znajdź składowe potrójnego V = (-3,5,4) w bazie V1 , V2 , V3 .

Rozwiązanie

Kryterium wykazania liniowej niezależności polega na ustaleniu następującego zestawu równań w α, β i γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

W przypadku, gdy jedynym rozwiązaniem tego układu jest α = β = γ = 0, to wektory są liniowo niezależne, w przeciwnym razie nie.

Aby otrzymać wartości α, β i γ, proponujemy następujący układ równań:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Pierwsza prowadzi do α = 0, druga α = -2 ∙ β, ale ponieważ α = 0 to β = 0. Trzecie równanie implikuje, że γ = (- 1/3) β, ale ponieważ β = 0, to γ ​​= 0.

Odpowiedz

Stwierdzono, że jest to zbiór liniowo niezależnych wektorów w R3.

Odpowiedź b

Teraz zapiszmy potrójną (x, y, z) jako liniową kombinację V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Gdzie masz:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Pierwsza oznacza α = x, druga β = (yx) / 2, a trzecia γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. W ten sposób znaleźliśmy generatory α, β i γ dowolnej trójki R3

Odpowiedź c

Przejdźmy dalej, aby znaleźć składowe potrójnego V = (-3,5,4) w bazie V1 , V2 , V3 .

Zastępujemy generatory odpowiednie wartości w wyrażeniach znalezionych powyżej.

W tym przypadku mamy: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

To jest:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Na koniec:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Wnioskujemy, że V1, V2, V3 stanowią podstawę w przestrzeni wektorowej R3 o wymiarze 3.

-Ćwiczenie 2

Wyraź wielomian P (t) = t² + 4t -3 jako liniową kombinację P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t i P3 (t) = t + 3.

Rozwiązanie

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

gdzie mają zostać określone liczby x, y, z.

Mnożąc i grupując wyrazy o tym samym stopniu wt, otrzymujemy:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Co prowadzi nas do następującego układu równań:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3 z = -3

Rozwiązania tego układu równań to:

x = -3, y = 2, z = 4.

To jest:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Ćwiczenie 3

Pokaż, że wektory v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) i v3 = (2, 1, -1, 1) z R⁴ są liniowo niezależne.

Rozwiązanie

Liniowo łączymy trzy wektory v1 , v2 , v3 i żądamy, aby kombinacja dodała element zerowy R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

To jest do powiedzenia,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

To prowadzi nas do następującego układu równań:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Odejmując pierwszą i czwartą otrzymujemy: -a + c = 0, co implikuje a = c.

Ale jeśli spojrzymy na trzecie równanie, otrzymamy a = -c. Jedynym sposobem, w jaki a = c = (- c) zachodzi, jest to, że c będzie równe 0, a zatem a będzie również równe 0.

a = c = 0

Jeśli wstawimy ten wynik do pierwszego równania, to wywnioskujemy, że b = 0.

Ostatecznie a = b = c = 0, więc można wywnioskować, że wektory v1, v2 i v3 są liniowo niezależne.

Bibliografia

1. Lipschutz, S. 1993. Algebra liniowa. Druga edycja. McGraw-Hill. 167-198.