CO TO SĄ GRANICE TRYGONOMETRYCZNE? (ĆWICZENIA ROZWIĄZANE) - MATEMATYKA - 2025

Te granice trygonometryczne są funkcjami ogranicza taki sposób, że funkcje te są utworzone przez funkcji trygonometrycznych.

Aby zrozumieć, jak obliczyć granicę trygonometryczną, należy znać dwie definicje.

Te definicje to:

- Granica funkcji „f”, gdy „x” zmierza do „b”: polega na obliczeniu wartości, do której f (x) zbliża się, gdy „x” zbliża się do „b”, bez osiągnięcia „b” ».

- Funkcje trygonometryczne: funkcje trygonometryczne to funkcje sinus, cosinus i tangens, oznaczone odpowiednio przez sin (x), cos (x) i tan (x).

Pozostałe funkcje trygonometryczne są uzyskiwane z trzech wyżej wymienionych funkcji.

Ograniczenia funkcji

Aby wyjaśnić pojęcie granicy funkcji, przejdziemy do pokazania kilku przykładów prostych funkcji.

- Granica f (x) = 3, gdy „x” zmierza do „8” jest równe „3”, ponieważ funkcja jest zawsze stała. Bez względu na to, ile wart jest „x”, wartość f (x) zawsze będzie wynosić „3”.

- Granica f (x) = x-2, gdy „x” zmierza do „6”, to „4”. Od kiedy „x” zbliża się do „6”, to „x-2” zbliża się do „6-2 = 4”.

- Granica g (x) = x², gdy „x” zmierza do „3” jest równe 9, ponieważ gdy „x” zbliża się do „3”, wówczas „x²” zbliża się do „3² = 9” .

Jak widać w poprzednich przykładach, obliczanie granicy polega na ocenie wartości, do której „x” zmierza w funkcji, a wynikiem będzie wartość granicy, chociaż jest to prawdą tylko dla funkcji ciągłych.

Czy są bardziej skomplikowane ograniczenia?

Odpowiedź brzmi tak. Powyższe przykłady to najprostsze przykłady ograniczeń. W podręcznikach do matematyki głównymi ćwiczeniami granicznymi są te, które generują nieokreśloność typu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 i (∞) ^ 0.

Wyrażenia te nazywane są nieokreślonymi, ponieważ są to wyrażenia, które nie mają matematycznego sensu.

Ponadto, w zależności od funkcji występujących w pierwotnym limicie, wynik uzyskany przy rozwiązywaniu nieokreśloności może być w każdym przypadku inny.

Przykłady prostych granic trygonometrycznych

Aby rozwiązać ograniczenia, zawsze warto znać wykresy odpowiednich funkcji. Wykresy funkcji sinus, cosinus i styczna pokazano poniżej.

Oto kilka przykładów prostych granic trygonometrycznych:

- Oblicz granicę sin (x), gdy „x” ma tendencję do „0”.

Patrząc na wykres można zauważyć, że jeśli „x” zbliża się do „0” (zarówno z lewej, jak iz prawej strony), to wykres sinusoidalny również zbliża się do „0”. Dlatego granica sin (x), gdy „x” zmierza do „0”, wynosi „0”.

- Obliczyć granicę cos (x), gdy „x” ma tendencję do „0”.

Obserwując wykres cosinusa można zauważyć, że gdy „x” jest bliskie „0”, to wykres cosinusa jest bliski „1”. Oznacza to, że granica cos (x), gdy „x” zmierza do „0”, jest równa „1”.

Limit może istnieć (być liczbą), jak w poprzednich przykładach, ale może się również zdarzyć, że nie istnieje, jak pokazano w poniższym przykładzie.

- Granica tg (x), gdy „x” zmierza do „Π / 2” od lewej, jest równa „+ ∞”, jak widać na wykresie. Z drugiej strony, granica tan (x), gdy „x” zmierza do „-Π / 2” od prawej strony, jest równa „-∞”.

Tożsamości granic trygonometrycznych

Dwie bardzo przydatne tożsamości przy obliczaniu granic trygonometrycznych to:

- Granica «sin (x) / x», gdy «x» zmierza do «0», jest równa «1».

- Granica «(1-cos (x)) / x», gdy «x» zmierza do «0», jest równe «0».

Tożsamości te są używane bardzo często, gdy masz jakiś rodzaj nieokreśloności.

Rozwiązane ćwiczenia

Rozwiąż następujące ograniczenia, korzystając z tożsamości opisanych powyżej.

- Oblicz granicę „f (x) = sin (3x) / x”, gdy „x” zmierza do „0”.

Jeśli funkcja „f” zostanie oszacowana na „0”, zostanie uzyskana nieokreśloność typu 0/0. Dlatego musimy spróbować rozwiązać tę nieokreśloność za pomocą opisanych tożsamości.

Jedyną różnicą między tą granicą a tożsamością jest liczba 3, która pojawia się w funkcji sinus. Aby zastosować tożsamość, funkcja «f (x)» musi zostać przepisana w następujący sposób «3 * (sin (3x) / 3x)». Teraz zarówno argument sinusowy, jak i mianownik są równe.

Więc kiedy „x” zmierza do „0”, użycie tożsamości daje „3 * 1 = 3”. Dlatego granica f (x), gdy „x” zmierza do „0”, jest równe „3”.

- Obliczyć granicę „g (x) = 1 / x - cos (x) / x”, gdy „x” zmierza do „0”.

Gdy w g (x) podstawimy „x = 0”, uzyskuje się nieokreśloność typu ∞-∞. Aby go rozwiązać, najpierw odejmuje się ułamki, co daje „(1-cos (x)) / x”.

Teraz, stosując drugą tożsamość trygonometryczną, otrzymujemy, że granica g (x), gdy «x» zmierza do «0», jest równa 0.

- Obliczyć granicę „h (x) = 4 tany (5x) / 5x”, gdy „x” zmierza do „0”.

Ponownie, jeśli h (x) zostanie oszacowane na „0”, zostanie uzyskana nieokreśloność typu 0/0.

Przepisanie jako (5x) jako sin (5x) / cos (5x) daje w wyniku h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Wykorzystując to, granica 4 / cos (x), gdy „x” zmierza do „0” jest równa „4/1 = 4” i uzyskuje się pierwszą tożsamość trygonometryczną, że granica h (x), gdy „x” zmierza „0” jest równe „1 * 4 = 4”.

Obserwacja

Granice trygonometryczne nie zawsze są łatwe do rozwiązania. W artykule pokazano tylko podstawowe przykłady.

Bibliografia

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematyka precalculus: podejście do rozwiązywania problemów (2, red. Ilustrowane). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 wyd.). Cengage Learning.
5. Leal, JM i Viloria, NG (2005). Geometria analityczna płaszczyzny. Mérida - Wenezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D. i Rigdon, SE (2007). Calculus (wyd. Dziewiąte). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy z wczesnymi funkcjami transcendentnymi dla nauki i inżynierii (wydanie drugie). Przeciwprostokątna.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (przedruk red.). Źródło błyskawicy.
10. Sullivan, M. (1997). Obliczenie wstępne. Edukacja Pearson.