TWIERDZENIE CZEBYSZOWA: CO TO JEST, ZASTOSOWANIA I PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Twierdzenie Czebyszewa (Czebyszewa lub nierówności) jest jednym z najbardziej istotnych wyników klasycznej teorii prawdopodobieństwa. Pozwala oszacować prawdopodobieństwo zdarzenia opisanego w kategoriach zmiennej losowej X, dostarczając nam granicę, która nie zależy od rozkładu zmiennej losowej, ale od wariancji X.

Twierdzenie zostało nazwane na cześć rosyjskiego matematyka Pafnuty Chebyshova (również pisanego jako Chebychev lub Tchebycheff), który, mimo że nie był pierwszym, który sformułował twierdzenie, był pierwszym, który dał dowód w 1867 roku.

Nierówność ta lub te, które ze względu na swoje cechy nazywane są nierównościami Czebyszowa, są wykorzystywane głównie do przybliżania prawdopodobieństw poprzez obliczanie wysokości.

Z czego to się składa?

W badaniach teorii prawdopodobieństwa zdarza się, że znając rozkład zmiennej losowej X można obliczyć jej wartość oczekiwaną - lub oczekiwanie matematyczne E (X) - i jej wariancję Var (X), o ile takie kwoty istnieją. Jednak sytuacja odwrotna niekoniecznie jest prawdą.

Oznacza to, że znając E (X) i Var (X) niekoniecznie jest możliwe uzyskanie funkcji rozkładu X, dlatego takie wielkości jak P (-X-> k) dla niektórych k> 0 są bardzo trudne do uzyskania. Ale dzięki nierówności Czebyszowa można oszacować prawdopodobieństwo zmiennej losowej.

Twierdzenie Czebyszowa mówi nam, że jeśli mamy zmienną losową X na przestrzeni próbkowania S z funkcją prawdopodobieństwa p, a jeśli k> 0, to:

Zastosowania i przykłady

Wśród wielu zastosowań twierdzenia Czebyszowa można wymienić:

Ograniczające prawdopodobieństwa

Jest to najpowszechniejsze zastosowanie i służy do wyznaczenia górnej granicy dla P (-XE (X) -≥k), gdzie k> 0, tylko z wariancją i oczekiwaniem zmiennej losowej X, bez znajomości funkcji prawdopodobieństwa .

Przykład 1

Załóżmy, że liczba produktów wytwarzanych w firmie w ciągu tygodnia jest zmienną losową, która wynosi średnio 50.

Jeśli wiadomo, że wariancja jednego tygodnia produkcji jest równa 25, to co możemy powiedzieć o prawdopodobieństwie, że w tym tygodniu produkcja będzie różnić się o więcej niż 10 od średniej?

Rozwiązanie

Stosując nierówność Czebyszowa mamy:

Z tego możemy uzyskać, że prawdopodobieństwo, że w tygodniu produkcyjnym liczba artykułów przewyższa średnią o więcej niż 10, wynosi co najwyżej 1/4.

Dowód twierdzeń granicznych

Nierówność Czebyszowa odgrywa ważną rolę w dowodzeniu najważniejszych twierdzeń granicznych. Jako przykład mamy:

Słabe prawo wielkich liczb

Prawo to mówi, że biorąc pod uwagę ciąg X1, X2,…, Xn,… niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie średnim E (Xi) = μ i wariancji Var (X) = σ ² oraz znanej średniej próbce:

Wtedy dla k> 0 mamy:

Lub równoważnie:

Demonstracja

Najpierw zwróćmy uwagę na następujące kwestie:

Ponieważ X1, X2,…, Xn są niezależne, wynika z tego, że:

W związku z tym można stwierdzić, co następuje:

Następnie, korzystając z twierdzenia Czebyszowa, mamy:

Wreszcie twierdzenie wynika z faktu, że granica po prawej stronie wynosi zero, gdy n zbliża się do nieskończoności.

Należy zauważyć, że test ten został wykonany tylko dla przypadku, w którym istnieje wariancja Xi; to znaczy, nie rozchodzi się. Zatem obserwujemy, że twierdzenie jest zawsze prawdziwe, jeśli istnieje E (Xi).

Twierdzenie graniczne Czebyszowa

Jeśli X1, X2,…, Xn,… jest sekwencją niezależnych zmiennych losowych, taką, że istnieje taka C <nieskończoność, że Var (Xn) ≤ C dla wszystkich naturalnych n, to dla każdego k> 0:

Demonstracja

Ponieważ sekwencja wariancji jest jednolicie ograniczona, mamy Var (Sn) ≤ C / n, dla wszystkich naturalnych n. Ale wiemy, że:

Sprawiając, że n dąży do nieskończoności, następujące wyniki:

Ponieważ prawdopodobieństwo nie może przekroczyć wartości 1, uzyskuje się pożądany wynik. W konsekwencji tego twierdzenia możemy wspomnieć o szczególnym przypadku Bernoulliego.

Jeśli eksperyment jest powtarzany niezależnie n razy z dwoma możliwymi wynikami (niepowodzeniem i sukcesem), gdzie p jest prawdopodobieństwem powodzenia każdego eksperymentu, a X jest zmienną losową reprezentującą liczbę uzyskanych sukcesów, to dla każdego k> 0 musisz:

Wielkość próbki

Pod względem wariancji nierówność Czebyszowa pozwala nam znaleźć próbkę o wielkości n wystarczającą do zagwarantowania, że ​​prawdopodobieństwo wystąpienia -Sn-μ -> = k jest tak małe, jak to pożądane, co pozwala nam uzyskać przybliżenie do średniej.

W szczególności niech X1, X2,… Xn będzie próbką niezależnych zmiennych losowych o rozmiarze n i załóżmy, że E (Xi) = μ i jej wariancja σ ² . Następnie, przy nierówności Czebyszowa, mamy:

Przykład

Załóżmy, że X1, X2,… Xn są próbką niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Bernoulliego, tak że przyjmują wartość 1 z prawdopodobieństwem p = 0,5.

Jaka musi być wielkość próbki, aby móc zagwarantować, że prawdopodobieństwo, że różnica między średnią arytmetyczną Sn a jej wartością oczekiwaną (przekraczającą o więcej niż 0,1) jest mniejsze lub równe 0,01?

Rozwiązanie

Mamy, że E (X) = μ = p = 0,5 i że Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Z nierówności Czebyszowa dla każdego k> 0 mamy:

Teraz, biorąc k = 0,1 i δ = 0,01, mamy:

W ten sposób stwierdza się, że potrzebna jest próba o wielkości co najmniej 2500, aby zagwarantować, że prawdopodobieństwo zdarzenia -Sn - 0,5 -> = 0,1 jest mniejsze niż 0,01.

Nierówności typu Czebyszowa

Istnieje kilka nierówności związanych z nierównościami Czebyszowa. Jedną z najbardziej znanych jest nierówność Markowa:

W tym wyrażeniu X jest nieujemną zmienną losową z k, r> 0.

Nierówność Markowa może przybierać różne formy. Na przykład niech Y będzie nieujemną zmienną losową (więc P (Y> = 0) = 1) i załóżmy, że istnieje E (Y) = μ. Załóżmy również, że (E (Y)) ^r = μ _r istnieje dla pewnej liczby całkowitej r> 1. Więc:

Inną nierównością jest Gaussian, który mówi nam, że mając unimodalną zmienną losową X z trybem równym zero, to dla k> 0,

Bibliografia

1. Kai Lai Chung. Elementarna teoria proability z procesami stochastycznymi. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen, matematyka dyskretna i jej zastosowania. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Prawdopodobieństwo i aplikacje statystyczne. SA ALHAMBRA MEKSYKANA.
4. Dr Seymour Lipschutz 2000 Rozwiązane problemy matematyki dyskretnej. McGRAW-HILL.
5. Dr Seymour Lipschutz Problemy teorii i prawdopodobieństwa. McGRAW-HILL.