WEKTOR: CHARAKTERYSTYKA I WŁAŚCIWOŚCI, ELEMENTY, TYPY, PRZYKŁADY - NAUKA - 2025

Te wektory są podmioty matematyczne, które generalnie towarzyszy wielkości i kierunku jednostkę pomiarową -positiva- dobrze. Takie cechy są bardzo odpowiednie do opisania wielkości fizycznych, takich jak prędkość, siła, przyspieszenie i wiele innych.

Za pomocą wektorów można wykonywać takie operacje, jak dodawanie, odejmowanie i iloczyn. Dzielenie nie jest zdefiniowane dla wektorów, a jeśli chodzi o iloczyn, istnieją trzy klasy, które opiszemy później: iloczyn skalarny lub punkt, iloczyn wektorowy lub krzyż i iloczyn skalara przez wektor.

Rysunek 1. Elementy wektora. Źródło: Wikimedia Commons.

Aby w pełni opisać wektor, należy wskazać wszystkie jego cechy. Wielkość lub moduł to wartość liczbowa, której towarzyszy jednostka, podczas gdy kierunek i zwrot są ustalane za pomocą układu współrzędnych.

Spójrzmy na przykład: załóżmy, że samolot leci z jednego miasta do drugiego z prędkością 850 km / hw kierunku NE. Tutaj mamy w pełni określony wektor, ponieważ wielkość jest dostępna: 850 km / h, podczas gdy kierunek i zwrot są w kierunku NE.

Wektory są zwykle przedstawiane graficznie za pomocą zorientowanych odcinków linii, których długość jest proporcjonalna do wielkości.

Podczas gdy do określenia kierunku i zwrotu wymagana jest linia odniesienia, która zwykle jest osią poziomą, chociaż północ może być również traktowana jako odniesienie, tak jest w przypadku prędkości samolotu:

Rysunek 2. Wektor prędkości. Źródło: F. Zapata.

Rysunek przedstawia wektor prędkości samolotu, oznaczony pogrubioną czcionką v, w celu odróżnienia go od wielkości skalarnej, która wymaga jedynie podania wartości liczbowej i określenia jakiejś jednostki.

Elementy wektora

Jak powiedzieliśmy, elementy wektora to:

-Magnituda lub moduł, czasami nazywany także wartością bezwzględną lub normą wektora.

-Adres

-Sens

W przykładzie na rys. 2, moduł v wynosi 850 km / h. Moduł jest oznaczony jako v bez pogrubienia lub jako - v -, gdzie słupki oznaczają wartość bezwzględną.

Kierunek v jest określany względem północy. W tym przypadku jest to 45º na północ od wschodu (45º NE). Wreszcie czubek strzałki informuje o sensie v .

W tym przykładzie, początek wektora został narysowany jako zbieżny z początkiem O układu współrzędnych, jest to znane jako wektor połączony. Z drugiej strony, jeśli początek wektora nie pokrywa się z pochodzeniem układu odniesienia, mówi się, że jest to wektor swobodny.

Należy zauważyć, że aby w pełni określić wektor, należy zwrócić uwagę na te trzy elementy, w przeciwnym razie opis wektora byłby niepełny.

Prostokątne składowe wektora

Rysunek 3. Prostokątne składowe wektora na płaszczyźnie. Źródło: Wikimedia Commons. uranther

Na obrazku mamy z powrotem nasz przykładowy wektor v , który znajduje się na płaszczyźnie xy.

Łatwo zauważyć, że rzuty v na osiach współrzędnych xiy wyznaczają trójkąt prostokątny. Te rzuty to v _{y i} v _x i nazywane są prostokątnymi składowymi v .

Jednym ze sposobów oznaczenia v za pomocą jego prostokątnych składowych jest to: v =x, v _i >. Te nawiasy są używane zamiast nawiasów, aby podkreślić fakt, że jest to wektor, a nie kropka, ponieważ w tym przypadku zostaną użyte nawiasy.

Jeśli wektor znajduje się w przestrzeni trójwymiarowej, potrzebny jest jeszcze jeden komponent, aby:

v =x, v _y , v _z >

Znając elementy prostokątne wielkość wektora obliczana jest równoważne do znalezienia przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego ramiona są v _x i v _{i ,.} Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:

Postać biegunowa wektora

Gdy znana jest wielkość wektora - v - i kąt θ, który tworzy z osią odniesienia, ogólnie osią poziomą, wektor jest również określony. Mówi się wtedy, że wektor jest wyrażony w postaci polarnej.

Prostokątne komponenty w tym przypadku można łatwo obliczyć:

Zgodnie z powyższym, prostokątne składowe wektora prędkości v samolotu wyglądałyby następująco:

Rodzaje

Istnieje kilka typów wektorów. Istnieją wektory prędkości, położenia, przemieszczenia, siły, pola elektrycznego, pędu i wiele innych. Jak już powiedzieliśmy, w fizyce istnieje duża liczba wielkości wektorowych.

Jeśli chodzi o wektory, które mają określone cechy, możemy wymienić następujące typy wektorów:

-Null : są to wektory o wielkości równej 0 i oznaczane jako 0. Pamiętaj, że pogrubiona litera symbolizuje trzy podstawowe cechy wektora, podczas gdy normalna litera reprezentuje tylko moduł.

Na przykład na ciele w równowadze statycznej suma sił musi być wektorem zerowym.

- Wektory swobodne i połączone : wektory swobodne to te, których punktem początkowym i docelowym są dowolne pary punktów w płaszczyźnie lub przestrzeni, w przeciwieństwie do wektorów połączonych, których początek pokrywa się z pochodzeniem systemu odniesienia używanego do ich opisu.

Para lub moment wytworzony przez parę sił jest dobrym przykładem wektora swobodnego, ponieważ para ta nie odnosi się do żadnego konkretnego punktu.

- Equipolentes : są to dwa wektory swobodne, które mają identyczne cechy. Dlatego mają taką samą wielkość, kierunek i sens.

- Współpłaszczyznowe lub współpłaszczyznowe : wektory należące do tej samej płaszczyzny.

- Przeciwieństwa : wektory o tej samej wielkości i kierunku, ale przeciwnych kierunkach. Wektor znajdujący się naprzeciw wektora v jest wektorem - v, a sumą obu jest wektor zerowy: v + (- v ) = 0 .

- Współbieżne : wektory, których wszystkie linie działania przechodzą przez ten sam punkt.

- Suwaki : to te wektory, których punkt aplikacji może przesuwać się wzdłuż określonej linii.

- Współliniowe : wektory, które znajdują się na tej samej linii.

- Unitary : te wektory, których moduł to 1.

Wektory jednostkowe ortogonalne

W fizyce istnieje bardzo użyteczny typ wektora zwany ortogonalnym wektorem jednostkowym. Ortogonalny wektor jednostkowy ma moduł równy 1 i mogą być dowolnymi jednostkami, na przykład dotyczącymi prędkości, położenia, siły lub innych.

Istnieje zestaw specjalnych wektorów, które pomagają łatwo reprezentować inne wektory i wykonywać na nich operacje: są to ortogonalne wektory jednostkowe i , j oraz k , jednostkowe i prostopadłe do siebie.

W dwóch wymiarach wektory te są skierowane wzdłuż dodatniego kierunku zarówno osi x, jak i osi y. W trzech wymiarach wektor jednostkowy jest dodawany w kierunku dodatniej osi z. Są one przedstawiane w następujący sposób:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Wektor można przedstawić za pomocą wektorów jednostkowych i , j i k w następujący sposób:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Na przykład wektor prędkości v w poprzednich przykładach można zapisać jako:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Składnik w k nie jest konieczny, ponieważ ten wektor znajduje się w płaszczyźnie.

Dodawanie wektorowe

Suma wektorów pojawia się bardzo często w różnych sytuacjach, na przykład gdy chcesz znaleźć wypadkową siłę na obiekcie, na który działają różne siły. Na początek załóżmy, że mamy na płaszczyźnie dwa wektory swobodne u i v , jak pokazano na poniższym rysunku po lewej stronie:

Rysunek 4. Suma graficzna dwóch wektorów. Źródło: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Jest natychmiast ostrożnie przenoszona do wektora v , bez modyfikowania jego wielkości, kierunku ani zwrotu, tak aby jego początek pokrywał się z końcem u .

Suma wektora nazywa się w i jest rysowana począwszy od u kończącego się na v , zgodnie z rysunkiem po prawej stronie. Należy zauważyć, że wielkość wektora w niekoniecznie jest sumą wartości v i u .

Jeśli dobrze się nad tym zastanowić, jedyny moment, w którym wielkość wynikowego wektora jest sumą wielkości addendów, jest wtedy, gdy oba addendy są w tym samym kierunku i mają ten sam sens.

A co się stanie, jeśli wektory nie będą wolne? Bardzo łatwo je też dodać. Można to zrobić dodając komponent do komponentu lub metodą analityczną.

Jako przykład rozważmy wektory na poniższym rysunku, pierwszą rzeczą jest wyrażenie ich w jeden z wcześniej wyjaśnionych sposobów kartezjańskich:

Rysunek 5. Suma dwóch połączonych wektorów. Źródło: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Aby otrzymać składową x wektora sumy w , dodaj odpowiednie składowe x v i u : w _x = 5 + 2 = 7. Aby otrzymać w _y postępujemy analogicznie: w _y = 1 + 3. A zatem:

u = <7,4>

Własności dodawania wektorów

-Suma dwóch lub więcej wektorów daje inny wektor.

-Jest przemienna, kolejność dodatków nie zmienia sumy w taki sposób, że:

u + v = v + u

- Neutralnym elementem sumy wektorów jest wektor zerowy: v + 0 = v

- Odejmowanie dwóch wektorów definiuje się jako sumę przeciwieństw: v - u = v + (-u)

Przykłady wektorów

Jak powiedzieliśmy, w fizyce istnieje wiele wielkości wektorowych. Do najbardziej znanych należą:

-Pozycja

-Przemieszczenie

-Średnia prędkość i chwilowa prędkość

-Przyśpieszenie

-Siła

-Ilość ruchu

-Moment lub moment siły

-Impuls

-Pole elektryczne

-Pole magnetyczne

-Moment magnetyczny

Z drugiej strony nie są to wektory, ale skalary:

-Pogoda

-Masa

-Temperatura

-Tom

-Gęstość

-Praca mechaniczna

-Energia

-Gorąco

-Moc

-Napięcie

-Prąd elektryczny

Inne operacje między wektorami

Oprócz dodawania i odejmowania wektorów istnieją trzy inne bardzo ważne operacje między wektorami, ponieważ dają początek nowym bardzo ważnym wielkościom fizycznym:

-Produkt skalara przez wektor.

- Iloczyn skalarny lub iloczyn skalarny między wektorami

-I iloczyn krzyżowy lub wektorowy między dwoma wektorami.

Iloczyn skalara i wektora

Rozważmy drugie prawo Newtona, które mówi, że siła F i przyspieszenie a są proporcjonalne. Stała proporcjonalności jest masą m obiektu, dlatego:

F = m. do

Masa jest skalarem; ze swojej strony siła i przyspieszenie są wektorami. Ponieważ siłę uzyskuje się przez pomnożenie masy przez przyspieszenie, jest ona wynikiem iloczynu skalara i wektora.

Ten typ produktu zawsze skutkuje wektorem. Oto kolejny przykład: ilość ruchu. Niech P będzie wektorem pędu, v wektorem prędkości i jak zawsze m jest masą:

P = m. v

Iloczyn skalarny lub iloczyn skalarny między wektorami

Na listę wielkości, które nie są wektorami, umieściliśmy pracę mechaniczną. Jednak praca w fizyce jest wynikiem operacji między wektorami zwanymi iloczynem skalarnym, iloczynem wewnętrznym lub iloczynem skalarnym.

Niech wektory v i u zdefiniują kropkę lub iloczyn skalarny między nimi jako:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Gdzie θ to kąt między nimi. Z przedstawionego równania wynika od razu, że wynik iloczynu skalarnego jest skalarem, a także, że jeśli oba wektory są prostopadłe, ich iloczyn skalarny wynosi 0.

Wracając do pracy mechanicznej W, jest to iloczyn skalarny między wektorem siły F i wektorem przemieszczenia ℓ .

Gdy wektory są dostępne pod względem ich składowych, iloczyn skalarny jest również bardzo łatwy do obliczenia. Jeśli v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, iloczyn skalarny między nimi to:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Iloczyn skalarny między wektorami jest przemienny, dlatego:

v ∙ u = u ∙ v

Iloczyn wektorowy lub iloczyn wektorowy między wektorami

Jeśli v i u są naszymi dwoma przykładowymi wektorami, definiujemy iloczyn wektorowy jako:

v x u = w

Wynika z tego natychmiast, że iloczyn poprzeczny daje wektor, którego moduł definiuje się jako:

Gdzie θ jest kątem między wektorami.

Iloczyn poprzeczny nie jest przemienny, dlatego v x u ≠ u x v. W rzeczywistości v x u = - (u x v).

Jeżeli dwa przykładowe wektory są wyrażone za pomocą wektorów jednostkowych, obliczenie iloczynu wektorów jest ułatwione:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Produkty krzyżowe między wektorami jednostkowymi

Iloczyn poprzeczny między identycznymi wektorami jednostkowymi wynosi zero, ponieważ kąt między nimi wynosi 0 °. Ale między różnymi wektorami jednostkowymi kąt między nimi wynosi 90º i sin 90º = 1.

Poniższy diagram pomaga znaleźć te produkty. W kierunku strzałki ma on dodatni kierunek, aw przeciwnym ujemny:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Stosując właściwość dystrybucyjną, która nadal obowiązuje dla iloczynów między wektorami plus właściwości wektorów jednostkowych, otrzymujemy:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Biorąc pod uwagę wektory:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Jaki musi być wektor w, aby suma v + u + w wynosiła 6 i +8 j -10 k ?

Rozwiązanie

Dlatego należy spełnić, że:

Odpowiedź brzmi: w = 9 i +7 j - 18 k

- Ćwiczenie 2

Jaki jest kąt między wektorami v i u w ćwiczeniu 1?

Rozwiązanie

Użyjemy iloczynu skalarnego. Z definicji mamy:

v ∙ u = -10-12 + 7 = -15

Podstawiając te wartości:

Bibliografia

1. Figueroa, D. (2005). Seria: Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. Kinematyka. Pod redakcją Douglasa Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fizyka: Zasady z zastosowaniami. 6th. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Podstawy fizyki. Osoba.
4. Sears, Zemansky. 2016. Fizyka uniwersytecka z fizyką współczesną. 14. Ed. Tom 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. Tom 1. 7th. Ed. Cengage Learning.