KĄT WPISANY NA OKRĘGU: DEFINICJA, TWIERDZENIA, PRZYKŁADY - MATEMATYKA - 2025

Kąt WPISUJE koła jest taka, która ma wierzchołek na okręgu i jej wiązka siecznej lub stycznie do niej. W konsekwencji wpisany kąt zawsze będzie wypukły lub płaski.

Na figurze 1 przedstawiono kilka kątów wpisanych w ich odpowiednie obwody. Kąt ∠EDF wpisuje się mając wierzchołek D na obwodzie i jego dwa promienie =.

W trójkącie równoramiennym kąty sąsiadujące z podstawą są równe, dlatego ∠BCO = ∠ABC = α. Z drugiej strony ∠COB = 180º - β.

Biorąc pod uwagę sumę kątów wewnętrznych trójkąta COB, mamy:

α + α + (180º - β) = 180º

Z czego wynika, że ​​2 α = β, czyli co jest równoważne: α = β / 2. Zgadza się to z tym, co stwierdza twierdzenie 1: miara kąta wpisanego jest połową kąta środkowego, jeśli oba kąty leżą na tej samej cięciwie.

Demonstracja 1b

Rysunek 6. Konstrukcja pomocnicza pokazująca, że ​​α = β / 2. Źródło: F. Zapata z Geogebra.

W tym przypadku mamy wpisany kąt ∠ABC, w którym środek O okręgu znajduje się w kącie.

Aby udowodnić Twierdzenie 1 w tym przypadku, narysuj promień pomocniczy) .push ({});

Podobnie, środkowe kąty β ₁ i β ₂ przylegają do wspomnianego promienia. W ten sposób ma taką samą sytuację jak pokazano 1a, to można powiedzieć, że α ₂ = β ₂ /2 i a ₁ = β ₁ /2. Jako α = α ₁ + α ₂ i β = β ₁ + β ₂ mają zatem, α = α ₁ + α ₂ = β ₁ /2 + β ₂ /2 = (β ₁ + β ₂ ) / 2 = β / dwa.

Podsumowując, α = β / 2, co spełnia twierdzenie 1.

- Twierdzenie 2

Rysunek 7. Wpisane kąty o równej mierze α, ponieważ leżą pod tym samym łukiem A⌒C. Źródło: F. Zapata z Geogebra.

- Twierdzenie 3

Wpisane kąty, które składają się na akordy tej samej miary, są równe.

Rysunek 8. Wpisane kąty, które składają się na cięciwy jednakowej miary mają jednakową miarę β. Źródło: F. Zapata z Geogebra.

Przykłady

- Przykład 1

Pokaż, że wpisany kąt, który opiera się o średnicę, jest kątem prostym.

Rozwiązanie

Kąt środkowy ∠AOB powiązany ze średnicą jest kątem płaskim, którego miara wynosi 180º.

Zgodnie z twierdzeniem 1, każdy kąt wpisany w obwód leżący naprzeciw tej samej cięciwy (w tym przypadku średnicy) ma jako miarę połowę kąta środkowego leżącego naprzeciw tej samej cięciwy, który dla naszego przykładu wynosi 180º / 2 = 90º.

Rysunek 9. Każdy wpisany kąt, który występuje pod średnicą, jest kątem prostym. Źródło: F. Zapata z Geogebra.

- Przykład 2

Prosta (BC) styczna w punkcie A do obwodu C określa wpisany kąt ∠BAC (patrz rysunek 10).

Sprawdź, czy Twierdzenie 1 z wpisanych kątów jest spełnione.

Rysunek 10. Kąt wpisany BAC i jego środkowy kąt wypukły AOA. Źródło: F. Zapata z Geogebra.

Rozwiązanie

Kąt ∠BAC jest wpisany, ponieważ jego wierzchołek znajduje się na obwodzie, a jego boki [AB) i [AC) są styczne do obwodu, więc definicja kąta wpisanego jest spełniona.

Z drugiej strony wpisany kąt ∠BAC opiera się na łuku A⌒A, który stanowi cały obwód. Kąt środkowy leżący wokół łuku A⌒A jest kątem wypukłym, którego miarą jest kąt pełny (360º).

Wpisany kąt, który leży wokół całego łuku, mierzy połowę skojarzonego kąta środkowego, to znaczy ∠BAC = 360º / 2 = 180º.

Biorąc pod uwagę wszystkie powyższe, weryfikuje się, że ten konkretny przypadek spełnia Twierdzenie 1.

Bibliografia

1. Baldor. (1973). Geometria i trygonometria. Wydawnictwo kulturalne Ameryki Środkowej.
2. EA (2003). Elementy geometrii: z ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
3. Geometria 1. ESO. Kąty na obwodzie. Odzyskany z: edu.xunta.es/
4. Cała nauka. Proponowane ćwiczenia kątów w obwodzie. Odzyskane z: francesphysics.blogspot.com
5. Wikipedia. Kąt wpisany. Odzyskany z: es.wikipedia.com