KĄTY DOPEŁNIAJĄCE: KTÓRE Z NICH I JAK SĄ OBLICZANE, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Dwa lub więcej kątów jest kątami komplementarnymi, jeśli suma ich miar odpowiada kątowi prostemu. Jak wiadomo, miarą kąta prostego w stopniach jest 90º, aw radianach π / 2.

Na przykład, dwa kąty sąsiadujące z przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego są do siebie komplementarne, ponieważ suma ich miar wynosi 90º. Poniższy rysunek jest bardzo obrazowy w tym względzie:

Rysunek 1. Po lewej kilka kątów ze wspólnym wierzchołkiem. Z prawej strony kąt 60º, który uzupełnia kąt α (alfa). Źródło: F. Zapata.

W sumie cztery kąty pokazano na rysunku 1. α i β są komplementarne, ponieważ sąsiadują ze sobą, a ich suma dopełnia kąt prosty. Podobnie β jest komplementarna do γ, z czego wynika, że ​​γ i α mają taką samą miarę.

Teraz, skoro suma α i δ jest równa 90 stopni, można stwierdzić, że α i δ są komplementarne. Ponadto, ponieważ β i δ mają tę samą komplementarną α, można powiedzieć, że β i δ mają tę samą miarę.

Przykłady kątów dopełniających

Poniższe przykłady proszą o znalezienie nieznanych kątów, oznaczonych znakami zapytania na rysunku 2.

Rysunek 2. Różne przykłady uzupełniających się kątów. Źródło: F. Zapata.

- Przykłady A, B i C.

Poniższe przykłady są uporządkowane według stopnia złożoności.

Przykład A

Na powyższym rysunku mamy, że sąsiednie kąty α i 40º sumują się do kąta prostego. Czyli α + 40º = 90º, a zatem α = 90º- 40º = 50º.

Przykład B.

Ponieważ β jest komplementarna do kąta 35º, to β = 90º - 35º = 55º.

Przykład C

Z rysunku 2C mamy, że suma γ + 15º + 15º = 90º. Innymi słowy, γ jest komplementarne do kąta 30º = 15º + 15º. Po to aby:

γ = 90º - 30º = 60º

- Przykłady D, E i F

W tych przykładach zaangażowanych jest więcej kątów. Aby znaleźć niewiadome, czytelnik musi zastosować koncepcję kąta komplementarnego tyle razy, ile potrzeba.

Przykład D

Ponieważ X jest komplementarny do 72º, wynika z tego, że X = 90º - 72º = 18º. Ponadto Y jest komplementarne do X, więc Y = 90º - 18º = 72º.

Wreszcie Z jest komplementarne z Y. Z powyższego wynika, że:

Z = 90º - 72º = 18º

Przykład E.

Kąty δ i 2δ są komplementarne, dlatego δ + 2δ = 90º.

To znaczy 3δ = 90º, co oznacza, że ​​δ = 90º / 3 = 30º.

Przykład F.

Jeśli nazwiemy kąt między que a 10º U, to U jest dopełnieniem obu z nich, ponieważ obserwujemy, że ich suma dopełnia kąt prosty. Z tego wynika, że ​​U = 80º. Ponieważ U jest komplementarne do ω, to ω = 10º.

Ćwiczenia

Poniżej zaproponowano trzy ćwiczenia. W każdym z nich należy znaleźć wartość kątów A i B w stopniach, tak aby zostały spełnione zależności pokazane na rysunku 3.

Rysunek 3. Ilustracje uzupełniających ćwiczeń kąta. Źródło: F. Zapata.

- Ćwiczenie 1

Wyznacz wartości kątów A i B z części I) z rysunku 3.

Rozwiązanie

Z przedstawionego rysunku widać, że A i B są komplementarne, a zatem A + B = 90º. Zastępujemy wyrażenie na A i B w funkcji x podanej w części I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Następnie terminy są odpowiednio pogrupowane i otrzymujemy proste równanie liniowe:

(5x / 2) + 22 = 90

Odejmując 22 w obu członach otrzymujemy:

5x / 2 = 90-22 = 68

I wreszcie wartość x jest wyczyszczona:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Teraz kąt A znajduje się, podstawiając wartość X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 °.

Podczas gdy kąt B wynosi:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 = 69,4º.

- Ćwiczenie 2

Znajdź wartości kątów A i B obrazu II, rysunek 3.

Rozwiązanie

Ponownie, ponieważ A i B są kątami komplementarnymi, wynika z tego, że: A + B = 90º. Podstawiając wyrażenie na A i B jako funkcję x podaną w części II) rysunku 3, otrzymujemy:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Podobne terminy są zgrupowane razem, aby otrzymać równanie:

6 x + 30 = 90

Dzieląc obu członków przez 6, otrzymujesz:

x + 5 = 15

Z tego wynika, że ​​x = 10º.

A zatem:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80º.

- Ćwiczenie 3

Wyznacz wartości kątów A i B z części III) z rysunku 3.

Rozwiązanie

Ponownie figura jest dokładnie analizowana, aby znaleźć dopełniające się kąty. W tym przypadku mamy A + B = 90 stopni. Podstawiając wyrażenie na A i B jako funkcję x podaną na rysunku, otrzymujemy:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Dzielenie obu członków przez 3 daje następujące wyniki:

x + 10 = 30

Z tego wynika, że ​​x = 20º.

Innymi słowy, kąt A = -20 +45 = 25º. A ze swojej strony: B = 4 * 20-15 = 65º.

Prostopadłe kąty boczne

Mówi się, że dwa kąty mają prostopadłe boki, jeśli każdy bok ma odpowiadający mu prostopadły na drugim. Poniższy rysunek wyjaśnia tę koncepcję:

Rysunek 4. Kąty prostopadłych boków. Źródło: F. Zapata.

Na rysunku 4 obserwuje się na przykład kąty α i θ. Teraz zauważ, że każdy kąt ma odpowiadającą mu prostopadłość pod innym kątem.

Widać również, że α i θ mają ten sam komplementarny kąt z, dlatego obserwator natychmiast wyciąga wniosek, że α i θ mają tę samą miarę. Wydaje się więc, że jeśli dwa kąty mają boki prostopadłe do siebie, to są równe, ale spójrzmy na inny przypadek.

Rozważmy teraz kąty α i ω. Te dwa kąty mają również odpowiadające sobie prostopadłe boki, jednak nie można powiedzieć, że są równej miary, ponieważ jeden jest ostry, a drugi rozwarty.

Zauważ, że ω + θ = 180º. Ponadto θ = α. Jeśli podstawisz to wyrażenie za z w pierwszym równaniu, otrzymasz:

δ + α = 180º, gdzie δ i α są wzajemnie prostopadłymi kątami boków.

Ogólna reguła dla kątów prostopadłych boków

1. Baldor, JA 1973. Geometria płaszczyzny i przestrzeni. Kultura Ameryki Środkowej.
2. Prawa i wzory matematyczne. Systemy pomiaru kątów. Odzyskany z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Geometria płaszczyzny. Odzyskane z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Kąty komplementarne. Odzyskany z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Przenośnik. Odzyskany z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historia, części, działanie. Odzyskany z: lifeder.com