RÓWNOLEGŁOŚCIAN: CHARAKTERYSTYKA, TYPY, POWIERZCHNIA, OBJĘTOŚĆ - MATEMATYKA - 2025

Równoległościanu geometryczna ciała składa się z sześciu ścian, którego główną cechą jest to, że wszystkie jego powierzchni są równoległobokami i również, że jego przeciwległe powierzchnie są równoległe do siebie. Jest to powszechny wielościan w naszym codziennym życiu, ponieważ możemy go znaleźć w pudełkach na buty, kształcie cegły, kształcie kuchenki mikrofalowej itp.

Będąc wielościanem, równoległościan otacza skończoną objętość, a wszystkie jego ściany są płaskie. Należy do grupy graniastosłupów, czyli tych wielościanów, w których wszystkie wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach.

Elementy równoległościanu

Twarze

Są to każdy z regionów utworzonych przez równoległoboki, które ograniczają równoległościan. Równoległościan ma sześć ścian, z których każda ma cztery sąsiednie ściany i jedną przeciwległą. Ponadto każda twarz jest równoległa do swojej przeciwnej.

Krawędzie

Są wspólną stroną dwóch twarzy. W sumie równoległościan ma dwanaście krawędzi.

Wierzchołek

Jest to wspólny punkt trzech ścian sąsiadujących ze sobą po dwa. Równoległościan ma osiem wierzchołków.

Przekątna

Mając dwie ściany równoległościanu naprzeciw siebie, możemy narysować odcinek linii biegnący od wierzchołka jednej ściany do przeciwległego wierzchołka drugiej.

Segment ten nazywany jest przekątną równoległościanu. Każdy równoległościan ma cztery przekątne.

Środek

Jest to punkt, w którym przecinają się wszystkie przekątne.

Charakterystyka równoległościanu

Jak już wspomnieliśmy, to ciało geometryczne ma dwanaście krawędzi, sześć ścian i osiem wierzchołków.

W równoległościanie można zidentyfikować trzy zestawy utworzone przez cztery krawędzie, które są równoległe do siebie. Ponadto krawędzie wspomnianych zestawów mają również tę samą długość.

Inną właściwością równoległościanów jest to, że są wypukłe, to znaczy, jeśli weźmiemy jakąkolwiek parę punktów należących do wnętrza równoległościanu, odcinek określony przez tę parę punktów będzie również znajdował się w równoległościanie.

Ponadto równoległościany będące wypukłymi wielościanami są zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach, co daje nam związek między liczbą ścian, liczbą krawędzi i liczbą wierzchołków. Zależność ta jest podana w postaci następującego równania:

C + V = A + 2

Ta cecha jest znana jako cecha Eulera.

Gdzie C to liczba ścian, V to liczba wierzchołków, a A to liczba krawędzi.

Rodzaje

Możemy podzielić równoległościany na podstawie ich twarzy na następujące typy:

Ortoedr

Są to równoległościany, których twarze są utworzone przez sześć prostokątów. Każdy prostokąt jest prostopadły do ​​tych, które mają wspólną krawędź. Są najczęściej spotykane w naszym codziennym życiu, są to zwykłe pudełka po butach i cegły.

Zwykły sześcian lub sześcian

To szczególny przypadek poprzedniego, w którym każda z twarzy jest kwadratem.

Sześcian jest również częścią ciał geometrycznych zwanych bryłami platońskimi. Bryła platońska jest wypukłym wielościanem, tak że zarówno jej ściany, jak i kąty wewnętrzne są sobie równe.

Romboedr

Jest to równoległościan z rombami na twarzy. Te romby są sobie równe, ponieważ mają wspólne krawędzie.

Romboedr

Jego sześć ścian jest romboidalnych. Przypomnij sobie, że romboid to wielokąt o czterech bokach i czterech kątach równych od dwóch do dwóch. Romboidy to równoległoboki, które nie są ani kwadratami, ani prostokątami, ani rombami.

Z drugiej strony ukośne równoległościany to takie, w których przynajmniej jedna wysokość nie pokrywa się z ich krawędzią. W tej klasyfikacji możemy uwzględnić romboedry i romboedry.

Obliczanie przekątnych

Aby obliczyć przekątną prostokąta, możemy użyć twierdzenia Pitagorasa dla R ³ .

Przypomnij sobie, że ortodon ma tę cechę, że każdy bok jest prostopadły do ​​boków, które mają wspólną krawędź. Z tego faktu możemy wywnioskować, że każda krawędź jest prostopadła do tych, które mają wspólny wierzchołek.

Aby obliczyć długość przekątnej prostokąta, postępujemy w następujący sposób:

1. Obliczamy przekątną jednej z twarzy, którą postawimy jako podstawę. W tym celu używamy twierdzenia Pitagorasa. Nazwijmy tę przekątną d _b .

2. Następnie za pomocą d _b możemy utworzyć nowy trójkąt prostokątny, taki że przeciwprostokątna tego trójkąta jest poszukiwaną przez nas przekątną D.

3. Ponownie używamy twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy, że długość tej przekątnej wynosi:

Innym sposobem obliczania przekątnych w bardziej graficzny sposób jest dodanie wektorów swobodnych.

Przypomnijmy, że dwa wektory swobodne A i B są dodawane przez umieszczenie ogona wektora B końcówką wektora A.

Wektor (A + B) to ten, który zaczyna się na ogonie A i kończy na końcu B.

Rozważmy równoległościan, dla którego chcemy obliczyć przekątną.

Identyfikujemy krawędzie za pomocą wygodnie zorientowanych wektorów.

Następnie dodajemy te wektory, a wynikowy wektor będzie przekątną równoległościanu.

Powierzchnia

Pole powierzchni równoległościanu jest sumą każdego z obszarów jego ścian.

Jeśli jako podstawę określimy jedną ze stron,

A _L + 2A _B = Całkowita powierzchnia

Gdzie A _L jest równe sumie powierzchni wszystkich boków przylegających do podstawy, zwanych obszarem bocznym, a A _B jest obszarem podstawy.

W zależności od typu równoległościanu, z którym pracujemy, możemy przepisać ten wzór.

Pole prostopadłościanu

Wynika to ze wzoru

A = 2 (ab + bc + ca).

Przykład 1

Mając następujący prostopadłościan o bokach a = 6 cm, b = 8 cm ic = 10 cm, oblicz pole powierzchni równoległościanu i długość jego przekątnej.

Korzystając ze wzoru na pole prostokąta mamy to

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Zauważ, że ponieważ jest to prostopadłościan, długość każdej z jego czterech przekątnych jest taka sama.

Używając twierdzenia Pitagorasa dla przestrzeni, mamy to

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Powierzchnia sześcianu

Ponieważ każda krawędź ma taką samą długość, mamy to, że a = b i a = c. Zastępując w poprzedniej formule, którą mamy

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Przykład 2

Pudełko konsoli do gier ma kształt sześcianu. Jeśli chcemy owinąć to pudełko papierem do pakowania, ile papieru wydalibyśmy, wiedząc, że długość krawędzi sześcianu wynosi 45 cm?

Korzystając ze wzoru na pole sześcianu, otrzymujemy to

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Powierzchnia romboedru

Ponieważ wszystkie ich twarze są takie same, po prostu oblicz powierzchnię jednej z nich i pomnóż ją przez sześć.

Mamy, że pole powierzchni rombu można obliczyć na podstawie jego przekątnych za pomocą następującego wzoru

A _R = (Dd) / 2

Z tego wzoru wynika, że ​​całkowita powierzchnia romboedru wynosi

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Przykład 3

Ściany kolejnego romboedru są utworzone przez romb o przekątnych D = 7 cm id = 4 cm. Twój obszar będzie

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ² .

Powierzchnia romboedru

Aby obliczyć pole romboedru, musimy obliczyć pole składających się na niego romboidów. Ponieważ równoległościany spełniają tę właściwość, że przeciwległe boki mają tę samą powierzchnię, możemy skojarzyć boki w trzech parach.

W ten sposób mamy pewność, że Twój obszar będzie

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Gdzie b _i są podstawami związanymi z bokami, a h _i ich względną wysokością odpowiadającą tym podstawom.

Przykład 4

Rozważmy następujący równoległościan,

gdzie bok A i bok A '(jego przeciwna strona) mają podstawę b = 10 i wysokość h = 6. Zaznaczony obszar będzie miał wartość

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B i B 'mają b = 4 i h = 6, więc

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC i C 'mają zatem b = 10 i h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Wreszcie pole romboedru to

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Objętość równoległościanu

Formuła, która daje nam objętość równoległościanu, jest iloczynem powierzchni jednej z jego ścian przez wysokość odpowiadającą tej ścianie.

V = A _C h _C.

W zależności od rodzaju równoległościanu wzór ten można uprościć.

Mamy więc na przykład, że objętość ortogonalności byłaby podana przez

V = abc.

Gdzie a, b i c reprezentują długość krawędzi ortościanu.

A w konkretnym przypadku sześcianu jest

V = a ³

Przykład 1

Istnieją trzy różne modele pudełek na ciasteczka i chcesz wiedzieć, w którym z tych modeli możesz przechowywać więcej plików cookie, to znaczy, który z pudełek ma największą objętość.

Pierwsza to sześcian, którego krawędź ma długość a = 10 cm

Jego objętość wyniesie V = 1000 cm ³

Drugi ma krawędzie b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

A zatem jego objętość wynosi V = 765 cm ³

A trzeci ma e = 9 cm, f = 9 cm i g = 13 cm

A jego objętość wynosi V = 1053 cm ³

Dlatego pudełko o największej objętości jest trzecim.

Inną metodą uzyskania objętości równoległościanu jest użycie algebry wektorów. W szczególności iloczyn potrójnej kropki.

Jedną z geometrycznych interpretacji, które ma potrójny iloczyn skalarny, jest objętość równoległościanu, którego krawędzie są trzema wektorami, które mają ten sam wierzchołek co punkt początkowy.

W ten sposób, jeśli mamy równoległościan i chcemy wiedzieć, jaka jest jego objętość, wystarczy przedstawić go w układzie współrzędnych w R ^3, sprawiając, że jeden z jego wierzchołków pokrywa się z początkiem.

Następnie przedstawiamy krawędzie, które pokrywają się na początku z wektorami, jak pokazano na rysunku.

W ten sposób mamy, że objętość wspomnianego równoległościanu jest określona przez

V = - AxB ∙ C-

Lub, równoważnie, objętość jest wyznacznikiem macierzy 3 × 3, utworzonej przez składniki wektorów krawędzi.

Przykład 2

Przedstawiając następujący równoległościan w R ³ , widzimy, że wektory, które go określają, są następujące

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) oraz w = (-0,25, -4, 4)

Korzystając z naszego potrójnego iloczynu skalarnego

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Z tego wnioskujemy, że V = 60

Rozważmy teraz następujący równoległościan w R3, którego krawędzie są określone przez wektory

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) i C = (3, 4, 4)

Daje nam to użycie wyznaczników

Zatem mamy, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 112.

Oba są równoważnymi sposobami obliczania objętości.

Idealny równoległościan

Prostokąt jest znany jako cegła Eulera (lub blok Eulera), która spełnia tę właściwość, że zarówno długość jego krawędzi, jak i długość przekątnych każdej z jego ścian są liczbami całkowitymi.

Chociaż Euler nie był pierwszym naukowcem, który zbadał ortoedry spełniające tę właściwość, znalazł na ich temat interesujące wyniki.

Najmniejszą cegłę Eulera odkrył Paul Halcke, a jej krawędzie mają długość a = 44, b = 117 ic = 240.

Otwarty problem w teorii liczb jest następujący

Czy istnieją doskonałe ortoedry?

Obecnie na to pytanie nie udzielono odpowiedzi, ponieważ nie udało się udowodnić, że takie organy nie istnieją, ale żadnego nie znaleziono.

Jak dotąd wykazano, że istnieją doskonałe równoległościany. Pierwsza odkryta ma długość krawędzi równą 103, 106 i 271.

Bibliografia

1. Guy, R. (1981). Nierozwiązane problemy teorii liczb. Skoczek.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Postęp.
3. Leithold, L. (1992). Obliczenia z geometrią analityczną. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Rysunek techniczny: zeszyt ćwiczeń 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D. i Krane, K. (2001). Fizyka, tom 1. Meksyk: kontynentalny.