CENTRALNA SYMETRIA: WŁAŚCIWOŚCI, PRZYKŁADY I ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Dwa punkty A i A 'mają centralną symetrię względem punktu O, gdy przechodzi przez niego odcinek AA' i jest to również środek AA '. Punkt O nazywany jest środkiem symetrii.

Centralna symetria trójkąta ABC względem punktu O to kolejny trójkąt A'B'C ', który ma następujące cechy:

-Segmenty homologiczne mają jednakową długość

-Ich odpowiadające im kąty mają tę samą miarę.

Rysunek 1. Trójkąt ABC i jego symetryczne A'B'C '. Źródło: F. Zapata.

Rysunek 1 pokazuje trójkąt ABC (czerwony) i jego centralną symetrię A'B'C '(zielony) w odniesieniu do środka symetrii O.

Na tej samej figurze uważny obserwator zdałby sobie sprawę, że ten sam wynik można uzyskać stosując obrót oryginalnego trójkąta, o ile ma on 180º i jest wyśrodkowany w punkcie O.

Dlatego symetria środkowa jest równoważna obróceniu o 180º względem środka symetrii.

Własności symetrii centralnej

Centralna symetria ma następujące właściwości:

-Środek symetrii to środek odcinka, który łączy punkt z jego symetrią.

-Symetryczny punkt drugiego, który znajduje się w środku symetrii, pokrywa się ze środkiem symetrii.

-Centralna symetria trójkąta to przystający trójkąt (równy) z oryginałem.

-Obraz według centralnej symetrii koła jest kolejnym okręgiem o równym promieniu.

-Obwód ma centralną symetrię względem własnego środka.

Rysunek 2. Projekt z centralną symetrią. Źródło: Pixabay.

-Elipsa ma centralną symetrię względem jej środka.

-Segment ma centralną symetrię względem swojego środka.

-Trójkąt równoboczny nie ma centralnej symetrii względem swojego środka, ponieważ jego symetria, chociaż przystająca do pierwszego, daje obrócony trójkąt równoboczny.

-Kwadraty mają centralną symetrię względem ich środka.

-Pentagon nie ma centralnej symetrii w odniesieniu do jego środka.

-Regularne wielokąty mają centralną symetrię, gdy mają parzystą liczbę boków.

Przykłady

Kryteria symetrii mają wiele zastosowań w nauce i inżynierii. Centralna symetria występuje w przyrodzie, na przykład kryształki lodu i pajęczyny mają tego rodzaju symetrię.

Ponadto wiele problemów można łatwo rozwiązać, korzystając z istnienia symetrii centralnej i innych rodzajów symetrii. Dlatego wygodnie jest szybko zidentyfikować, kiedy to nastąpi.

Rysunek 3. Kryształy lodu mają centralną symetrię. Źródło: Pixabay.

Przykład 1

Mając punkt P o współrzędnych (a, b), musimy znaleźć współrzędne jego symetrycznego P 'względem początku O współrzędnych (0, 0).

Pierwszą rzeczą jest skonstruowanie punktu P ', dla którego jest rysowana prosta przechodząca przez początek O i punkt P. Równanie tej prostej to y = (b / a) x.

Teraz nazwijmy (a ', b') współrzędne punktu symetrycznego P '. Punkt P 'musi leżeć na prostej przechodzącej przez O i dlatego jest prawdą: b' = (b / a) a '. Ponadto odległość PO musi być równa OP ', co w formie analitycznej jest zapisane w następujący sposób:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Oto podstawienie b '= w poprzednim wyrażeniu i podniesienie do kwadratu obu stron równości w celu wyeliminowania pierwiastka kwadratowego: (a ² + b ² ) =

Wyodrębniając wspólny czynnik i upraszczając, otrzymujemy, że a ' ² = a ² . To równanie ma dwa rzeczywiste rozwiązania: a '= + a lub a' = -a.

Aby uzyskać b ', ponownie używamy b' = (b / a) a '. Jeśli dodatnie rozwiązanie a 'jest podstawione, dochodzimy do tego, że b' = b. A kiedy zostanie podstawione rozwiązanie ujemne, wtedy b '= -b.

Dodatnie rozwiązanie daje P 'ten sam punkt P, więc jest odrzucane. Ujemne rozwiązanie zdecydowanie podaje współrzędne punktu symetrycznego:

P ': (-a, -b)

Przykład 2

Wymagane jest wykazanie, że odcinek AB i jego centralny symetryczny A'B 'mają tę samą długość.

Zaczynając od współrzędnych punktu A, którymi są (Ax, Ay) i punktu B: (Bx, By), długość odcinka AB jest określona wzorem:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

Analogicznie, symetryczny odcinek A'B 'będzie miał długość określoną wzorem:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (By' - Ay ') ² )

Współrzędne punktu symetrycznego A 'to Ax' = -Ax i Ay '= -Ay. Podobnie te z B 'to Bx' = -Bx i By '= -By. Jeśli te współrzędne zostaną podstawione do równania odległości d (A'B '), otrzymamy:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) co jest równoważne z:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

W ten sposób pokazano, że oba segmenty mają tę samą długość.

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Pokaż analitycznie, że centralne symetryczne O okręgu o promieniu R i środku O jest tym samym oryginalnym okręgiem.

Rozwiązanie

Równanie koła o promieniu R i środku O (0,0) to:

x ² + y ² = R ² (równanie obwodu C)

Jeśli w każdym punkcie P obwodu y współrzędnych (x, y) znajdzie się jego symetryczna P 'współrzędnych (x', y '), równanie obwodu symetrycznego wygląda następująco:

x ' ² + y' ² = R ² (Równanie koła symetrycznego C ')

Teraz odwołujemy się do wyniku przykładu 1, z którego wywnioskowano, że współrzędne punktu P ', symetrycznego do P i o współrzędnych (a, b), to (-a, -b).

Ale w tym ćwiczeniu punkt P ma współrzędne (x, y), więc jego symetryczny P 'będzie miał współrzędne x' = -xe y '= -y. Zastępując to w równaniu koła symetrycznego, mamy:

(X) ² + (-y) ² = R ²

Co jest równoważne z: x ² + y ² = R ² , wnioskując, że centralną symetrią koła względem jego środka jest sam okrąg.

- Ćwiczenie 2

Pokaż w formie geometrycznej, że centralna symetria zachowuje kąty.

Rozwiązanie

Rysunek 4. Budowa punktów symetrycznych do ćwiczenia 2. Źródło: F. Zapata.

Na płaszczyźnie znajdują się trzy punkty A, B i C. Jego symetrie A ', B' i C 'są skonstruowane w odniesieniu do środka symetrii O, jak pokazano na rysunku 4.

Teraz musimy pokazać, że kąt ∡ABC = β ma taką samą miarę jak kąt ∡A'B'C '= β'.

Ponieważ C i C 'są symetryczne, to OC = OC'. Podobnie OB = OB 'i OA = OA'. Z drugiej strony, kąt ∡BOC = ∡B'OC ', ponieważ przeciwstawia im wierzchołek.

Dlatego trójkąty BOC i B'OC 'są przystające, ponieważ mają równy kąt między dwoma równymi bokami.

Ponieważ BOC jest przystające do B'OC ', to kąty γ i γ' są równe. Ale te kąty, oprócz spełnienia γ = γ ', są wewnętrznymi zamiennikami między prostymi BC i B'C', co oznacza, że ​​prosta BC jest równoległa do B'C '.

Podobnie BOA jest przystające do B'OA ', z którego wynika, że ​​α = α'. Ale α i α 'są naprzemiennymi kątami wewnętrznymi między prostymi BA i B'A', z których wynika, że ​​prosta BA jest równoległa do B'A '.

Ponieważ kąt ∡ABC = β ma boki równoległe do kąta ∡A'B'C '= β', a także oba są ostre, można wyciągnąć wniosek, że:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Udowodnienie w ten sposób, że centralna symetria zachowuje miarę kątów.

Bibliografia

1. Baldor, JA 1973. Geometria płaszczyzny i przestrzeni. Kultura Ameryki Środkowej.
2. Prawa i wzory matematyczne. Systemy pomiaru kątów. Odzyskany z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Geometria płaszczyzny. Odzyskane z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Centralna symetria. Odzyskany z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Przenośnik. Odzyskany z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Sprzężone kąty wewnętrzne i zewnętrzne. Odzyskany z: lifeder.com