Twierdzenie Bayesa jest to procedura, która pozwala nam na wyrażenie warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia losowego danej B, pod względem rozkładu prawdopodobieństwa zdarzenia A i B od rozkładu prawdopodobieństwa tylko A.
Twierdzenie to jest bardzo przydatne, ponieważ dzięki niemu możemy powiązać prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A wiedząc, że wystąpiło B, z prawdopodobieństwem, że zachodzi odwrotnie, to znaczy, że B zachodzi przy danym A.
Twierdzenie Bayesa było srebrną propozycją wielebnego Thomasa Bayesa, osiemnastowiecznego angielskiego teologa, który był również matematykiem. Był autorem kilku prac teologicznych, ale obecnie znany jest z kilku traktatów matematycznych, wśród których głównym rezultatem jest wspomniane twierdzenie Bayesa.
Bayes zajął się tym twierdzeniem w pracy zatytułowanej "An Essay into solution of a Problem in the Doctrine of Chances", opublikowanej w 1763 r., Na podstawie której opracowano duże liczby. studia z zastosowaniami w różnych dziedzinach wiedzy.
Wyjaśnienie
Po pierwsze, dla lepszego zrozumienia tego twierdzenia niezbędne są pewne podstawowe pojęcia z teorii prawdopodobieństwa, zwłaszcza twierdzenie o mnożeniu dla prawdopodobieństwa warunkowego, które stwierdza, że
Dla dowolnych zdarzeń E i A w przestrzeni próbnej S.
I definicja partycji, która mówi nam, że jeśli mamy A 1 , A 2 , …, A n zdarzeń z przestrzeni próbnej S, to utworzą one partycję S, jeśli A i są wzajemnie wykluczające się, a ich związek to S.
Biorąc to pod uwagę, niech B będzie kolejnym wydarzeniem. Więc możemy zobaczyć B jako
Tam, gdzie A i przecina się z B, są wzajemnie wykluczające się zdarzenia.
W konsekwencji
Następnie stosując twierdzenie o mnożeniu
Z drugiej strony warunkowe prawdopodobieństwo Ai danego B jest określone przez
Zastępując odpowiednio, mamy to dla dowolnego i
Zastosowania twierdzenia Bayesa
Dzięki temu wynikowi grupom badawczym i różnym korporacjom udało się udoskonalić systemy oparte na wiedzy.
Na przykład w badaniu chorób twierdzenie Bayesa może pomóc w ustaleniu prawdopodobieństwa wystąpienia choroby w grupie osób o danej charakterystyce, biorąc za dane globalne wskaźniki zachorowań i rozpowszechnienie tych cech w zarówno zdrowych, jak i chorych.
Z drugiej strony w świecie wysokich technologii wpłynął na duże firmy, które dzięki temu efektowi rozwinęły oprogramowanie „Wiedzy”.
Jako codzienny przykład mamy asystenta Microsoft Office. Twierdzenie Bayesa pomaga oprogramowaniu ocenić problemy, które przedstawia użytkownik i określić, jakie porady mu udzielić, a tym samym być w stanie zaoferować lepszą obsługę zgodnie z nawykami użytkownika.
Warto zauważyć, że formuła ta była ignorowana do niedawna, głównie dlatego, że gdy ten wynik został opracowany 200 lat temu, nie było dla nich praktycznego zastosowania. Jednak w naszych czasach, dzięki dużemu postępowi technologicznemu, naukowcy znaleźli sposoby na zastosowanie tego wyniku w praktyce.
Rozwiązane ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Firma telefonii komórkowej ma dwie maszyny A i B. 54% produkowanych telefonów komórkowych to maszyna A, a reszta to maszyna B. Nie wszystkie wyprodukowane telefony komórkowe są w dobrym stanie.
Odsetek wadliwych telefonów komórkowych wyprodukowanych przez A wynosi 0,2, a przez B - 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon komórkowy z tej fabryki jest uszkodzony? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wiedząc, że telefon komórkowy jest uszkodzony, pochodzi on z maszyny A?
Rozwiązanie
Tutaj masz eksperyment, który składa się z dwóch części; w pierwszej części zachodzą zdarzenia:
Odp.: Komórka wykonana przez maszynę A.
B: komórka wykonana przez maszynę B.
Ponieważ maszyna A wytwarza 54% telefonów komórkowych, a reszta jest produkowana przez maszynę B, wynika z tego, że maszyna B wytwarza 46% telefonów komórkowych. Podane są prawdopodobieństwa wystąpienia tych zdarzeń, a mianowicie:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Wydarzenia drugiej części eksperymentu to:
D: uszkodzony telefon komórkowy.
E: nieuszkodzony telefon komórkowy.
Jak stwierdzono w oświadczeniu, prawdopodobieństwo tych zdarzeń zależy od wyniku uzyskanego w pierwszej części:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Korzystając z tych wartości, można również wyznaczyć prawdopodobieństwa uzupełnień tych zdarzeń, czyli:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
i
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Teraz zdarzenie D można zapisać następująco:
Korzystanie z twierdzenia o mnożeniu dla wyników prawdopodobieństwa warunkowego:
Po czym odpowiedź na pierwsze pytanie.
Teraz musimy tylko obliczyć P (AD), do którego stosuje się twierdzenie Bayesa:
Dzięki twierdzeniu Bayesa można stwierdzić, że prawdopodobieństwo, że telefon komórkowy został wykonany przez maszynę A, wiedząc, że telefon komórkowy jest uszkodzony, wynosi 0,319.
Ćwiczenie 2
Trzy pudełka zawierają czarne i białe kulki. Skład każdego z nich jest następujący: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Jedno z pudełek jest wybierane losowo i losowana jest kulka, która okazuje się być biała. Jakie pudło zostało najprawdopodobniej wybrane?
Rozwiązanie
Używając U1, U2 i U3, będziemy również reprezentować wybrane pole.
Zdarzenia te stanowią podział S i weryfikuje się, że P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, ponieważ wybór skrzynki jest losowy.
Jeśli B = {wylosowana piłka jest biała}, otrzymamy P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Chcemy uzyskać prawdopodobieństwo, że piłka została wyjęta z pudełka Ui wiedząc, że wspomniana piłka była biała, to znaczy P (Ui -B), i zobaczyć, która z trzech wartości była najwyższa, aby wiedzieć, o której box był najprawdopodobniej wyjęciem bila.
Stosując twierdzenie Bayesa do pierwszego z prostokątów:
A dla pozostałych dwóch:
P (U2-B) = 2/6 i P (U3-B) = 1/6.
Wtedy pierwsze z pudełek jest tym z największym prawdopodobieństwem, że zostało wybrane do wyciągnięcia bili białej.
Bibliografia
- Kai Lai Chung. Elementarna teoria proability z procesami stochastycznymi. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen, matematyka dyskretna i jej zastosowania. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Prawdopodobieństwo i aplikacje statystyczne. SA ALHAMBRA MEKSYKANA.
- Dr Seymour Lipschutz 2000 Rozwiązane problemy matematyki dyskretnej. McGRAW-HILL.
- Dr Seymour Lipschutz Problemy teorii i prawdopodobieństwa. McGRAW-HILL.