PODSTAWOWE TWIERDZENIE ARYTMETYKI: DOWÓD, ZASTOSOWANIA, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2024

Podstawowym twierdzenie arytmetyki wynika, że każdy liczbą naturalną większą niż 1, mogą być rozkładane jako iloczyn liczby pierwsze - niektóre mogą być powtarzane - a forma jest unikalna dla tej funkcji, ale kolejność współczynników mogą być różne.

Przypomnijmy, że liczba pierwsza p to taka, która przyjmuje tylko siebie i 1 jako dodatnie dzielniki. Następujące liczby są liczbami pierwszymi: 2, 3, 5, 7, 11, 13 i tak dalej, ponieważ istnieją nieskończoności. Liczba 1 nie jest uważana za liczbę pierwszą, ponieważ ma tylko jeden dzielnik.

Rysunek 1. Euclid (po lewej) udowodnił fundamentalne twierdzenie arytmetyki w swojej książce Elements (350 pne), a pierwszy kompletny dowód należy do Carla F. Gaussa (1777-1855) (po prawej). Źródło: Wikimedia Commons.

Ze swojej strony liczby, które nie są zgodne z powyższym, nazywane są liczbami złożonymi, takimi jak 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Weźmy na przykład liczbę 10 i od razu widzimy, że można ją rozłożyć jako iloczyn 2 i 5:

10 = 2 × 5

Zarówno 2, jak i 5 są w rzeczywistości liczbami pierwszymi. Twierdzenie stwierdza, że ​​jest to możliwe dla dowolnej liczby n:

Gdzie p ₁ , p ₂ , p ₃ … p _r to liczby pierwsze, a k ₁ , k ₂ , k ₃ ,… k _r to liczby naturalne. Tak więc liczby pierwsze działają jak bloki budulcowe, z których, poprzez mnożenie, budowane są liczby naturalne.

Dowód podstawowego twierdzenia arytmetyki

Zaczynamy od pokazania, że ​​każdą liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze. Niech będzie liczbą naturalną n> 1, liczbą pierwszą lub złożoną.

Na przykład, jeśli n = 2, można to wyrazić jako: 2 = 1 × 2, co jest liczbą pierwszą. W ten sam sposób postępuj z następującymi liczbami:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Kontynuujemy w ten sposób, rozkładając wszystkie liczby naturalne, aż osiągniemy liczbę n -1. Zobaczmy, czy możemy to zrobić z następującym numerem: n.

Jeśli n jest liczbą pierwszą, możemy ją rozłożyć na n = 1 × n, ale załóżmy, że n jest złożona i ma dzielnik d, logicznie mniejszy niż n:

1 <d <n.

Jeśli n / d = p ₁ , gdzie p ₁ jest liczbą pierwszą, to n jest zapisane jako:

n = p ₁ .d

Jeśli d jest liczbą pierwszą, nie ma więcej do zrobienia, ale jeśli nie, istnieje liczba n _2, która jest dzielnikiem di mniej niż to: n ₂ <d, więc d można zapisać jako iloczyn n ₂ przez inny liczba pierwsza p ₂ :

d = p ₂ n ₂

To, że podstawiając pierwotną liczbę n, dałoby:

n = p ₁ .p ₂ .N ₂

Teraz przypuśćmy, że n _{2 również} nie jest liczbą pierwszą i zapisujemy ją jako iloczyn liczby pierwszej p ₃ , przez jej dzielnik n ₃ , czyli n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p _3. n ₃ → n = p ₁ p ₂ p _3. n ₃

Powtarzamy tę procedurę skończoną liczbę razy, aż otrzymamy:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … P _r

Oznacza to, że można rozłożyć wszystkie liczby całkowite od 2 do liczby n, jako iloczyn liczb pierwszych.

Wyjątkowość faktoryzacji pierwszej

Sprawdźmy teraz, czy poza kolejnością czynników ten rozkład jest niepowtarzalny. Załóżmy, że n można zapisać na dwa sposoby:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r = q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s (gdzie r ≤ s)

Oczywiście q ₁ , q ₂ , q ₃ … to też liczby pierwsze. Ponieważ p ₁ dzieli (q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s ), to p ₁ jest równe jednemu z „q”, nie ma znaczenia, który z nich, więc możemy powiedzieć, że p ₁ = q ₁ . Dzielimy n przez p ₁ i otrzymujemy:

P ₂ .p ₃ … P _r = _. q ₂ .q ₃ … ..q _s

Powtarzamy procedurę, aż podzielimy wszystko przez p _r , wtedy otrzymujemy:

1 = q _{r + 1} … q _s

Ale nie jest możliwe osiągnięcie q _{r + 1} … q _s = 1, gdy r <s, tylko jeśli r = s. Chociaż przyznając, że r = s, przyznaje się również, że „p” i „q” są takie same. Dlatego rozkład jest wyjątkowy.

Aplikacje

Jak powiedzieliśmy wcześniej, liczby pierwsze reprezentują, jeśli wolisz, atomy tych liczb, ich podstawowe składniki. Tak więc fundamentalne twierdzenie arytmetyki ma wiele zastosowań, z których najbardziej oczywiste: możemy łatwiej pracować z dużymi liczbami, jeśli wyrazimy je jako iloczyn mniejszych liczb.

W ten sam sposób możemy znaleźć największą wspólną wielokrotność (LCM) i największy wspólny dzielnik (GCF), procedurę, która pomaga nam łatwiej dodawać ułamki, znajdować pierwiastki dużych liczb lub operować rodnikami, racjonalizować i rozwiązywać problemy aplikacyjne o bardzo zróżnicowanym charakterze.

Ponadto liczby pierwsze są niezwykle zagadkowe. Nie jest w nich jeszcze rozpoznany wzór i nie wiadomo, który będzie następny. Największa jak dotąd została znaleziona przez komputery i ma 24 862 048 cyfr, chociaż nowe liczby pierwsze za każdym razem pojawiają się rzadziej.

Liczby pierwsze w przyrodzie

Cykady, cykady lub cykady, które żyją w północno-wschodniej części Stanów Zjednoczonych, pojawiają się w cyklach 13 lub 17 lat. Obie są liczbami pierwszymi.

W ten sposób cykady unikają zbiegania się z drapieżnikami lub konkurentami, którzy mają inne okresy urodzenia, ani też różne odmiany cykad nie konkurują ze sobą, ponieważ nie pokrywają się one w tym samym roku.

Rysunek 2. Cykada Magicicada we wschodnich Stanach Zjednoczonych pojawia się co 13 do 17 lat. Źródło: Pxfuel.

Liczby pierwsze i zakupy online

Liczby pierwsze są używane w kryptografii do zachowania tajemnicy danych karty kredytowej podczas dokonywania zakupów przez Internet. W ten sposób dane, które kupujący docierają do sklepu precyzyjnie, nie giną ani nie wpadają w ręce osób pozbawionych skrupułów.

W jaki sposób? Dane na kartach są zakodowane w liczbie N, którą można wyrazić jako iloczyn liczb pierwszych. Te liczby pierwsze są kluczem, który ujawniają dane, ale są one nieznane opinii publicznej, można je zdekodować tylko w sieci, do której są kierowane.

Rozłożenie liczby na czynniki jest łatwym zadaniem, jeśli liczby są małe (patrz rozwiązane ćwiczenia), ale w tym przypadku jako klucz używane są liczby pierwsze 100 cyfr, które po ich pomnożeniu dają znacznie większe liczby, których szczegółowy rozkład wiąże się z ogromnym zadaniem .

Rozwiązane ćwiczenia

- Ćwiczenie 1

Podziel 1029 na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

1029 jest podzielne przez 3. Jest to znane, ponieważ dodając jego cyfry, suma jest wielokrotnością 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Ponieważ kolejność czynników nie zmienia iloczynu, możemy zacząć od tego:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Z drugiej strony 343 = 7 ³ , to:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

A ponieważ zarówno 3, jak i 7 są liczbami pierwszymi, jest to rozkład 1029.

- Ćwiczenie 2

Uwzględnij trójmian x ² + 42x + 432.

Rozwiązanie

Trójmian jest przepisywany w postaci (x + a). (x + b) i musimy znaleźć wartości a i b takie, że:

a + b = 42; ab = 432

Liczba 432 jest rozkładana na czynniki pierwsze, a stamtąd metodą prób i błędów wybiera się odpowiednią kombinację, tak aby czynniki dodane dawały 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

Stąd jest kilka możliwości napisania 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

I wszystko można znaleźć, łącząc iloczyny między czynnikami pierwszymi, ale aby rozwiązać proponowane zadanie, jedyną odpowiednią kombinacją jest: 432 = 24 × 18, ponieważ 24 + 18 = 42, to:

x ² + 42 x + 432 = (x + 24). (x +18)

Bibliografia

1. Baldor, A. 1986. Teoretyczna praktyczna arytmetyka. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. BBC World. Ukryty kod natury. Odzyskany z: bbc.com.
3. De Leon, Manuel Liczby pierwsze: strażnicy internetu. Odzyskany z: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. Teoria liczb I: Fundamentalne twierdzenie arytmetyki. Odzyskany z: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. Podstawowe twierdzenie arytmetyki. Odzyskane z: es.wikipedia.org.