TRÓJKĄT SKALI: CHARAKTERYSTYKA, WZÓR I OBSZARY, OBLICZENIA - MATEMATYKA - 2025

Różnoboczny trójkąt znajduje się wielokąt o trzech bokach, z których wszystkie mają inne środki lub długości; z tego powodu nosi nazwę scalene, co po łacinie oznacza wspinaczkę.

Trójkąty to wielokąty uważane za najprostsze w geometrii, ponieważ składają się z trzech boków, trzech kątów i trzech wierzchołków. W przypadku trójkąta skalenicznego, mając różne boki, oznacza to, że jego trzy kąty również będą.

Charakterystyka trójkątów skalenicznych

Trójkąty łuskowe są prostymi wielokątami, ponieważ żaden z ich boków ani kątów nie ma takiej samej miary, w przeciwieństwie do trójkątów równoramiennych i równobocznych.

Ponieważ wszystkie ich boki i kąty mają różne miary, trójkąty te są uważane za nieregularne wielokąty wypukłe.

Na podstawie amplitudy kątów wewnętrznych trójkąty skaleniczne są klasyfikowane jako:

• Trójkąt prostokątny w skali : wszystkie boki są różne. Jeden z jego kątów jest prosty (90 ^lub ), a pozostałe są ostre i mają różne wymiary.
• Rozwarty trójkąt skalenowy : wszystkie boki są różne, a jeden z jego kątów jest rozwarty (> 90 ^lub ).
• Trójkąt ostry Scalene : wszystkie boki są różne. Wszystkie kąty są ostre (<90 ^lub ) z różnymi miarami.

Inną cechą charakterystyczną trójkątów skalenicznych jest to, że z powodu niekongruencji ich boków i kątów nie mają one osi symetrii.

składniki

Mediana : jest to linia, która zaczyna się od środka jednej strony i dochodzi do przeciwległego wierzchołka. Trzy środkowe spotykają się w punkcie zwanym środkiem ciężkości lub środkiem ciężkości.

Dwusieczna : jest to promień, który dzieli każdy kąt na dwa równe kąty. Dwusieczne trójkąta spotykają się w punkcie zwanym środkiem.

Dwusieczna : jest to odcinek prostopadły do ​​boku trójkąta, którego początek znajduje się w środku trójkąta. W trójkącie są trzy dwusieczne, które spotykają się w punkcie zwanym środkiem okręgu.

Wysokość : jest to linia biegnąca od wierzchołka do przeciwległej strony, a także ta linia jest prostopadła do tej strony. Wszystkie trójkąty mają trzy wysokości, które pokrywają się w punkcie zwanym ortocentrum.

Nieruchomości

Trójkąty skaleniczne są definiowane lub identyfikowane, ponieważ mają kilka reprezentujących je właściwości, pochodzących z twierdzeń zaproponowanych przez wielkich matematyków. Oni są:

Kąty wewnętrzne

Suma kątów wewnętrznych jest zawsze równa 180 ^° .

Suma boków

Suma wymiarów dwóch boków musi zawsze być większa niż miara trzeciego boku a + b> c.

Niestosowne boki

Wszystkie boki trójkątów skalenicznych mają różne miary lub długości; to znaczy, że są nie na miejscu.

Niezgodne kąty

Ponieważ wszystkie boki trójkąta skalenicznego są różne, jego kąty też będą. Jednak suma kątów wewnętrznych zawsze będzie równa 180º, aw niektórych przypadkach jeden z jego kątów może być rozwarty lub prosty, podczas gdy w innych wszystkie jego kąty będą ostre.

Wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna nie pokrywają się

Jak każdy trójkąt, skalena ma różne segmenty linii, które go tworzą, takie jak: wysokość, mediana, dwusieczna i dwusieczna.

Ze względu na specyfikę jego boków, w tego typu trójkącie żadna z tych linii nie będzie się pokrywać w jedną.

Orthocenter, barycenter, incenter i obrzezanie nie są zbieżne

Ponieważ wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna są reprezentowane przez różne odcinki linii, w trójkącie skalennym punkty styku - ortocentrum, środek i środek okręgu - będą znajdować się w różnych punktach (nie pokrywają się).

W zależności od tego, czy trójkąt jest ostry, prawy czy skalenowy, ortocentrum ma różne lokalizacje:

do. Jeśli trójkąt jest ostry, ortocentrum będzie wewnątrz trójkąta.

b. Jeśli trójkąt jest prawy, ortocentrum zbiegnie się z wierzchołkiem prawej strony.

do. Jeśli trójkąt jest rozwarty, ortocentrum będzie na zewnątrz trójkąta.

Względne wysokości

Wysokości w stosunku do boków.

W przypadku trójkąta skalenicznego wysokości te będą miały różne wymiary. Każdy trójkąt ma trzy względne wysokości, a do ich obliczenia używa się wzoru Herona.

Jak obliczyć obwód?

Obwód wielokąta jest obliczany przez dodanie boków.

Ponieważ w tym przypadku trójkąt skaleniczny ma wszystkie boki o różnych wymiarach, jego obwód będzie wynosił:

P = strona a + strona b + strona c.

Jak obliczyć powierzchnię?

Pole powierzchni trójkątów jest zawsze obliczane według tego samego wzoru, mnożąc podstawę razy wysokość i dzieląc przez dwa:

Powierzchnia = (podstawa _* h) ÷ 2

W niektórych przypadkach wysokość trójkąta skalenicznego nie jest znana, ale istnieje wzór zaproponowany przez matematyka Heróna, aby obliczyć pole powierzchni znając miarę trzech boków trójkąta.

Gdzie:

• a, b i c reprezentują boki trójkąta.
• sp, odpowiada półmetrowi trójkąta, czyli połowie obwodu:

sp = (a + b + c) ÷ 2

W przypadku, gdy mamy miary tylko dwóch boków trójkąta i kąta utworzonego między nimi, pole można obliczyć stosując stosunki trygonometryczne. Więc musisz:

Powierzchnia = (bok _* h) ÷ 2

Gdzie wysokość (h) jest iloczynem jednej strony i sinusa przeciwnego kąta. Na przykład dla każdej strony obszar będzie:

• Powierzchnia = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Powierzchnia = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Powierzchnia = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Jak obliczyć wysokość?

Ponieważ wszystkie boki trójkąta skalenicznego są różne, nie można obliczyć wysokości za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Pole powierzchni można obliczyć ze wzoru Herona, opartego na pomiarach trzech boków trójkąta.

Wysokość można wyczyścić z ogólnego wzoru obszaru:

Bok jest zastępowany miarą boku a, b lub c.

Innym sposobem obliczenia wysokości, gdy znana jest wartość jednego z kątów, polega na zastosowaniu stosunków trygonometrycznych, gdzie wysokość będzie reprezentować nogę trójkąta.

Na przykład, gdy znany jest kąt przeciwny do wysokości, zostanie określony przez sinus:

Jak obliczyć boki?

Mając miarę dwóch boków i kąt przeciwny do nich, można wyznaczyć trzeci bok stosując twierdzenie cosinus.

Na przykład w trójkącie AB wykreślana jest wysokość względem odcinka AC. W ten sposób trójkąt zostaje podzielony na dwa trójkąty prostokątne.

Aby obliczyć bok c (odcinek AB), zastosuj twierdzenie Pitagorasa dla każdego trójkąta:

• Dla niebieskiego trójkąta mamy:

c ² = h ² + m ²

Ponieważ m = b - n podstawiamy:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Aby uzyskać różowy trójkąt, musisz:

h ² = a ² - n ²

Jest podstawiany w poprzednim równaniu:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Wiedząc, że n = a _* cos C, podstawiamy go w poprzednim równaniu i otrzymujemy wartość strony c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Zgodnie z prawem cosinusów boki można obliczyć jako:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Istnieją przypadki, w których wymiary boków trójkąta nie są znane, ale jego wysokość i kąty utworzone na wierzchołkach. Aby określić obszar w tych przypadkach, konieczne jest zastosowanie stosunków trygonometrycznych.

Znając kąt jednego z jego wierzchołków, identyfikuje się nogi i stosuje się odpowiedni współczynnik trygonometryczny:

Na przykład ramię AB będzie przeciwne dla kąta C, ale przylegające do kąta A. W zależności od boku lub nogi odpowiadającej wysokości, druga strona jest oczyszczana, aby uzyskać tę wartość.

Ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Oblicz pole i wysokość trójkąta skalennego ABC, wiedząc, że jego boki to:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Rozwiązanie

Jako dane podano pomiary trzech boków trójkąta skalenicznego.

Ponieważ wartość wysokości nie jest dostępna, powierzchnię można określić za pomocą wzoru Herona.

Najpierw oblicza się semiperymetr:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Teraz wartości są podstawiane we wzorze Herona:

Znając obszar, można obliczyć wysokość względem boku b. Z ogólnego wzoru, wyjaśniając to, mamy:

Powierzchnia = (bok _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Drugie ćwiczenie

Biorąc pod uwagę trójkąt skalenny ABC, którego miarą są:

• Odcinek AB = 25 m.
• Odcinek BC = 15 m.

W wierzchołku B powstaje kąt 50º. Oblicz wysokość względem boku c, obwodu i pola tego trójkąta.

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy pomiary z dwóch stron. Aby określić wysokość, należy obliczyć pomiar trzeciej strony.

Ponieważ podany jest kąt przeciwny do podanych boków, można zastosować prawo cosinusów do wyznaczenia miary boku AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Gdzie:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Dane zostają zastąpione:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Ponieważ mamy już wartości trzech boków, obliczamy obwód tego trójkąta:

P = strona a + strona b + strona c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Teraz można wyznaczyć obszar za pomocą wzoru Herona, ale najpierw należy obliczyć półmetr:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Pomiary boków i półmetra są podstawione wzorem Herona:

Wreszcie znając powierzchnię, można obliczyć wysokość względem boku c. Z ogólnego wzoru, po wyczyszczeniu go, musisz:

Powierzchnia = (bok _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Ćwiczenie trzecie

W trójkącie łokciowym ABC bok b wynosi 40 cm, bok c ma 22 cm, a wierzchołek A jest utworzony pod kątem 90 ^lub . Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie

W tym przypadku podane są miary dwóch boków trójkąta skalenicznego ABC, a także kąt, który powstaje na wierzchołku A.

Aby określić pole, nie jest konieczne obliczanie miary boku a, ponieważ poprzez stosunki trygonometryczne kąt służy do jego znalezienia.

Ponieważ znany jest kąt przeciwny do wysokości, zostanie on określony przez iloczyn jednej strony i sinus kąta.

Zastępując w formule obszarowej otrzymujemy:

• Powierzchnia = (bok _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Powierzchnia = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Powierzchnia = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Powierzchnia = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Powierzchnia = 880 cm ² ÷ 2

Powierzchnia = 440 cm ² .

Bibliografia

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Rysunek techniczny: zeszyt ćwiczeń.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrie. Technologia CR.
3. Anioł, AR (2007). Algebra elementarna. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Hawana: Kultura.
5. Barbosa, JL (2006). Płaska geometria euklidesowa. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Podstawy geometrii. Meksyk: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Podstawowa geometria dla studentów. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Tematy w teorii grup geometrycznych. University of Chicago Press.