ŚREDNIA PRĘDKOŚĆ KĄTOWA: DEFINICJA I WZORY, ROZWIĄZANE ĆWICZENIA - FIZYCZNY - 2025

Średnią prędkość kątowa obrotu jest zdefiniowany jako kąt obracany w jednostce czasu wektora położenia punktu opisującej ruch kołowy. Łopatki wentylatora sufitowego (jak pokazano na rysunku 1) wykonują ruch kołowy, a ich średnią prędkość kątową obrotu oblicza się, biorąc iloraz kąta obrotu i czasu przebywania tego kąta.

Zasady, którymi kieruje się ruch obrotowy, są nieco podobne do znanych z ruchu postępowego. Przebyte odległości można również mierzyć w metrach, jednak wielkości kątowe są szczególnie istotne, ponieważ znacznie ułatwiają opis ruchu.

Rysunek 1. Łopatki wentylatora mają prędkość kątową. Źródło: Pixabay

Ogólnie rzecz biorąc, litery greckie są używane dla wielkości kątowych, a litery łacińskie dla odpowiednich wielkości liniowych.

Definicja i wzory

Na rysunku 2 przedstawiono ruch punktu po torze kołowym c. Położenie P punktu odpowiada chwili t, a położenie kątowe odpowiadające tej chwili wynosi ϕ.

Od chwili t upływa okres czasu Δt. W tym okresie nowe położenie punktu to P ', a położenie kątowe wzrosło o kąt Δϕ.

Rysunek 2. Ruch kołowy punktu. Źródło: wykonane samodzielnie

Średnia prędkość kątowa ω to kąt przebyty w jednostce czasu, tak więc iloraz Δϕ / Δt będzie reprezentował średnią prędkość kątową między czasami t i t + Δt:

Ponieważ kąt jest mierzony w radianach, a czas w sekundach, jednostką średniej prędkości kątowej jest rad / s. Jeśli chcemy obliczyć prędkość kątową właśnie w chwili t, to będziemy musieli obliczyć stosunek Δϕ / Δt, gdy Δt ➡0.

Jednolita rotacja

Ruch obrotowy jest jednostajny, jeśli w jakimkolwiek obserwowanym momencie przebyty kąt jest taki sam w tym samym okresie czasu. Jeśli obrót jest jednostajny, to prędkość kątowa w dowolnym momencie pokrywa się ze średnią prędkością kątową.

W ruchu jednostajnym obrotowym czas, w którym wykonywany jest jeden pełny obrót, nazywany jest okresem i oznaczany jest przez T.

Ponadto, po wykonaniu pełnego obrotu, pokonany kąt wynosi 2π, więc w równomiernym obrocie prędkość kątowa ω jest powiązana z okresem T według następującego wzoru:

Częstotliwość f obrotu jednostajnego definiuje się jako iloraz liczby zwojów i czasu ich przejścia, to znaczy, jeśli N zwojów zostanie wykonanych w okresie Δt, to częstotliwość będzie wynosić:

f = N / Δt

Ponieważ jeden obrót (N = 1) odbywa się w czasie T (okres), otrzymujemy następującą zależność:

f = 1 / T

Oznacza to, że przy równomiernym obrocie prędkość kątowa jest powiązana z częstotliwością zależnością:

ω = 2π ・ f

Zależność między prędkością kątową a prędkością liniową

Prędkość liniowa v jest ilorazem przebytej odległości i czasu potrzebnego na jej pokonanie. Na rysunku 2 przebyta odległość to długość łuku Δs.

Łuk Δs jest proporcjonalny do pokonanego kąta Δϕ i promienia r, przy spełnieniu następującej zależności:

Δs = r ・ Δϕ

Pod warunkiem, że Δϕ jest mierzone w radianach.

Jeśli podzielimy poprzednie wyrażenie przez upływ czasu Δt, otrzymamy:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

Iloraz pierwszego elementu to prędkość liniowa, a iloraz drugiego elementu to średnia prędkość kątowa:

v = r ・ ω

Rozwiązane ćwiczenia

-Ćwiczenie 1

Końcówki łopatek wentylatora sufitowego pokazane na rysunku 1 poruszają się z prędkością 5 m / s, a łopatki mają promień 40 cm.

Na podstawie tych danych obliczyć: i) średnią prędkość kątową koła, ii) liczbę obrotów, które koło wykonuje w ciągu jednej sekundy, iii) okres w sekundach.

Rozwiązanie

i) Prędkość liniowa wynosi v = 5 m / s.

Promień r = 0,40 m.

Z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową rozwiązujemy to drugie:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 obroty / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 obroty / s) = 0,5 s na każdy obrót.

-Ćwiczenie 2

Zabawkowy wózek porusza się po okrągłym torze o promieniu 2m. W 0s jego położenie kątowe wynosi 0 rad, ale po czasie t jego położenie kątowe jest

φ (t) = 2 ・ t.

Z tymi danymi

i) obliczyć średnią prędkość kątową w następujących odstępach czasu; ; i wreszcie w przeciągu.

ii) Na podstawie wyników części i) Co można powiedzieć o ruchu?

iii) Wyznacz średnią prędkość liniową w tym samym okresie z części i)

iv) Znajdź prędkość kątową i prędkość liniową dla dowolnej chwili.

Rozwiązanie

i) Średnia prędkość kątowa jest określona wzorem:

Kontynuujemy obliczanie przebytego kąta i upływu czasu w każdym interwale.

Przedział 1: Δϕ = ϕ (0,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 0,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 1,0 rad

Δt = 0,5 s - 0,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Przedział 2: Δϕ = ϕ (1,0 s) - ϕ (0,5 s) = 2 (rad / s) * 1,0 s - 2 (rad / s) * 0,5 s = 1,0 rad

Δt = 1,0 s - 0,5 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Przedział 3: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (1,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 1,0 s = 1,0 rad

Δt = 1,5 s - 1,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Przedział 4: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 3,0 rad

Δt = 1,5 s - 0,0 s = 1,5 s

ω = Δϕ / Δt = 3,0 rad / 1,5s = 2,0 rad / s

ii) Wobec wcześniejszych wyników, w których obliczano średnią prędkość kątową w różnych odstępach czasu, uzyskując zawsze ten sam wynik, wydaje się, że jest to ruch jednostajny kołowy. Jednak wyniki te nie są rozstrzygające.

Sposobem na zapewnienie wniosku jest obliczenie średniej prędkości kątowej dla dowolnego przedziału: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s

Oznacza to, że wózek zabawkowy ma stałą średnią prędkość kątową 2 rad / s w dowolnym rozpatrywanym okresie. Ale możesz pójść dalej, jeśli obliczysz chwilową prędkość kątową:

Jest to interpretowane jako, że samochodzik przez cały czas ma stałą prędkość kątową = 2 rad / s.

Bibliografia

1. Giancoli, D. Physics. Zasady z aplikacjami. 6th Edition. Prentice Hall. 30-45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fizyka: spojrzenie na świat. 6 ^ta Edycja w skrócie. Cengage Learning. 117.
3. Resnick, R. (1999). Fizyczny. Tom 1. Trzecie wydanie w języku hiszpańskim. Meksyk. Compañía Editorial Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizyka dla nauki i inżynierii. Tom 1. 7th. Wydanie. Meksyk. Cengage Learning Editors. 32-55.
5. Wikipedia. Prędkość kątowa. Odzyskane z: wikipedia.com