JAK ZNALEŹĆ OBSZAR PIĘCIOKĄTA? - MATEMATYKA - 2025

Pole powierzchni pięciokąta jest obliczane przy użyciu metody znanej jako triangulacja, którą można zastosować do dowolnego wielokąta. Ta metoda polega na podzieleniu pięciokąta na kilka trójkątów.

Następnie obliczana jest powierzchnia każdego trójkąta, a na koniec wszystkie znalezione obszary są dodawane. Rezultatem będzie obszar pięciokąta.

Pięciokąt można również podzielić na inne kształty geometryczne, takie jak trapez i trójkąt, takie jak figura po prawej stronie.

Problem w tym, że niełatwo obliczyć długość większej podstawy i wysokość trapezu. Należy również obliczyć wysokość czerwonego trójkąta.

Jak znaleźć pole pięciokąta?

Ogólną metodą obliczania powierzchni pięciokąta jest triangulacja, ale metoda ta może być prosta lub nieco dłuższa w zależności od tego, czy pięciokąt jest regularny, czy nie.

Powierzchnia pięciokąta foremnego

Przed obliczeniem obszaru należy wiedzieć, jaki jest apothem.

Apothem pięciokąta foremnego (wielokąta foremnego) to najmniejsza odległość od środka pięciokąta (wielokąta) do środka jednej strony pięciokąta (wielokąta).

Innymi słowy, apotem jest długością odcinka linii biegnącego od środka pięciokąta do środka jednej strony.

Rozważmy pięciokąt foremny taki, że jego boki mają długość „L”. Aby obliczyć jej apotem, najpierw podziel kąt środkowy α przez liczbę boków, to znaczy α = 360º / 5 = 72º.

Teraz, używając stosunków trygonometrycznych, oblicza się długość apotemu, jak pokazano na poniższym obrazku.

Dlatego apothem ma długość L / 2tany (36º) = L / 1,45.

Triangulując pięciokąt, zostanie uzyskana figura podobna do poniższej.

Wszystkie 5 trójkątów ma tę samą powierzchnię (jako regularny pięciokąt). Dlatego powierzchnia pięciokąta jest 5 razy większa od powierzchni trójkąta. Czyli: powierzchnia pięciokąta = 5 * (L * ap / 2).

Podstawiając wartość apotemu, otrzymujemy pole powierzchni A = 1,72 * L².

Dlatego, aby obliczyć powierzchnię pięciokąta foremnego, wystarczy znać długość jednego boku.

Obszar nieregularnego pięciokąta

Rozpoczynamy od nieregularnego pięciokąta, tak aby jego boki miały długość L1, L2, L3, L4 i L5. W takim przypadku apotem nie może być używany w dotychczasowej postaci.

Po wykonaniu triangulacji otrzymujemy figurę podobną do poniższej:

Teraz przystępujemy do rysowania i obliczania wysokości tych 5 wewnętrznych trójkątów.

Zatem obszary trójkątów wewnętrznych to T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 i T5 = L5 * h5 / 2.

Wartości h1, h2, h3, h4 i h5 to odpowiednio wysokości każdego trójkąta.

Wreszcie obszar pięciokąta jest sumą tych 5 obszarów. Oznacza to, że A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Jak widać, obliczenie powierzchni nieregularnego pięciokąta jest bardziej złożone niż obliczenie powierzchni regularnego pięciokąta.

Wyznacznik Gaussa

Istnieje również inna metoda obliczania powierzchni dowolnego nieregularnego wielokąta, znana jako wyznacznik Gaussa.

Ta metoda polega na narysowaniu wielokąta na płaszczyźnie kartezjańskiej, a następnie obliczeniu współrzędnych każdego wierzchołka.

Wierzchołki są wyliczane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a na koniec obliczane są pewne wyznaczniki, aby ostatecznie otrzymać powierzchnię danego wielokąta.

Bibliografia

1. Alexander, DC i Koeberlein, GM (2014). Podstawowa geometria dla studentów. Cengage Learning.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Edukacja Pearson.
3. Lofret, EH (2002). Księga tablic i wzorów / Księga tabliczek mnożenia i wzorów. Obdarzony wyobraźnią.
4. Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Matematyka praktyczna: arytmetyka, algebra, geometria, trygonometria i suwak logarytmiczny (przedruk red.). Przywróć.
5. Posamentier, AS i Bannister, RL (2014). Geometria, jej elementy i struktura: wydanie drugie. Courier Corporation.
6. Quintero, AH i Costas, N. (1994). Geometria. Od redakcji, UPR.
7. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Od redakcji Tecnologica de CR.
8. Tora, FB (2013). Matematyka. 1. jednostka dydaktyczna 1. ESO, Tom 1. Redakcja Klub Universitario.
9. Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Matematyka (szósty rok). EUNED.