ELIPSOIDA: CHARAKTERYSTYKA I PRZYKŁADY - ARTE - 2025

Elipsoida jest powierzchnią w przestrzeni, która należy do grupy Quadric powierzchni i których ogólne równanie ma postać:

Jest to trójwymiarowy odpowiednik elipsy, charakteryzujący się eliptycznymi i kołowymi śladami w niektórych szczególnych przypadkach. Ślady to krzywe otrzymane przez przecięcie elipsoidy z płaszczyzną.

Rysunek 1. Trzy różne elipsoidy: u góry kula, w której trzy półosi są równe, u dołu po lewej sferoida, z dwiema równymi półosiami i inną, a na końcu u dołu po prawej trójosiowa sferoida o trzech różnych osiach długość. Źródło: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Oprócz elipsoidy istnieje jeszcze pięć quadric: jednopłytkowy i dwuwarstwowy hiperboloid, dwa typy paraboloidy (hiperboliczny i eliptyczny) oraz stożek eliptyczny. Jego ślady są również stożkowe.

Elipsoidę można również wyrazić za pomocą standardowego równania we współrzędnych kartezjańskich. Elipsoida wyśrodkowana w punkcie początkowym (0,0,0) i wyrażona w ten sposób przypomina elipsę, ale z dodatkowym określeniem:

Wartości a, b i c są liczbami rzeczywistymi większymi od 0 i reprezentują trzy półosie elipsoidy.

Charakterystyka elipsoidy

- Równanie standardowe

Standardowe równanie we współrzędnych kartezjańskich elipsy wyśrodkowanej w punkcie (h, k, m) to:

- Równania parametryczne elipsoidy

We współrzędnych sferycznych elipsoidę można opisać następująco:

x = grzech θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Półosie elipsoidy pozostają a, b i c, podczas gdy parametrami są kąty θ i φ z poniższego rysunku:

Rysunek 2. Kulisty układ współrzędnych. Elipsoidę można sparametryzować za pomocą wyświetlanych kątów theta i phi jako parametrów. Źródło: Wikimedia Commons. Andeggs / Public domain.

- Ślady elipsoidy

Ogólne równanie powierzchni w przestrzeni to F (x, y, z) = 0, a ślady powierzchni to krzywe:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

W przypadku elipsoidy takie krzywe są elipsami, a czasem okręgami.

- Tom

Objętość V elipsoidy jest wyrażona jako (4/3) π razy iloczyn jej trzech półosi:

V = (4/3) π. ABC

Specjalne przypadki elipsoidy

-Elipsoida staje się kulą, gdy wszystkie półosie są tej samej wielkości: a = b = c ≠ 0. Ma to sens, ponieważ elipsoida jest jak kula, która została rozciągnięta w różny sposób wzdłuż każdej oś.

-Sferoida jest elipsoidą, w której dwie z półosi są identyczne, a trzecia jest inna, na przykład może to być a = b ≠ c.

Sferoida jest również nazywana elipsoidą obrotu, ponieważ można ją wygenerować, obracając elipsy wokół osi.

Jeśli oś obrotu pokrywa się z większą osią, sferoida jest wydłużona, ale jeśli pokrywa się z mniejszą osią, jest spłaszczona:

Ryc. 3. Spłaszczona sferoida po lewej i wydłużona sferoida po prawej. Źródło: Wikimedia Commons.

Miarą spłaszczenia sferoidy (eliptyczności) jest różnica długości między dwiema półosiami, wyrażona w postaci ułamkowej, czyli jest to spłaszczenie jednostkowe, wyrażone wzorem:

f = (a - b) / a

W tym równaniu a reprezentuje półoś dużą, a b półoś małą, pamiętaj, że trzecia oś jest równa jednej z osi sferoidy. Wartość f mieści się w przedziale od 0 do 1, a dla sferoidy musi być większa niż 0 (gdyby była równa 0, mielibyśmy po prostu kulę).

Elipsoida odniesienia

Planety i ogólnie gwiazdy nie są zwykle idealnymi kulami, ponieważ ruch obrotowy wokół ich osi spłaszcza ciało na biegunach i wybrzusza je na równiku.

Dlatego Ziemia okazuje się być podobną do spłaszczonej sferoidy, chociaż nie tak przesadną, jak ta na poprzednim rysunku, a ze swej strony gazowy gigant Saturn jest najbardziej płaską planetą w Układzie Słonecznym.

Tak więc bardziej realistycznym sposobem przedstawiania planet jest założenie, że są one jak sferoida lub elipsoida obrotowa, której półoś większą stanowi promień równikowy, a półosiową mniejszą - promień biegunowy.

Dokładne pomiary wykonane na kuli ziemskiej umożliwiły zbudowanie referencyjnej elipsoidy Ziemi jako najdokładniejszego sposobu matematycznego obliczenia.

Gwiazdy mają również ruchy obrotowe, które nadają im mniej lub bardziej spłaszczone kształty. Szybka gwiazda Achernar, ósma najjaśniejsza gwiazda nocnego nieba, w południowej konstelacji Eridanus, jest w porównaniu do większości niezwykle eliptyczna. To jest 144 lata świetlne od nas.

Z drugiej strony, kilka lat temu naukowcy odkryli najbardziej kulisty obiekt, jaki kiedykolwiek znaleziono: gwiazdę Kepler 11145123, oddaloną o 5000 lat świetlnych, dwukrotnie większą od naszego Słońca i różnicą między półosiami wynoszącą zaledwie 3 km. Zgodnie z oczekiwaniami obraca się również wolniej.

Jeśli chodzi o Ziemię, nie jest to również doskonała sferoida ze względu na jej nierówną powierzchnię i lokalne zmiany grawitacji. Z tego powodu dostępna jest więcej niż jedna sferoida odniesienia, a dla każdego miejsca wybierana jest najbardziej odpowiednia dla lokalnej geografii.

Pomoc satelitów jest nieoceniona w tworzeniu coraz dokładniejszych modeli kształtu Ziemi, dzięki nim wiadomo np., Że biegun południowy jest bliżej równika niż biegun północny.

Rysunek 4. Haumea, trans-neptuńska planeta karłowata ma kształt elipsoidalny. Źródło: Wikimedia Commons.

Przykład liczbowy

W wyniku obrotu Ziemi generowana jest siła odśrodkowa, która nadaje jej kształt podłużnej elipsoidy zamiast kuli. Wiadomo, że promień równikowy Ziemi wynosi 3963 mil, a promień biegunowy 3942 mil.

Znajdź równanie śladu równikowego, równanie tej elipsoidy i miarę jej spłaszczenia. Porównaj również z eliptycznością Saturna, z danymi podanymi poniżej:

-Promień równikowy Saturna: 60268 km

-Promień biegunowy Saturna: 54 364 km

Rozwiązanie

Wymagany jest układ współrzędnych, który przyjmiemy ze środkiem na początku (środek Ziemi). Zakładamy, że pionowa oś z i ślad odpowiadający równikowi leży na płaszczyźnie xy, równoważnej płaszczyźnie z = 0.

W płaszczyźnie równikowej półosie a i b są równe, stąd a = b = 3963 mil, natomiast c = 3942 mil. Jest to szczególny przypadek: sferoida wyśrodkowana w punkcie (0,0,0), jak wspomniano powyżej.

Ślad równikowy to okrąg o promieniu R = 3963 mil, którego środkiem jest początek. Oblicza się go, wykonując z = 0 w standardowym równaniu:

A standardowe równanie ziemskiej elipsoidy to:

f _Ziemia = (a - b) / a = (3963-3942) mil / 3963 mil = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Zauważ, że eliptyczność f jest wielkością bezwymiarową.

Bibliografia

1. ArcGIS for Desktop. Sferoidy i kule. Odzyskany z: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Tajemnica najbardziej kulistego obiektu, jaki kiedykolwiek odkryto we Wszechświecie. Odzyskany z: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus and Analytical Geometry. Szósta edycja. Tom 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Elipsoida. Odzyskane z: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Sferoida. Odzyskane z: en.wikipedia.org.