REGUŁA SARRUSA: Z CZEGO SIĘ SKŁADA I RODZAJE WYZNACZNIKÓW - SŁOWNICTWO KULTUROWE - 2026

Reguła Sarrus służy do obliczania wyniku 3 x 3 determinant. Są one używane do rozwiązywania równań liniowych i sprawdzania, czy są one zgodne.

Zgodne systemy ułatwiają uzyskanie rozwiązania. Są również używane do określenia, czy zbiory wektorów są liniowo niezależne i do utworzenia podstawy przestrzeni wektorowej.

Te aplikacje są oparte na odwracalności macierzy. Jeśli macierz jest regularna, jej wyznacznik jest różny od 0. Jeśli jest osobliwy, jego wyznacznik jest równy 0. Wyznaczniki można obliczyć tylko w macierzach kwadratowych.

Aby obliczyć macierze dowolnego rzędu, można użyć twierdzenia Laplace'a. To twierdzenie pozwala nam uprościć macierze o dużych wymiarach, w sumach małych wyznaczników, które dekomponujemy z macierzy głównej.

Stwierdza, że ​​wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów każdego wiersza lub kolumny pomnożonej przez wyznacznik macierzy sprzężonej.

Zmniejsza to determinanty tak, że wyznacznik stopnia n staje się n wyznacznikami n-1. Jeśli zastosujemy tę regułę sukcesywnie, możemy otrzymać wyznaczniki wymiaru 2 (2 × 2) lub 3 (3 × 3), gdzie jej obliczenie jest dużo łatwiejsze.

Reguła Sarrusa

Pierre Frederic Sarrus był XIX-wiecznym francuskim matematykiem. Większość jego traktatów matematycznych opiera się na metodach rozwiązywania równań i rachunku wariacyjnym w ramach równań numerycznych.

W jednym ze swoich traktatów rozwiązał jedną z najbardziej złożonych zagadek mechaniki. Aby rozwiązać problemy elementów przegubowych, Sarrus wprowadził transformację alternatywnych ruchów prostoliniowych w jednolite ruchy okrężne. Ten nowy system jest znany jako mechanizm Sarrusa.

Badania, które przyniosły temu matematykowi największą sławę polegały na wprowadzeniu nowej metody obliczania wyznaczników w artykule „Nouvelles méthodes pour la résolution des équations” (Nowa metoda rozwiązywania równań), który został opublikowany w rok 1833. Ten sposób rozwiązywania równań liniowych znany jest jako reguła Sarrusa.

Reguła Sarrusa pozwala obliczyć wyznacznik macierzy 3 × 3, bez konieczności korzystania z twierdzenia Laplace'a, wprowadzając znacznie prostszą i bardziej intuicyjną metodę. Aby sprawdzić wartość reguły Sarrusa, bierzemy dowolną macierz wymiaru 3:

Obliczenie jego wyznacznika zostanie przeprowadzone przy użyciu iloczynu jego głównych przekątnych, odejmując iloczyn odwrotnych przekątnych. Wyglądałoby to następująco:

Reguła Sarrusa pozwala nam uzyskać znacznie łatwiejszą wizję przy obliczaniu przekątnych wyznacznika. Byłoby to uproszczone poprzez dodanie pierwszych dwóch kolumn z tyłu macierzy. W ten sposób wyraźniej widać, które przekątne są jego głównymi, a które odwrotnymi, do obliczenia iloczynu.

Na tym obrazie możemy zobaczyć zastosowanie reguły Sarrusa, dołączamy wiersz 1 i 2 poniżej graficznej reprezentacji początkowej macierzy. W ten sposób główne przekątne to trzy przekątne, które pojawiają się jako pierwsze.

Z kolei trzy odwrócone przekątne to te, które pojawiają się jako pierwsze z tyłu.

W ten sposób przekątne pojawiają się w bardziej wizualny sposób, nie komplikując rozdzielczości wyznacznika, próbując dowiedzieć się, które elementy macierzy należą do każdej przekątnej.

Jak widać na obrazku, wybieramy przekątne i obliczamy wynikowy iloczyn każdej funkcji. Przekątne, które pojawiają się na niebiesko, to te, które sumują się. Do ich sumy odejmujemy wartość przekątnych zaznaczonych na czerwono.

Aby ułatwić kompresję, możemy użyć przykładu liczbowego, zamiast używać wyrażeń algebraicznych i podterminów.

Jeśli weźmiemy jakąkolwiek macierz 3 × 3, na przykład:

Aby zastosować regułę Sarrusa i rozwiązać ją w bardziej wizualny sposób, powinniśmy uwzględnić wiersz 1 i 2 jako odpowiednio wiersz 4 i 5. Ważne jest, aby utrzymać rząd 1 na 4 pozycji, a rząd 2 na 5 pozycji. Ponieważ jeśli je wymienimy, Reguła Sarrusa nie będzie skuteczna.

Aby obliczyć wyznacznik, nasza macierz wyglądałaby następująco:

Aby kontynuować obliczenia, pomnożymy elementy głównych przekątnych. Potomkowie zaczynający się od lewej strony będą mieli znak pozytywny; podczas gdy odwrotne przekątne, które zaczynają się od prawej strony, mają znak minus.

W tym przykładzie niebieskie miałyby znak dodatni, a czerwone ze znakiem ujemnym. Ostateczna kalkulacja reguły Sarrusa wyglądałaby następująco:

Rodzaje wyznaczników

Wyznacznik wymiaru 1

Jeśli wymiar macierzy wynosi 1, macierz wygląda następująco: A = (a)

Dlatego jego wyznacznik byłby następujący: det (A) = -A- = a

Podsumowując, wyznacznik macierzy A jest równy bezwzględnej wartości macierzy A, która w tym przypadku jest a.

Wyznacznik wymiaru 2

Jeśli przejdziemy do macierzy o wymiarze 2, otrzymamy macierze typu:

Gdzie jego wyznacznik definiuje się jako:

Rozdzielczość tego wyznacznika opiera się na pomnożeniu jego głównej przekątnej, odejmując iloczyn jej odwrotnej przekątnej.

Jako mnemonik możemy użyć poniższego diagramu, aby zapamiętać jego wyznacznik:

Wyznacznik wymiaru 3

Jeśli wymiar macierzy wynosi 3, wynikowa macierz byłaby tego typu:

Wyznacznik tej macierzy zostałby rozwiązany za pomocą reguły Sarrusa w następujący sposób:

Bibliografia

1. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-sekundowa matematyka: 50 teorii matematycznych, które najbardziej poszerzają umysł. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) A Study on the Computation of the Determinants of a 3x3 Matrix. Wydawnictwo akademickie Lap Lambert.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Przekaż publikację.
6. Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Wprowadzenie do algebry liniowej. ESIC Editorial.