METODA AKSJOMATYCZNA: CHARAKTERYSTYKA, KROKI, PRZYKŁADY - SŁOWNICTWO KULTUROWE - 2025

Metoda aksjomatyczna, zwana też aksjomatyką, jest formalną procedurą stosowaną przez nauki, za pomocą której formułuje się twierdzenia lub zdania zwane aksjomatami, powiązane ze sobą relacją dedukcji i będące podstawą hipotez lub warunków określonego systemu.

Ta ogólna definicja musi zostać ujęta w ramach ewolucji, jaką ta metodologia miała na przestrzeni historii. Po pierwsze, istnieje metoda starożytna lub oparta na treści, zrodzona w starożytnej Grecji z Euklidesa, a później rozwinięta przez Arystotelesa.

Po drugie, już w XIX wieku pojawienie się geometrii z aksjomatami innymi niż te z Euklidesa. I wreszcie formalna lub nowoczesna metoda aksjomatyczna, której największym przedstawicielem był David Hilbert.

Poza swoim rozwojem w czasie, procedura ta była podstawą metody dedukcyjnej, stosowanej w geometrii i logice, w której się narodziła. Został również wykorzystany w fizyce, chemii i biologii.

Został nawet zastosowany w naukach prawnych, socjologii i ekonomii politycznej. Jednak obecnie najważniejszym obszarem jego zastosowań jest matematyka i logika symboliczna oraz niektóre gałęzie fizyki, takie jak między innymi termodynamika, mechanika.

cechy

Chociaż podstawową cechą tej metody jest formułowanie aksjomatów, nie zawsze były one rozpatrywane w ten sam sposób.

Są takie, które można zdefiniować i skonstruować w dowolny sposób. I inni, zgodnie z modelem, w którym intuicyjnie rozważana jest jej gwarantowana prawda.

Aby dokładnie zrozumieć, na czym polega ta różnica i jakie są jej konsekwencje, konieczne jest przejście przez ewolucję tej metody.

Metoda aksjomatyczna starożytna lub treściowa

Jest to ta, która powstała w starożytnej Grecji w V wieku pne Jego sferą zastosowania jest geometria. Podstawową pracą tego etapu są Elementy Euklidesa, choć uważa się, że przed nim Pitagoras zrodził już metodę aksjomatyczną.

Tak więc Grecy przyjmują pewne fakty jako aksjomaty, nie wymagając żadnego logicznego dowodu, to znaczy bez potrzeby dowodzenia, ponieważ są one dla nich oczywistą prawdą.

Ze swojej strony Euclid przedstawia pięć aksjomatów geometrii:

1-Biorąc pod uwagę dwa punkty, istnieje linia, która je zawiera lub łączy.

2-Dowolny segment można w sposób ciągły wydłużać w nieograniczonej linii po obu stronach.

3-Możesz narysować okrąg, który ma środek w dowolnym punkcie i dowolnym promieniu.

4-Wszystkie kąty proste są takie same.

5-Biorąc dowolną prostą i dowolny punkt, którego nie ma, istnieje równoległa do niej prosta i zawierająca ten punkt. Aksjomat ten jest później znany jako aksjomat paraleli i został również wypowiedziany jako: pojedyncza równoległość może zostać narysowana z punktu znajdującego się poza linią.

Jednak zarówno Euklides, jak i późniejsi matematycy zgadzają się, że piąty aksjomat nie jest tak intuicyjnie jasny jak drugi 4. Nawet w okresie renesansu podejmuje się próbę wyprowadzenia piątego z pozostałych czterech, ale nie jest to możliwe.

To sprawiło, że już w XIX wieku ci, którzy utrzymywali pięć z nich, byli zwolennikami geometrii euklidesowej, a ci, którzy zaprzeczali piątej, byli tymi, którzy stworzyli geometrie nieeuklidesowe.

Metoda aksjomatyczna nieeuklidesowa

To właśnie Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski, János Bolyai i Johann Karl Friedrich Gauss widzą możliwość skonstruowania bez sprzeczności geometrii wywodzącej się z systemów aksjomatów innych niż te Euklidesa. To niszczy wiarę w absolutną prawdę lub a priori o aksjomatach i wywodzących się z nich teorii.

W konsekwencji aksjomaty zaczynają być pojmowane jako punkty wyjścia dla danej teorii. Także i jego wybór, i problem jego ważności w takim czy innym sensie zaczynają odnosić się do faktów spoza teorii aksjomatycznej.

W ten sposób powstają teorie geometryczne, algebraiczne i arytmetyczne zbudowane metodą aksjomatyczną.

Ten etap kończy się stworzeniem aksjomatycznych systemów arytmetyki, takich jak Giuseppe Peano w 1891 roku; Geometria Davida Huberta w 1899 r .; stwierdzenia i obliczenia predykatów Alfreda North Whiteheada i Bertranda Russella w Anglii w 1910 roku; Aksjomatyczna teoria zbiorów Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermelo z 1908 roku.

Nowoczesna czy formalna metoda aksjomatyczna

To David Hubert inicjuje koncepcję formalnej metody aksjomatycznej, która prowadzi do jej kulminacji, David Hilbert.

To właśnie Hilbert formalizuje język naukowy, traktując jego wypowiedzi jako formuły lub ciągi znaków, które same w sobie nie mają znaczenia. Nabierają znaczenia tylko w określonej interpretacji.

W „Podstawach geometrii” wyjaśnia pierwszy przykład tej metodologii. Odtąd geometria staje się nauką o czysto logicznych konsekwencjach, które są wyodrębnione z systemu hipotez lub aksjomatów, lepiej artykułowanych niż system euklidesowy.

Dzieje się tak, ponieważ w starożytnym systemie teoria aksjomatyczna opiera się na dowodach aksjomatów. Podczas gdy u podstaw teorii formalnej jest to podane przez wykazanie niesprzeczności jej aksjomatów.

Kroki

Procedura dokonująca aksjomatycznej strukturyzacji w ramach teorii naukowych rozpoznaje:

a - wybór pewnej liczby aksjomatów, to znaczy szeregu zdań pewnej teorii, które są akceptowane bez konieczności ich udowodnienia.

b - koncepcje wchodzące w skład tych zdań nie są określone w ramach danej teorii.

c - zasady definiowania i dedukcji danej teorii są ustalone i pozwalają na wprowadzanie nowych pojęć do teorii i logiczne wyprowadzanie niektórych zdań z innych.

d - pozostałe zdania teorii, to znaczy twierdzenie, są wyprowadzane z a na podstawie c.

Przykłady

Metodę tę można zweryfikować na podstawie dwóch najbardziej znanych twierdzeń Euklidesa: twierdzenia o nogach i twierdzenia o wysokości.

Oba wynikają z obserwacji tego greckiego geometru, że kiedy wysokość w stosunku do przeciwprostokątnej jest wykreślona w trójkącie prostokątnym, pojawiają się dwa kolejne trójkąty oryginału. Te trójkąty są do siebie podobne, a jednocześnie podobne do trójkąta pochodzenia. Zakłada się, że ich odpowiednie strony homologiczne są proporcjonalne.

Można zauważyć, że przystające kąty w trójkątach w ten sposób weryfikują podobieństwo, które istnieje między trzema zaangażowanymi trójkątami zgodnie z kryterium podobieństwa AAA. To kryterium zakłada, że ​​kiedy dwa trójkąty mają wszystkie te same kąty, są one podobne.

Po wykazaniu, że trójkąty są podobne, można ustalić proporcje określone w pierwszym twierdzeniu. To samo stwierdzenie, że w trójkącie prostokątnym miarą każdej nogi jest geometryczna proporcjonalna średnia między przeciwprostokątną a rzutem nogi na nią.

Drugie twierdzenie dotyczy wysokości. Określa, że ​​wysokość dowolnego trójkąta prostokątnego narysowana zgodnie z przeciwprostokątną jest geometryczną proporcjonalną średnią między segmentami, które są określone przez wspomnianą średnią geometryczną na przeciwprostokątnej.

Oczywiście oba twierdzenia mają liczne zastosowania na całym świecie nie tylko w nauczaniu, ale także w inżynierii, fizyce, chemii i astronomii.

Bibliografia

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalizm i intuicja: David Hilbert i formalna metoda aksjomatyczna (1895-1905). Revista de Filosofía, tom 39 nr 2, str. 121-146. Zaczerpnięte z magazines.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Myśl aksjomatyczna. W W. Ewald, redaktor, od Kanta do Hilberta: książka źródłowa w podstawach matematyki. Tom II, str. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Jaka jest metoda aksjomatyczna? Synthese, listopad 2011, tom 189, strony 69-85. Zrobiono z link.springer.com.
4. López Hernández José. (2005). Wprowadzenie do współczesnej filozofii prawa. (strony 48-49). Zrobiono z books.google.com.ar.
5. Nirenberg Ricardo. (1996) Metoda aksjomatyczna, odczyt Ricardo Nirenberga, jesień 1996, Uniwersytet w Albany, Projekt Renaissance. Zaczerpnięte z Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert między formalną a nieformalną stroną matematyki. Rękopis, tom. 38 nr. 2, Campinas lipiec / sierpień 2015. Pobrano z scielo.br.