REGUŁA SIMPSONA: FORMUŁA, DOWÓD, PRZYKŁADY, ĆWICZENIA - MATEMATYKA - 2026

Simpson jest zasada jest sposobem obliczania, w przybliżeniu, całki. Opiera się na podzieleniu przedziału całkowania na parzystą liczbę równo rozmieszczonych podprzedziałów.

Ekstremalne wartości dwóch kolejnych pod-przedziałów definiują trzy punkty, w których dopasowuje się parabola, której równanie jest wielomianem drugiego stopnia.

Rysunek 1. W metodzie Simpsona przedział całkowania jest podzielony na parzystą liczbę przedziałów o równej szerokości. Funkcja jest aproksymowana parabolą w każdych 2 pod-przedziałach, a całka jest aproksymowana przez sumę powierzchni pod parabolami. Źródło: upv.es.

Następnie obszar pod krzywą funkcji w dwóch kolejnych przedziałach aproksymuje się polem wielomianu interpolacyjnego. Dodając udział w polu pod parabolą wszystkich kolejnych pod-przedziałów, otrzymujemy przybliżoną wartość całki.

Z drugiej strony, skoro całkę paraboli można obliczyć dokładnie algebraicznie, to można znaleźć analityczny wzór na przybliżoną wartość całki oznaczonej. Jest znany jako formuła Simpsona.

Błąd przybliżonego wyniku otrzymanego w ten sposób maleje wraz ze wzrostem liczby poddziałów n (gdzie n jest liczbą parzystą).

Poniżej zostanie podane wyrażenie, które pozwala oszacować górną granicę błędu aproksymacji całki I, gdy wykonano podział n regularnych podprzedziałów całkowitego przedziału.

Formuła

Przedział całkowania jest podzielony na n podprzedziałów, gdzie n jest parzystą liczbą całkowitą. Szerokość każdego podziału będzie wynosić:

h = (b - a) / n

W ten sposób partycja jest tworzona w przedziale:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Gdzie X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Wzór pozwalający na przybliżenie całki oznaczonej I funkcji ciągłej, a najlepiej gładkiej w przedziale, to:

Demonstracja

Aby otrzymać wzór Simpsona, w każdym podprzedziale funkcja f (X) jest aproksymowana przez wielomian drugiego stopnia p (X) (parabola), który przechodzi przez trzy punkty :; i .

Następnie obliczana jest całka wielomianu p (x), w którym aproksymuje całkę funkcji f (X) w tym przedziale.

Rysunek 2. Wykres przedstawiający wzór Simpsona. Źródło: F. Zapata.

Współczynniki wielomianu interpolacyjnego

Równanie paraboli p (X) ma ogólną postać: p (X) = AX ² + BX + C. Gdy parabola przechodzi przez punkty Q zaznaczone na czerwono (patrz rysunek), wówczas współczynniki A, B, C wyznaczane są z następującego układu równań:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Można zauważyć, że wyznaczany jest współczynnik C. Aby wyznaczyć współczynnik A, dodajemy pierwsze i trzecie równanie otrzymując:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Następnie wartość C jest podstawiana i A jest usuwana, pozostawiając:

A = / (2 godz. ² )

Aby określić współczynnik B, trzecie równanie odejmuje się od pierwszego, a B rozwiązuje się, uzyskując:

B = = 2 godz.

Podsumowując, wielomian drugiego stopnia p (X) przechodzący przez punkty Qi, Qi + 1 i Qi + 2 ma współczynniki:

A = / (2 godz. ² )

B = = 2 godz

C = f (Xi + 1)

Obliczanie przybliżonej całki w

Przybliżone obliczenie całki w

Jak już wspomniano, podział {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} jest tworzony w całym przedziale całkowania z krokiem h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, gdzie n jest liczbą parzystą.

Błąd aproksymacji

Należy zauważyć, że błąd maleje wraz z czwartą potęgą liczby podpodziałów w przedziale. Na przykład, jeśli przejdziesz z n podpodziałów do 2n, błąd zmniejszy się o współczynnik 1/16.

Górną granicę błędu otrzymanego za pomocą przybliżenia Simpsona można otrzymać z tego samego wzoru, podstawiając czwartą pochodną maksymalną wartość bezwzględną czwartej pochodnej w przedziale.

Przykłady praktyczne

- Przykład 1

Rozważmy funkcję f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Znajdź całkę oznaczoną funkcji f (X) na przedziale, używając metody Simpsona z dwoma podpodziałami (n = 2).

Rozwiązanie

Przyjmujemy n = 2. Granice całkowania to a = -1 i b = -2, więc partycja wygląda następująco:

X0 = -1; X1 = 0 i X2 = +1.

Dlatego formuła Simpsona przyjmuje następującą postać:

Rysunek 3. Przykład całkowania numerycznego według reguły Simpsona przy użyciu oprogramowania. Źródło: F. Zapata.

Bibliografia

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Illustrated Edition). Madryt: ESIC Editorial.
2. UPV. Metoda Simpsona. Politechnika w Walencji. Odzyskany z: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus, wydanie dziewiąte. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Reguła Simpsona. Odzyskany z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Interpolacja wielomianowa Lagrange'a. Odzyskany z: es.wikipedia.com